Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1119910), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Р'(х)= р (х) в точках непрерывности р (х); х 2. Рз(х)= ~ рз(и)ди; В 3. Рх(х,) — Р1(х,) = ~ рз (и) с(и для любых х, < х,, м Если распределение имеет плотность рх(х), то мы будем говорить, что случайная величина $ имеет абсолютно непрерывное распределение. Через плотность рх(х) можно выразить любую вероятность Р Ц ~ В), 9 7Е СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 39 Для множеств В, равных сумме интервалов, интеграл (9) вычисляется обычным способом. Для того чтобы равен- ство (9) имело смысл при любом борелевском множе- с7 ве В, нам нужно обобщить понятие интеграла, пе. рейдя от интеграла Римана к интегралу Лебега (см, гл.
7). Отметим, что существуют непрерывные функции рас- пределения Р(х), не имеющие плотностей. Примером такой функции служит канторова функция Р(х), кото- рую можно определить равенствами Р(х)=0 при хе (О, Р(х)=1 при х» 1 н 2 Р(Зх) 1 при О~х- —, 1 1 1 2 Р(х) = 2 при — . «х: з з' ~ 2 + 2 Р(Зх — 2) при з ч х~~!. 1 1 2 Непрерывные функции распределения, не имеющие плотностей, называются сингулярными. В общем случае любая функция распределения Р(х) представима в виде Р(х) =а,Р, (х) + атР7(х) + агрг (х), где а; » О, а1+ ах+ аг= 1, Р,(х) — дискретная функ. ция распределения, Рг(х) — функция распределения, имеющая плотность (такие функции называ1отся абсо- лютно непрерывными), Рг(х) — сингулярная функция распределения.
Плотность распределения р(х) обладает следующими двумя свойствами: р (х) -: О, ~ р (х)7(х = 1, ОО (10) которые легко устанавливаются из определения (8). Функции от случайных величин. Пусть у(х) отображает действительную прямую Я в себя. Для любого если мы умеем вычислять интеграл по области В в следующей формуле: Р(9 ЕЕ В) = ~ рт(х)а7х. (9) в 9О ГЧ. Е СЛУЧАИНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЮГШНН СЛУЧАИ) В ы !! полный прообраз й-'(В) определяется как множество тех точек хен т1, для которых д(х)еи В. О п р е де л е н и е 5. Функцию п(х) назовем борелевслой, если для любого борелевского множества В ЕЕ Я полный прообраз д-'(В)~Я, т.
е. тоже борелевский, 1( множеству борелевских функций принадлежат, в частности, непрерывные и кусочно непрерывные функции. Тео рема 2. Если $ — случайная величина,а а(х)— борелсасхая функция, го т! = й(~) есть случайная величина. Доказательство. Рассмотрим т)=т!(в) как сложную функцию т! = д($(ат)). Пусть В~Я. Так как л(х) — борелевская функция, то й-'(В)=В~ еиЯ.
Так кзк т1-'(В) = $-т(В1)ен.я1, то ц — случайная величина. Рассмотрим два примера вычисления функции распределения р„(х) н плотности рч(х) случайной величины т! = йц) по функции распределения рт(х) и плот. ности р;(х) П,р 1 П) фу и Ч вЂ” й(й) растает, д-'(х) — обратная функция. Тогда Е„(х)= Р(т)<х) = Р(дИ<х)= РВ<й '(х))=рт(д '(х)).
(11) Дифференцируя (11) по х, имеем (если ст(х) дифференцнруема и имеется плотность рт(»)) Е„'(х) =г'(а '(х)) откуда получаем соотношение между плотностями: ! т,ь)= „„„та(т 'ь11 В частности, прп и(х) = х' имеем рп(х)= тз РЕЫ») Пример 2. Пусть д(х)= х', Рч(х) — непрерывная функция распределения с плотностью рт(х), При х ~ 0 из равенств Е„(х) = Р (т! » (») = Р Дт < х) = = — Р (- ~~х ( ~ ( уГх ) = Г! (~/х ) — Е! ( — ~/х ) 3 м. Спучлиные Величины и их РАСНРеделега!я 91 получаем Р„(х) = — (Р1 (Ч/х ) + Р1 ( — 1/х )). Рассмотрим несколько примеров абсолютно пепре. рывиых распределений. 1.
Нормальное (или гауссовское) распределение, Мы говорим, что случайная величина $ имеет нормальное распределение с параметрами (а, о), — оо ( < а < ьь, и ) О, если она имеет плотность м-ая р1(х)==е ч/Ея в 11ормальиое распределение с параметрами (0,1) с плот- ностью м 1 р(х) = — е называется стандартным. Плотность р(х)' удовлетворяет условию ОФ м ~ р(х)дх= — ~ е ' Фх=1. 2. Равномерное распределение.
Мы говорим, что случайная величина $ имеет равномерное распределение на отрезке [а, Ь], если ее плотность имеет вид 1 С при а~(х~~Ь, Р1(х)=~ 10 при х<а или х>Ь. ЮФ ь Иэ условия ~ р(х)дх=С~дх=С(Ь вЂ” а)=1 следует ОФ Ф С=— 1' ь — а' 3.
