Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1119910), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Теорема Пуассона Рассмотрим сначала случай больших п н малых р. Теорема 1. (Теорема Пуассона.) Если и-Роо и р-~0 так, что ир-~ а, то для любого фиксированного т=0,1, ... РЬ=т)=С5 0" (3) Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение (3) сразу выте. кает из равенства Р(р=т)= (лр) ( 1)( 2) (1 е~ — 1)(1 )Р-м если учесть, что при п-~-оо, лр-з. а предел (1 — Р)' Ра вен « Можно показать, что в предельном соотношении (3) имеет место следующая оценка: Иы докажем более сильное утверждение в более общей схеме независимых испытаний.
Рассмотрим л независи. мых испытаний с разными вероятностями успеха в раз. ных испытаниях. Обозначим р~ вероятность успехе, д~ 1 — р1 — вероятность неуспеха в 1-м испытании. Обозначим распределение р — числа успехов при л испытаниях в через Р (р = т) = Р„(т) = Р„(т„р„..., р„). (5) Такую схему независимых нспытаний с разнымн р~ называют схемой Пуассона. Схема Пуассона при р1 ви р превращается в схему Бернулли, Вероятности Р(р=т) % сх тсогемА пуассона в схеме Пуассона не записываются в компактномвиде, аналогичном (1).
Например, Р (р = О) = ЧФх ° ° ° у ° Р(и=1)=рог "» у.+Ьргу ° ° у, +" +ур(' ° у.-ьо ° Р (ц = и) = р, рх ... рь, Р(~а=и) =О при т <О н т) и. Обозначим П(т, а)= а„е (6) Имеет место Теорема 2. В схеме Пуассона для любого натурального и, любьсх вероятностей рь рв ..., р, и лю. бого числового лиюжества В имеет место неравенство Р (и ен В) — ~ П (т, а)! ( ~ р'; ° (7) ! ч«ЕВ ~ 1 1 )т„=- ~Ч «1Рч (и; р,, ..., Р„) — П(и, а) 1. 1 л ь Разобьем все неотрицательные целые числа и на двв множества. Положим гиен В+, если Р„(т) > П(т,а), и и ~ В в остальных случаях. Обозначим 7 = ~ (Р„(т) — П (т, а)), «изв+ (Р„(т) — П (и, а)). ь«мв где а = Р, + Рх + ... -1- Р„, Доказательство.
Формула (6) задает вероят« ности П(т, а) более общего, чем мы рассматривали до снх пор, распределения Пуассона, имеющего положи. тельные вероятности при т =О, 1, 2, ... такие, что ~„П(т, а) =1. Докажем, что левая часть неравен* ~«« гтва (7) не превосходит )т„, где аз Гл. ь пРедельные теоРемы В схеме БеРнулли Так как ~ Р„(т) = ~„П(т, а) =1, то 0= ~ (Р„(т) — П(т, а)) = ~ + ~ )г„= — ) ) Р„(т) — П(т, а) ) = ~ 1 + С другой стороны, для любого числового множества 8 имеем ~ ~„(Р„(т) — П (т, а)) ~ ~( ч п4ах ~ ~ (Р„(т) — П(т, а)), ~ ~~', (Р„(т)— ! 44еВЙВ+ )44сваа- — П (т, а)) ~ ~ ( Х~"+ = )г„. Итак, для доказательства (7) нам достаточно доказать, что л ).«ЕР4. (8) Проведем доказательство по индукции. При и = 1 и р4 = р имеем ) Р4 (О; р) — П (О; р) ) = е Р + р 1, ) Р,(1; р) — П(1; р) )=р — ре Р, )Р,(т; р) — П(т; р))= ~, е Р, т)2, откуда получаем У, — ~ )Р,(т; р) — П(т, р))= 1 Л4 Л4 — 1+р+ел+р — реР+ ГР е Р 2~ 7 4Л 2 = р (1 — е Р) «р', (й) так как 0 «! — е "а х при х)~0.
