Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1119910), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В чем тут дело? По-видимому, измерение грубымн методами ие подчиняется той модели, на основе которой получена фор. мула (13). И, действительно„при крупном масштабе деления измерительного инструмента нельзя гарантировать отсутствие систематической ошибки. Часто, отвлекаясь от ошибки округления, ирвин. мают, что каждое измерение $, имеет нормальное распределение с параметрами (а,а). Тогда 113) из приближенного равенства превращается в точное. П р и м е р 2. Логарифмически-нормальное распределение. В антропологии обычно рост или вес человека определенного возраста и пола считают случайной величиной, имеющей нормальное распределение, Однако во многих случаях с гораздо большим основанием можно считать, что логарифмы этих параметров имеют нормальное распределение.
Если случайная величина т! та. кова, что 5 =!од~) имеет нормальное распределение, то говорят, что т! имеет логврифмически-нормальное распределение, или, короче, лог-нормальное распределение. Лог-нормальности роста и веса можно дать некоторое теоретическое обоснование. В самом деле, вес, например, получается в результате воздействия многих нева. висимых причин, однако эти причины воздействуют на вес не аддитивно, а мультипликативно, т.
е. ч=ч ч ° ° ° ч где ~)~ — близкие к единице независимые случайные ве. личины. В этом случае 1оип=, ч1оит1и ! ! и !опт! в силу центральной предельной теоремы имеет в пределе нормальное распределение. Пример 3. С помощью центральной предельной теоремы можно доказывать и чисто аналитические фак.
ты. Докажем, например, что л пь л-~со 1ппе-" г — = —, ь-о ЗАДАЧИ ййз В самом деле, пусть ~„есть случайная величина, имев. гния распределение Пуассона с параметром и, 'Гогда » Р(Ь,~(п) =е-а ~~! —,, ь ! Поскольку ь„=$!+ ... +$„где $а независимы, М$а — — 1 и распределены по закону Пуассона, то й„асимптотически нормальна с параметрами йп, )Я; поэтому Р ~1„(» п') -ь 1/2. Задачи $.
В вредипяоженнв, чта размер одного шага пешехода равно. мерно распределен в интервале от 70 см до 80 см и размеры раз. кых шагов независимы, найти вероятность того, что за !ОООО шагов ок пройдет расстояние ие менее 7,49 кв в ве более 7Я км. 2. Пусть случайные велнчкны $». й», ° .. иезаансшаы в одинаково распределены, Мй! О, Мй! 1. Показать, что для последовательиоств 2 ?»йч Х»йь ...,?»»а», ..., где Х» — числовая последовательность, удовлстаоряюшая условию ШаХ А~а !<а<» ь!) » Ейз справедлива центральная предельная теорема. Построить пример.
ноказыааюший, что при нарушении условия (14) центральная пре. дельная теорема может ве выполняться. 3. Случайные величины $ь йт, ..., $м ... независимы в имеют следующие распределения; Р(й.- ~-~~й.-- ~-- 2л" р ц„о) ! Прн каких гх н 0 выполнено условие теоремы Ляпунова? 4. Случайные величины $„Ч» независимы и имеют пуассонов. г»пе распределения с Мй» МЧ»=йл.
Найти пюре'" "" <ф »-ь»» 1 ч/л й. Случайные величины $», йз, ..., $„ ... независимы н равномерно распределены иа отрезке 10, Ц. Найти вероятность того, что пй л-! Г л а в а 11. МНОГОМЕРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 5 43. Определение и простейшие свойства Пусть случайный вектор $ = (Сь .. $») имеет многомерную функцию распределения р»,...» (хь ..., х»)= = Р Д1 ~~хо..., $» ~(х»), которую мы иногда будем обозначать кратко Р»(х), полагая х=(хь ..., х»). Аналогично, плотность р»,... т»(хь ..., х»), если она существует, будем обозначать р~(х).
