Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1119910), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Лемма 1. Пусть Ч и $ — простые неотрицатель- ные случайные величины и $ у $ ~ Ч. Тогда !ип Мьл ~~ МЧ н "Ф Доказательство. Пусть е> О. Обозначим А„ (ич $„(ьт)))Ч(е) — е). Тогда А„! (с) прн п-ьсо, сле- довательно, Р(А„) з О. Далее, из очевидных неравенств 5, ) $ тл ) (Ч вЂ” еУ = Ч вЂ” еул — Чт'-л и свойства 2' математического ожидания М$„~ МЧ вЂ” еР (А„) — сР (А„), где число с выбрано так, чтобы Ч(а):-.=с при любом вена. Имеем М$„)~ МЧ вЂ” е — сР (А„), а так как Р(А„) ~ О, то 1ип М$„- МЧ вЂ” е л-+ ю прн любом ь) О. Поскольку е произвольно, то отсюда получаем доказываемое неравенство.
Используем теперь зто неравенство для доказатель- ства (6). Пусть з„'! Ь Ч„ ! 5 — две последовательности простых случайных величин. Зафиксируем тп и применим к $„'!$)Ч лемму. Получаем !ип М$„)МЧ,„, откуда следует 1ип Щ„) 1!тп МЧ„. Меняя местами $„и Ч„, ньаю л ьв приходим к равенству (6). Доказательство свойств. 1 . Пусть 0:~ К„! В, 0 ~(Ч„! Ч. Тогда $„+ Ч, Т $+ Ч н по определению М (~+ Ч) = 11т М Я„+ Ч„) = 1!гп Мз„+ 1!пз МЧ„= и ьюю ь-э е ь.ь е = М$+ МЧ. 104 Гл. в мАтвмхтическОе ОжидАние Если $ эО и с~О, то из $„~$ следует с$„1сз и М(с$)= 1пп М(с$„)=с!пп М$„=сМ$. л-эоо 6-+с.
2'. Из Оа~$„('$ следует 0~Ма 1 Мз. Если $,а~Ч, то из $=Ч+($ — и) вытекает М$=М~)+ М($ — Ч)~ МЧ. 3'. При $)0 имеем 131=5 и М1$1=М$. Если Оч,$~Ч и МЧ < оо, то из М$~(Мт) следует М$< со. Ш. Общий случай. Так как разложение В = $+ — $- единственно, то математическое ожидание М$= М$+ — М$ определяетгя однозначно, если оно существует. Доказательство свой ст в. 1'. Из в = $+ — $- следует с$ = в$+ — с$- для с ) 0 и с$=1с1$- — 1с1$+ для с < 0.Отсюда М(с$)=сМ$.
До. кажем теперь свойство аддитивности М($+ч)=М$+ + МЧ. Заметим прежде всего, что из равенства й = $~— — $м где $~ > О, $~ > О, следует $~ — — 3++ 6, $з = $-+ +6, где б> О. В самом деле, из равенства $ = $+— — з = $~ — зг вытекает, что $~ — $+ = $з — $- > 0; обозначая $~ — $+= б, получаем (з = $ — +б. Далее, из $ = $1 — $, нетрудно получить М$= М$, — М~е, если М~ь М$~ конечны. Поскольку 3+О =(~++г~+) — ($-+ +П-), то из только что доказанного равенства имеем Ма+О)=Ма" +ч')-Ма +О» откуда уже легко следует М(а+ п)=Ма+ Мп, Этот вывод справедлив, когда Мз и Мп конечны. Случай бесконечных М$ или Мп легко анализируется отдельно.
2', Докажем, что из $) и и существования М$ и Мп следует М$ '=» Мт1. Случай Мт1 = — оо тривиален. Предположим, что Мп ) — со. Тогда в разложении = г1+ ($ — и) можно воспользоваться аддитивностью математического ожидания М$ = Мт1+ М($ — и) и нера. венством М($ — Ч) > О.
Получаем М$ > Мп, 3, Так как из $=$+ — $ следует 1$1=$++$, то из конечности М$ следует конечность М$+ и М$ . Все остальные свойства 3 проверяются просто. Мультипликативное свойство, Тео р е м а 1. Если $ и ~) независимы и имеют конечные математические ожидания М$ и Мгь то (7) А 30. ОЛРеделение мАтемАтического ОжидАния 1сб Доказательств о. Пусть $ и ч1 независимы. Если и е и г) простые и представимы в виде е = 2'хв1А, и= А-! =Еу,1а, где х,<х.« ...