Гамма-распределение. Распределение с плотностью О, х<0, р1(х) = ~а .а-1 — е-А' х) 0 1' (а) 99 гл. е, случАииыа Величины 2овщин случАи> где сс ~ О и А.з Π— параметры, Г(а) — гамма-функция, называется гамма-распределением. Плотность р»(х) с а =! называется плотностью показательного распределения.
$28. Многомерные распределения Часто приходится рассматривать на одном и том же вероятностном пространстве (И, М, Р) несколько случайных величин $!, $2, ..., $.. Так как множества (9» Ял < х») яФ, т. е. являются событиями, то и их пересечение Ц (5» (х,) ен Ж Поэтому существует вероят» ! ность этого события, которая называется многомерной функцией распределения )э(2!~(хь ..., $„(х„)=Р», „.2„(х„..., х„). Многомерную функцию распределения мы будем иногда записывать просто Р(х!, ..., х„), не указывая индексами $!, $ . Обозначим Ь», „,»„Р(хь ..., х„) разность и-го порядка по аргументам х!...., х„с приращениями Ь|, ...
..., Ь„. Последовательно эти разности можно определить следующим образом: Ь»,Р(х!, ..., х ) = Р (Х! + Ь|~ Х»ю ° . ю Хл) Р (Х2, Х»ю ° ю Хл)~ Ь»»Р(х!, хм ..., х„) =с»»,(с»»,Р(х!, ..., хл)) = л=Р(Х! + Ь!, Х2+ Ь2, АЪ ° ..~ Хл) Р(Х! + ЬЬ Х2~ ° ° °, Хл) Р (Х!> Х2 + Ь2, Хз~ ° ~ Хл) + Р (Х!~ Х2> ° . ' ~ хл)~ и т. д. В общем случае имеет место равенство Ь», ... » Р(х!, ..., х„)= ! 2; ( — 1)"+э!+"'+э Р(х2+ВА, ..., х„+В„Ь„), еп ..., э„-о где суммирование ведется по всем О; = О и 1. С помощью Р»,.„»„(х!, ..., х) можно вычислить вероятность попадания в любой прямоугольник вида % 3!.
МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕННЯ 93 хз(ь<Х2+Ь„!'= 1, ..., и: Р (х, < $ ~ (х! + 6„! = 1, ..., и) = бл, ... л Р(хь ..,, х„). (12) Доказательство формулы (12) можно провести последовательно; Р (Х! < й ! » ~Х! + й!, $2 ~ Х„..., $„(~ «л) = =~(~!~х!+й„~з~хз, ..., $„<х„)- (л! ~~к! ' ' > 6л ~(хл) =>зл Р», > (х!,,, кл)' рЗ(Х! < $! Ч Х!+й!> Хз < й>Л Хз+йз> йЗ Л ХЗ> ° ° ' йлз Хл)= = Г (х! <е!Ф!+и!> ез~~хз+т>2 езллхз> ° ° Елллхл) — Р (Х, < 5! В'. Х! + Ь!, $2 (~ Х„..., ~„(~ Хл) = = >лЛ (ЬЛ Рз „. $л (Х!> Х2» ° Хл)) = =>зз Л Р1 ...
З (Х!> Х2, ° ° > Хл) н т. д. Из формулы (12) н из определения многомерной функции распределения Р(х!, ... хл) вытекают следую- !цие свойства (которые доказываются аналогично одно- мерному случаю): 1) Р(х!,хз, ..., хл) по каждому аргументу не убы- ваег и непрерывна справа; 2) Р( — оо, хз, ..., хл)=Р(х!, — оо, х„..., хл)= =Р(х„..., хл !, — оо) =О; 3) Р(+ оо, + оо, ..., '+ оо) = 1; 4) при любых и! ) О, ..., Ь, ) О Ьл, ...л Р(х!> ..., хл) ЛО.
Здесь, как н ранее, Р( оо. Хз> ° ° ° «л)= 1нп Р(х!> Хз ° ° хл) л>-л- » Р(+ оо, х„..., хл) = 1ип Р(х!, х„..., хл). л>-л+» Любая функция Р(х!, ..., хл), удовлетворяю!цап свой- ствам 1) — 4), есть многомерная функция распределения некоторых $„..., $„. Пример функции ( О при х,+хз<1, Р(х!, х,)= ~ 1 при х, +хз)~1, в4 Гл. к олучлинь«е Велнчнны «овщни случАЙ! для которой выполнены свойства Ц вЂ” 3) и не выполнено свойство 4) (так как Ь««Р(0, О) = Р(1, 1) — Р(1, О) —.
— Р(0,1)+Р(0,0)= — 1), показывает, что свойство 4) не вытекает из первых трех. Из формулы (12) и свойства счетной аддитивности вероятности следует, что Р«, „, «(х!, ..., х )=Р«, „, «„(х!, ° ° ., х и +ос, °, +оо). Назовем о-алгебру множеств и-мерного пространства Д", порожденную всевозможными и-мерными прямоугольниками вида а, < х! (Ьь ! = 1, ..., п, боре- левской и будем ее обозначать й)». Множества из Я» также будем называть борелевскссми. Как это было и в одномернол! случае, многомерная функция распределения Р«, „.1„(х«, ..., х„) позволяет нам при помощи формулы (12) вычислять вероятности событии внд,! сан В, где $ =($!, ..., 5.),  — прямоугольники и конечные нх суммы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