р Эа. ТЕОРЕМА ПУАССОНА Далее воспользуемся тем, что по формуле полной вероятности Р„(т~ р, ..., р„)= Р„, (т' р» ° ° р ) Р (О' р ) + + Рл,(т — 1; рн ..., рл,) Р(1; р„) — ~Р (т — И)Р (й, р ), (!О) Ао н при любых а, > О, ао.-в 0 л П.(т, а, + ао) = ~ П (т — й, а,) П (й, ао). (! !) А-О Обозначим ал= ~ р„, Ал= ~ р', Предположим, что А-а " А-1 У'„, (А„а. (!2) Применяя формулы (9) — (!2), оценим У'„: рр 1' л я ~~~ ~! Рл (т) П (тр ал) ) рл о - р Ц ~ р., а - ам аа: р.а— арпа — а, ~ апра, р.а)< ( — ~ ~~~а~)рл,(т — й) — П(т — й, ал,))Ра(й; р„)+ н-О А-О аа ла +з. ~ ~Ха П(т — Ф, ал,) !Р,(й; р„) — П(й, р„) 1=~ па-О А-О Я,:', У „а + Р'„~ (А„. Теорема доказана. Следствие. В схеме Бернулли при любах а и р рар ра — ~п[, )~( р=ф, па%в где а= ар.
ТО ГЛ. Ь ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ 2 21. Локальная предельная теорема Муавра — Лапласа Биномиальное распределение (1) случайной велнчнны!» имеет М!»=пр и О!»=пру (см.задачу3 вгл.3). Обозначим о = Т~ард среднее квадратическое отклонение. Доказываемая ниже теорема дает асимптотнческую формулу для биномиальной вероятности (1) прн р, не близких к 0 или !.
Теорем а 3. (Локальная предельная теорема Муавра — Лапласа.) Если в схеме Бернулли а ч)прц — »оь, то для любого С О равномерно по всем !х)( Сеида «! — «Р х = —, где т — целые неотрицательные числа, « Р~ — "«Р х~= е "и(1+о(1)). (13) До к а з а т е л ь с т в о. Пусть т = пр+ ха. Оценим логарифм вероятности Р (!» т) Р Р х ртд«-т ГР— «Р Т «! о ! т! !« — т)! равный 1ои Р(!» = т) =!ода! — 1од т! — !оп (и — т)1+ + т !оп р+ (и — т) !она. Воспользуемся асимптотической прн п-»оь формулой Стирлинга 1оип(=п !ода+!оп ~I2пп — «+ 0„, где 0„= 0( — „). Обозначим !»=и — т=»и! — хо. Из l!х условия теоремы следует, что т=пр(1+ — )-» еь, хч х й=пц(1 — — ~-» оь, поэтому можно применить форхр 1 о ) мулу Стирлинга для оценки 1одп!, !опт!, 1одй!.
Имеем !АР(р=т) =п1одп- т1одт — Й1ой/г+ + т !од р+ й 1ок д+ — 1од —, + 0„- От — О». (14) ! м. ннтегральнля предельная творима 7! Так как !ои = — !оп — 1оя(1+ — ) — 1оп'(! — )= н 1 г х«~ г хр~ ей пр« ~ о) ~ о) = ь~ — '+ о ( — '), — '= о ( — ',), — '= о о ' и т' ' ю (+х«) О (у), — = 0 (-т), !од(1+ е) = 0 (е), е-+О, то из (14) получаем 1оа Р (!! = и!) = =- — гп!оп — — й 1оп — + 1оп — + 0~ — ).
(15) рФ й 1 Г1~ пр п« а 1/2п ~а Далее, из (15) следует !оа Р (р = гп) = — (ар + хо)! од (1 + — х«)— — (п« вЂ” хо) !од(1 — — ) + 1ои — + 0 ~-) хр~ 1 /1~ а ) а!Г2н ~а) 1 Гх«х'«' Р 1 ~1 =!од — — (ар + ха) ~ — — — + О( — )1— а Ч/2п (, . 2ое ( аз)) — (пд — ха) ( — — "" — 2,"2 + 0 ( „з )) + О ( — ) = 1 х' /1~ =1оя — — — + О( — ). а 1/2п 2 а что н доказывает аснмптотическую формулу (1Э) $22. Интегральная предельная теорема Муавра — Лапласа Для приближенного вычисления вероятностей Р(гп~ = (Р(П1«) МОЖНО ПРИМЕНЯТЬ СЛЕДУЮЩУЮ ТЕОРЕМУ. Т е о р е м а 4. (Интегральная предельная теорема Муавра — Лапласа.) Лри о= 4прд — оо равномерно по — со ~(а ( Ь(оо Р [а(" "Р ~Ь~ — — [)е Их-+О.