х, у,<у. ( ... (у„, то Р (ААВс) = Р (АА) Р (В,). Поэтому МВЧ=М Д', Е,хву~1ААЕ,=~'; Е, хвуР(ААА)= т и О3 и Е хву~Р(АА) Р(В,)=~ хвР(А,) ~;у~Р(В~)=М$ Мв). Если неотрицательные $, и независимы„то простые $,, = =у„(Е) и г)„=у,(т~), построенные по формуле (5), тоже будут независимы. Поэтому М5ди = Ме Мп ° Так как $и1$, питть то $иии 1 $П и М3,д,1М$в). Таким образом, равенство (7) доказано для неотрицательных $ и в). В общем случае $ = $+ — Е-, в) = в)+ — т)-. Так как Ее и г)- есть функции от $ и ть то они независимы. 11о. этому Ма' — Г)(1' — и )=М~+ 1' — М~'и — МГ 1++МГп = = М$+ ° Мч+ — М$+ ° Мч — М$ ° МЧ+ + Ме ° Мн =(Мй+- МГ)(Мц+ — М 1-)=М~ Мп.
Теорема доказана. Следствие 1. Если $ь ..., $и независимы иимеюг конечные математические ожидания, то М$~ °,. е = = М$1 ... ° М$„. Доказывается по индукции. Интеграл Лебега. Данное нами определение математического ожидания есть не что иное, как интеграл Лебега от функции е=$(вв) по вероятностной мере Р. Для такого интеграла используют обозначения "1 и ии ( ~ ( ии Р и ) ( и ж ) ~ ю, .~-- .Р. и 6 а интегрировании по всему пространству 1А иногда вместо пишут просто ~. Интеграл Лебега по множеству Еое Гл.
х м»тем»тическое ожидАнке А ел Ф определяется как интеграл от $»л, т. е. ~ в!1Р=~Е! !1Р. А в Рассмотрим вероятностное пространство (Я, М, Ре), где 1! — прямая, Я вЂ” а-алгебра борелевских множеств на ней, Ре — распределение вероятностей случайной величины $. Интеграл Лебега ~ й(х)!(Ре(х) от борелевской функции и(х) иногда записывается как $ Ф (х) с(се (») и называется интегралом Лебега — Стнлтьеса. Здесь Ре(х) — функция распределения й, которая порождает вероятностную меру Ре Свойства сходнмости.
Докажем две теоремы о переходе к пределу под знаком математического ожидания. Теорема 2, (Теорема о монотонной сходимости.) Если 0($„т $, то Ип! М$„= М$. Доказательство. Так как 0 = $л ~ $, то О~ ~М$»(М3 и 1ип М$„~ М1. Введем простые случайные величины $»», так что О(; (~йл» т $„при й-»со. Случайные величинй»1»= !пах $„» !~л~» также будут простыми. Так как 0(»1»= п»ах $„»» и!ах $„,»+!»1»+„ ! < л С» ! С л <»+1 то последовательность т!» монотонно возрастает. Обозначям т1 предел Ип! !)».
При каждом й т)»я~5», поэтому Ип! М»1»= М»1 ~ <Ип! М5». (9) » +ел » +лл Далее. при а~й $„»(»)»К.:»Е; полагая й-».оо, имеем $„(»Е при всех и, откуда $~»1 и М$~(МГН что вместе с (8) и (9) доказывает теорему. ч и!, оптадвлвние математического ожидания !ет Следствие 2.
Если ряд ~ $„состоит из неотрил 1 !!отельных случайных величин, то м Щ!) = ь м!„. (10) Доказательство. Последовательность л частных сумм удовлетворяет условиям теол-! ремы 2, поэтому 1нп Мг)„=М Ип! Чл, а это — другая л.«»» л-«и» запись равенства (10). С л е д с т в и е 3, Если М !1 конечно и события А„! И, го Ига М!17л,— — О, (11) л-«»» Доказательство. Если ! М!11< оо, то М1!1 !< со.
Разложим ! Ч ! на сУммУ Чл+ !1„', где !1„'=! г! !7У !1„=!Ч!Х„. Тогда М!Ч1=Мт)„+М!1'„и 0~<!)„'!!!1!. По теореме 2 !пп Мг!'„=М!!11, поэтому Ип! М!1„=0. л-«»» л.«»» Из ~Мг!1л„~ <М! г! !!л -«О вытекает (11). Теорема 3. (Теорема Лебега о мажорируемой сходимостн.) Если 1пп5„=$ (в каждой точке л!~11) и л.«»» 1$„)ч'-!1, еде М!1 < оо, то И!п М$,= М$. (12) Доказательство, При любом е > 0 последовательность событий А, = (ен апр ! $ (!з) — »л(ы) ! < з) та л»>л коза, что А ! 8.
В сумме $„=$„)'„+$„1~ слагаемые л л л Е и оцениваются так: Ул -з<$„1„<У„+е — Ч1е <а ~у <П)х, откуда ~- — и- — и(, <~ <~+ +и)- -и-, ли л ' и лл ли М$ — з — 2М!1)д ~<М$,~М$+е+2МЧУл . (13) !оз Гл. ь МАтематичяское ожидхния Переходя в (13) к пределу по а-~- со н прнменяя след- ствие 3, имеем М$ — е(~ !йп М$„< 1пп М$„(<М$+ 8. л.+во " '+- Поскольку е 0 произвольно, отсюда получаем (12). й 31. Формулы для вычисления математического ожидания Как мы уже отмечали в 3 27, случайная величина $ = $(в), заданная на вероятностном пространстве (!1, Ф, Р), с точки зрения ее вероятностных свойств вполне характеризуется своим распределением вероятностей Ре, поэтому ее можно рассматривать определснной на вероятностном пространстве ()7, Я, Рз) функпией $ ° $(х)= х, лен Д.
