Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1119910), страница 19
Текст из файла (страница 19)
вых производящей функции вычислить математическое ожидание и дисперсию этого распределеявя. г-ф(г). (19) Это уравнение всегда имеет решение г !. Если других решений в [0,1! нет, то отсюда следует, что 9= 1.При А а~ 1 других решений уравнения (19) иет, так как при всех 0 м,:, г ( л' ( 1 выполнено неравенство г ~ ( ф(г) (см. Рис.
11). Лействительно, 1 — ф(г) ф'(О) (1 — г), где г ( 8 < 1, поэтому из ф'(8) «1 Л вытекает 1 — ф(г) ~ 1 — ж Прп 0 с. з с. 1 вторая производная ф"(г) > О, поэтому уравнение г г =ф(г) не может иметь более двух л>г коРней в [О, ![. Так как ф(0) =и 0 и Рис.12.Графикпроиапри А ) 1 существуют г~ «1, для водящеафункцииф(а) которых ф(г~) «г1, то найдется ко- иадкритического ветРень О ~ го «" 1 уравнения (19) ващегосв пРоцесс'. (рис.
12). Докажем, что в этом случае д = го. В самом деле, нетрудно установить, что ф(г)>г при Ос.г(ге и ф(г)<: г при ге к. г 1. Так как фг+1(0) ) фг(0), то из (18) вытекает, что р,(о) < ф(ф,(о)) прн любом 1, следовательно, фг(0)( ге прн всех Ф и д Ит ф,(0)«а>«.1. Таким образом, вероятность д не ге э может быть равна 1, а так как она есть корень уран. пения (19), то и = зо ( 1, Теорема доказана. ГЛ. З.
ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 2. Функция 1 — (/! †.т есть вероятностная провзводящаи функция. Найти соответствующее распределение. Что можно сказать о его математическом ожнданниу 3. Дана производящая функция ф(з) ~ Р(й л) з" случайя ной величины $. Найти производищую функцию А(з) ~~~ аязч я о для вероятностей ая Р (й ) и). 4. Пусть число потомков одной частицы в ветвящемся процессе опредечястся производящей функцией ю(з) !в А (1 — з) — (1 — з) + 1 В 2А Найти ее Ню итерацию Ф(з).
Найти вероятность вырождении ф Г л а в а 9. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ й 37. Определение и простейшие свойства характеристических функций В предыдущей главе мы познакомились с аналитическим аппаратом производящих функций, который ус. пешно используется в задачах исследования свойств распределений целочисленных случайных величин. В об. щем случае аналогичную роль играют характеристические функции. Для их определения нам нужно понятие математического ожидания распространить на комплексные случайные величины. Пусть ь = $+ (гь где $ и и — пара действительных случайных величин, у которых существуют и конечны М$ н Мп. Тогда математическое ожидание комплексной случайной величины определим как сумму М1=М$+8МЧ.
(1) Основные свойства математического ожидания (найрн. мер, свойства аддитивности и мультипликативности) естественным образом переносятся на случай (1), Остановимся лишь иа доказательстве неравенства (2) ! М1!<М В!. Если случайная величина ~ простая, т. е.
принимает лишь конечное число значений ~ = гь — — хе+ (ум причем )з(~=гь) =Ем то (2) есть простое следствие свой* ства модуля комплексных величин: 1Мь1=~ х зьре~(».)' 1за1рз=Мь (3) ь, й Пусть $=$+ — $, Ч=Ч+ — Ч, а $~, Ч~ — последовательности простых случайных величин, для которых $ь '1 $е, Чч (' Ч~ и, значит, $„ =$„+ — $, — $, Ч„ =Ч„+— Ч„-+Ч. Тогда ~,-+~, и по определению М$, МЧ 6 Б. А.
севастьянов !зо гл в ХАРАктевистичкскнп етнкцин имеем М~ = Вш М~„, п-~ ее где ~„=$„+!т1„. В силу (3) при любом и 1 М~„1<~ М1~„1. Покажем, что !пп М1~„1= М1ь 1. В самом деле, из я ~„-+~ по теореме Лебега о мажорируемой сходи- мости вытекает М1ь„1- М1~1, так как мы рассматриваем лишь случай М1$1(со, М(ц! «о О п р е де лен и е !. Характеристической функцие3 случайной величины $ мы будем называть функцию~а(!); от действительного аргумента (, равную )! (!) = Мент. (4) Раскрываяв (4) е'ч поформуле Эйлераегв = соыр+ + ! з!п и, мы имеем ~т(!)=Мсоз$(+!М з!пЦ. (5) Иногда мы будем вместо (е(!) писать просто 7(!).
Если Гт(х) есть функция распределения $, а ре(х) — ее плотность (если она существует), то по общим формулам вычисления математического ожидания имеем: ~!(а)= ~ е"'ЫР!(х), ~!(!)= ~ е"р (х) ах. (6) Если распределение $ дискретно, то ~т (!) = ~ еп"" Р (з = хз). Из (6) и (7) видно, что характеристическая функция ~е(!) вполне определяется функцией распределения Гь(х) случайной величины $. Перечислим несколько простейших свойств харак теристических функций. з и. опееделеннс и !!ьостви!вне,авопцт!ва 1э! 1) !1(1) ) ~~ 1 при каждом действительном 1;1(0) = 1. Доказательство просто получается из неравенства (2)„так как !виг 1=1 и 11(!) !=! Мен4 !(М!вн4 1= 1.