(16) Ф Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что !а!~С, 1Ь!(С. Пусть т~ — — 1пр+а тlпрд [, тх =[пр+Ь~ард 3, где )х( — такое наименьшее целое 72 Гл. 4. пРедельные теоРемы в схеме БеРнулли число, что х~()х[, а [х) — такое наибольшее целое число, что [х)(х. Тогда х$2 Р(а( ' Р (Ь~= ~~ Р(р=т). 7И 1П1 (! Т) Обозначим т=пр+х„~lп~~д, тогда Лх = х +1— — х = !/о. По локальной предельной теореме запишем (!7) в виде Р (а ( " Р (Ь~ = ~~' — е ' Лх ~1+0( — )).
(18) поэтому к к' =~е 'ах=! — — ~ е дх. У'2."х з 1/2п -с 1х1> С Из (!9) и (20) получаем Р (!$„[> С) — — ~ е х с(х = 1 Гзп ! х! > С с .х' Р(~ь~сх1 — + [ ' х*~. -с (20) (21) Справа в (18) стоит интегральная сумма, сходящаяся ь к' 1 г 2 равномерно по а и Ь при о-х- со к интегралу — ~ е с(х; ,гы ) х отсюда получаем утверждение (16), когда ~ а [ ( С, [Ь[( С. Снимем теперь ограничение !а[( С, [Ь[( С. Обо- значим $х = " Р .
Имеем равенство е Р ( ! $„! > С) = 1 — Р ( ! $„! - С). (19) Как известно из анализа, х' — ~ е Йх=!, Г ,Дп н) 5 23. ПРИМЕНЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕОРЕМ тз П усть задано е > О. Тогда найдется такое С, что х' 1 — е ' дх< —. 1(2л,) 8 1х1>с Зафиксируем его.
По только что доказанному найдется такое л1, что для всех л ~~ л1 х' Р((~„(~С) — — 1е д» < —, -с откуда, в силу (21) и (22), для тех же л ) л1 имеем Р(($„(> С) < — „'. (23) Берем теперь любой интервал [а, Ь) и обозначим [А В)=[а, Ь1()[ — С, С). Так как — С < А < В < С,то, как мы уже доказали, существует такое ль что для всех л лз имеет место неравенство в Р(е„еи[А, В)) — ~ — е ' дх < —. (24) Из неравенства ь х~ Р ($„ЕЕ [а, Ь)) — — ~ е ' с(х < Р (( $, ~ > С) + х Ф в += ~ е ' с(х+ Р(к„н-:[А, В))-=~е ' 11» г 1 получаем, в силу (22) — (24) „что при л ) ла =-- = щах(л1, лз) ь х' Р(ах Н1[а, Ь)) — — ~Е ' С(Х ~~а 1 х равномерно по всем а < Ь.
Теорема доказана. 5 23, Применения предельных теорем Предельные теоремы Пуассона и Ь4уавра — Лапласа применя1отся для приближенного вычисления вероягностсй Р(р=т) и Р(т1:=,"ратх) в схеме Бернулли 74 гл, з предельные творимы в схеме ввризлли при больших а. Приближение, даваемое теоремой Пуассона, называется иупссоновским. Приближение, получаемое с помощью теорем Муавра — Лапласа, назых' 1 вается нормальным, так как функция =е есть ° ~зи плотность нормального распределения (см.
$ 3(). Для а распределения Пуассона — е-' и интеграла т1 х м Фл(х) = — ~ е 1Ь> з7зл (25) называемого интегролом Лапласа, имеются таблицы. Пусть, например, нам нужно вычислить вероятность Р(л11»»р»»тз) в схеме Бернулли с л независимыми испытаниями и с вероятностью успеха р. Вычислим т~ — лр ~л1 — лр х„„, х . и положим 1/лЩ 1/лРЕ л Р (л11 < й (» л11) = — ~ е и'х = Ф, (х,) — Ф, (х,). 1 (26) Прн этом мы допускаем некоторую погрешность. Мож. ио оценить эту погрешкость, но точная ее оценка очень сложна, а более простые оценки слишком грубы, Эту погрешность можно значительно уменьшить, если в правой части приближенного равенства немного изменить пределы интегрирования, полагая Р(л11~)1:и тД Ф„(х +„) — Ф„(х„л ьл), (27) т1+ 1/2 — лр т~ — 1~2 — лр ГДЕ Х„,,+, —— , Х, 1Л= л7лрл елрч Из табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