Отсюда можно сделать вывод, что математическое ожидание М$ ~ $(м) Р (Ым) на самом деле не зависит от вида функции $(в), в ен И, а зависит только от распределения вероятностей Рз. В самом деле, для неотрицательных случайных величин '„- нмеем М$= 1!т М$„, где ~ тч щ„=~~~ а „!.Р(а: -~:. (й(в)~:-уг ~. (14) й-1 Эту сумму можно выразить через закон распределення Р1: ьз МЬ.-~ч; — ';.' Р,((-'-, '- Я. з ! Предел !нп М$, в (14) мы обозначали как интеграл а >ой Лебега ~ 6(м)НР(м); тот же предел в (!5) будет интегралом Лебега ~ хЫР!(х), который также называют ин- о й эь ФОРмулы для Вычисления тегралом Лебега — Стилтьеса и обозначают ~ хИ'й(х). о Применяя то же рассуждение к $+ и $, мы получаем выражение для $=$+ — $; Мй = ~ х с(Рь (х), Ъ (16) зависящее только от распределения случайной велипгны $.
Если М$ конечно, то в формуле (16) мы можем по. нимать правую часть как несобственный интеграл Римана — Стилтьеса (в этом случае он сходится абсо. лютно). Интеграл Римана — Стилтьеса от л(х) на конечном отрезке (а, Ь) по неубывающей функпии Р(х) с конечным изменением Р(Ь) — Р(а) определяется как предел л-1 ~ Л(х) ар(х) Нт ~Я(хл)(Р(ха+,) — Р(ха)], е а-о Ь вЂ” а г где х а+ —.й, й О, 1,..., в, ха<явь-.ха+и Иесоб* а и ственный интеграл ~ и (х) ар (х) определяется как предел Ь пю 1 л(х) ар(х).
если Р(х) имеет производную р(х) и Р(х")- ат- д з.ь оэ — Р(х') ~ р(и) с(и для всех а: х'(х".'~Ь, то ~а(х)бр(х) ~ и (х) р (х) 0х. Выведем формулы, по которым вычисляются Мя и Мтгй) для непрерывных случайных величин. гл. к математическое ожиплпие (17) Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы будем предполагать, что плотность р~(х) р(х) интегрируема по Риману и справ„в (17) стоит несобственный интеграл Римана (доказательство остается справедливым н для интеграла Ле бега). Рассмотрим сначала неотрицательную случайную величину й с функпней распределения 0 при х <О, Р (0) пря х=О, ч (18) Р(0)+ р(и)г(и при х) О. Р ($ » <х) * Ре (х) Г Ф вЂ” 1 а 1 Обозначим Аь ~ — к- <$<»~-~ и введем последовательность простых случайных величин чз" ~л ~~~ ~яя л»' е ! Тогда М$ Ипг М$„.
Имеем лес чл аув Мй, ~~ -йй- ~ р (и) г(и (А-пе Л лт ФВ хр(х)йх — ф~~~) -р ~ р(х)йх<»~ хр(х)с(х. е м- цае е Теорема 4. Если случайнан величина К имеет ллог- ноггь р (х) и ~ 1х1р (х)Ых < оо, то Ю М$ ~ хр (х)г(х. М 9 ЗЬ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ Переходя в неравенствах хр(х) г(х — — „( М$„~~ ~ хр(х) Ых ! о к пределу по и .~- оо, устанавливаем справедливость (17) для неотрицательных случайных величин. В общем слу. чае я = $+ — $- и $+ и $- имеют распределения вида (18) с плотностями (при х > 0) р + (х) = р(х) и р (х) = =Р(-х).
Имеем Мй = М1+ — МГ = ~ ЛР(х)<тх — ~ хР(-х)г(х= ~ хр(х),1х ь о О Те о р е м а 5. Если $ имеет плотность рь(х), функция д(х) непрерывна и интеграл ~ ) у(х)(р (х)!)хсходится, то Ю Мя(е) ~ я(х) р (х)Ых. 40 Д о к а з а т ел ь с т в о. Сначала рассмотрим непре рывные функции д(х), равные нулю вне интервала !а, Ь]. Для каждого и= 1, 2, ... положим х„к=а+ + — „"й, О при х(а или х> Ь, йь(х) = я(х„ь) при х„,ь ! <х~<х„ь.
Пусть е-~ О. Тогда найдется такое пм что для всех н пь и всех х ен(а, Ь] справедливо неравенство ~д,(х) — д(х))(е, т. е. у„(х)-Рд(х) при и-э оь рант померно по х, Кроме того, прц и ) пь ! Я„(х)!~(~ д(х) !+е, и у(х)' ограничена. Применяя теорему Лебега о мажо- рнруемой сходимости, имеем 1нп Мя„ (я) = Мя ($), (20) и.+в 112 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