2) 1(1) равномерно непрерывна по!. Для доказательства этого свойства установим сиа. чала справедливость следующей леммы, которая нам понадобится далее. Лемма 1. При действительных !р и любом целом п ) 1 имеют место неравенства ! »-! е!» — ~ — ( —. бчг! ! р !" ь! и! »-» (8) Доказательство. Поскольку 1е!»)=1, то ! Ф !»! ~ е!»ди =)е'» — 1 )~» ~ Ни=! !р !. Далее доказываем (8) » О по индукции.
Пусть (8) справедливо прн некотором а. Тогда, так как то !»! ь" ! ф!"+' ( ( — Ии= — ° 3 и! р+ 1!! Для доказательства 2) рассмотрим событие А = = (~~! ~ Х) и в правой части неравенства 1)' (г + Ь) — 1 (1) ! = ~ Меиг (ем! — 1) 1~( ~~М~е!М вЂ” 1!1 + М!е!"1 — 1!1 где У„н !„— индикаторы событий А и Х, применим неравенство (8) прн и = 1 прн оценке первого слагаемого и 1ет!1 — 1) » ~2 при оценке второго с!!агаемого. 1М Гл. 9. ХАРАктегистические Функпии Тогда (((1+Ь) — )(1)!<»1Ь! ° М)~11 +2М1-(» <»~ Ь! Х+ 2Р (! 61> Х» Пусть е> О. Выбирая сначала Х таким, чтобы Р(! $1> е е >Х)<-, а затем полагая 6 —, получаем, что 1 ((1+Ь) — ((У) ~ < з при ~ Ь | < 6. 3) Если т) = а$+ Ь, где а и Ь вЂ” константы, то )ч(1) = еиь(е(а1) Легко вытекает из определения: 4) Если $ь $т, ..., $„независимы, то (9) Из независимости $и $е, ..., $„следует независи- Щ, Ще аЦ„ масть е ', е ',..., е "; применяя к иим свойство муль.
типликативности математического ожидания, получаем (11) ле л . л б) йа( — 1)-7Е(1). 'ц -кц Вытекает из е =е и свойства 3). 6) Обозначим лт„=М$". Если ж„конечно, то суще- ствуют все производные )~ ~(~) с Ь »<а и ~~И(0) (АМ$~. (10) Кроме того, имеет место разложение л 1 (1) = ~, — А те+ й, (1), е-о еде 1Г (1) = о((л) при 1-л оо, 3 эт. ОпРеделение и пзостейшие свонствл !33 Доказательство. Если мы й раз формально продифференцируем (4), то получим равенство е )!~(1) = Г'М$ епа =1 ~ х'е' 'НГ(л). (12) Полагая в (12) 1= 0, приходим к (10).
Для обоснования законности дифференцирования под знаком математического ожидания в (12) рассуждаем по индукции. Пусть формула (12) справедлива при й ~ а. Поскольку Гм(й+ Л) — (!~(Е! .ь ь епт(е~~е — 1) 1 ° ""''- В'и"'"'„-'~ )В!'" ° МК~" <-. то в правой части (13) по теореме Лебега о мажорируе. мой сходимости можно перейти к пределу по й-~0. Таким образом мы доказываем справедливость (!2) пон й+ 1. Для оценки остаточного члена це(1) в (11) применим лемму 1 к разности и ь*о е ь-о + 2М ! ~ 1,~! 1л, (14) где 'А — событие, введенное в 2) (здесь в первом слагаемом мы воспользовались неравенством (8), а во вто. ром — неравенством (как как 1л = 1 при )$~ » Х, то из (14) получаем 134 гл.
а хлелктсеистическив отнкции Пусть е>О. Выбираем сначала Х таким, чтобы М)Я! < л < 4, а затем Ь = . Тогда при ) г! < б имеем е (и+!) л. !Р„(1)1» (— „е, что и требовалось. 1г 1" 7) Если щ1 (з) = Мз — производящая функция це- $ лочисленной случайной величина, то ~1 (!) = ~Р1 (е"). Следует нз определения. Вычисление характеристических фуницнй некоторых законов распределений. !) С помощью формулы (15) получаем характеристические функции следующих распределений целочисленных случайных величин: а) Биномиальное распределение РД=гп)=С„р (1 — р)" ~, и=О, 1...., и, ~т(1) (рви+ 1 р)л б) Пуассоновское распределение РК=п)=~ е', п=О, 1,2,..., и! ~1 (1) = ехр (а (еи — 1)). в) Геометрическое распределение РЦ=п)=ру", п=О, 1, 2, ..., у=1 — р, Ы)=, "„„. 2) Вырожденное распределение Р($ = С) = 1, ~е (~) = е 3) Нормальное распределение. Если случайная величина $ имеет нормальное распределение с параметрами (О, 1), то 1(1) == ~ е дх.
~/а Ь З7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Н ПРОСТЕИШИЕ СВОЙСТВА Ц5 Дифференцируя равенство (16) по г, получаем 1'(1)== ~ хе ' " Фх. Ч/ 2п (О Интегрируя по частям, приходим к дифференциальному ) равнению ОФ ОО ге=='1 — '"-*" ) +«( "*""а]= — ао. Ч/2п ) ОЭ СО Решая это уравнение с начальным условием 1(0)= 1, получаем 1(1) = е В общем случае нормального распределения с парамет рами (а, о) имеем, согласно свойству 3): иа-а РП (! 7) 4) Равномерное на (а, Ь) распределение иь иа ь ~(г)= — ~"" д =' ь-аь и(ь-а)' а (18) При а =О, Ь=Ь имеем ис 213. 5) Гамма-распределение с плотностью а-1 Обозначим 1а(1) характеристическую фуикпию, соответствующую ра(х), Поскольку ра+е(х) есть свертка ра(а), Отметим частные случаи (18).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