Многомерной характеристической функцией случайного вектора 5 назовем Рв (1) = )т, ... ь„йь, 1») = Ме' " ~', (1) где 1=(1о ..., 1»), (С ч)= ~' Е,$ . Характеристическая а=| функция определена для всех ! с действительными компонснтами 1„. Характеристическая функция (!) определяется с помощью ре(х) и р»(х) следующим образом: )1 Р) ~ ес и, «1йР»(х) )т (1) — $ ег и, м р» (х) йх где интегралы берутся по всему й-мерному пространству Я». Свойства характеристических функций. 1) При всех г ен Д» )(Я ~ = 1, )(О) = 1. Очевидное следствие из ~ еи' ~> ) = 1. 2) 1(1) равномерно непрерывна по г.
Локазательство. Обозначим событие Л =: = () Ц ~ Х, и = 1, ..., А) н напишем неравенство ) [(!+ Л) — 1(1)1=1 Ме"'м(е'<» м — !)1« ~(М)е'м м — 1)=М)е"" в — 11! + + М)еиа И вЂ” 1ПХ~ М)(й $)1(„+2М)х~ (~ Х) Л)+ 2Р (~ Ф [ — Х, Х)"), З еа опевделеииа и пеостнишин своиствх 1аа где 1Ь != Х 1Ь,1 и ( — Х, Х]' — прямоугольник ч-~ (х: 1х )(Х, а=1, ..., й). Пусть дано е ~ О. Выбираем сначала Х так, чтобы РЦФ[ — Х, Х)*) <е/4.
Тогда при всех 11е) с, е/(2Х) )1(1+ Ь) — 1" (1) ~ ( е, что и требовалось доказать. 3) Если Ц1), $(2), ..., Цп) — независимьье случайные векторы и Ь = й(1)+С(2)+ ... + й(п), то л ~, (1) = П, ~ы.,(1). Доказывается с помощью мультипликативного свойства математического ожидания. 4) Характеристическая функция для вектора Яь ...
..., $ ), т й, получается из характеристической фУнкЦии ~1, ...Е„(1и ..., 1ь) следдюЩим обРазом: Йз, 1,„(1Ь ", 1щ) =)т, ... ЕЬ(1Ь . „1ее, О, ..., О). Очевидно. 5) )а,+...+е (1)=~а, ...е (1, 1, „1). Вытекает из х~, $ч,1=1 Х еьа а ! а-е 6) Для независимости $ь ..., $е необходимо и достаточно, чтобы ~е,...ез(1ь ..., 1з)=Ц еге (1а). Необходимость следует из мультипликативного свойства математического ожидания. Достаточность будет следовать из доказываемой ниже формулы обращения.
7) Если е1 = С$ — линейное преобразование т)„=х сазе, а=1, ..., т, е-е с матрицей С=зс„а11, а = 1, ..., т; р=1, ..., й, то Уч(1)=)1(С 1) )ба Гл, !!, мнОГОмеРные хАРАктеРйстические Рункцни еде С' — сопряженная С матрица, преобразу)ои(ая вектор (=(Г), ..., ( ) по форА)улал) Х .„(., ()-(,..., Ь. а-) Д о к а з а т е л ь с т в о. Е )» Е) Е~ це)И,») це а ) Ме)н,с$) — це а 1 а ) ас е С Х) Е ааа)а — МЕ З-) а а-) аа "— МЕ) <С С 1) 3 ам еч а ни е 1.
Если т = й, детерминант )С)чьб и имеется плотность ра(х), то Г) = С$ также имеет плотность р„(у), которая связана с ра(х) формулой р,(у)= ~) ~ рв(С 'у) (2) В самом деле, для любого А еи)а)ь имеем Р($еиА) = = ~ р1(х))(х. Делая в интеграле замену х С у, полу- А чаем Р($еиА)= ~ р~(С 'у))С ')а)у= СА =Р()) ЕЕСА) ~р (у)а)у СА откуда следует (2). Замечание 2. Из 3) и 7) следует, что при преобразовании 1) = С$+Ь имеется следующая связь между характеристическими функциями (т и (»'. 1„я=ем' ы)(СО. 8) 1е ( — Г) Ра (Г) = 7-В (1). Очевидно. Обозначим моменты 9) ЕСЛи КОНЕЧНЫ ВСЕ т,, ...»„С а)+ ...
+аа=г, тО „а'(,(О,..., О) Ша „.а =(а „' ',, а=а)+ ... +ах< Г, (3) $ еь ОпРеделение и пмостеишие своиствА $бу » ~(1)= ~~>, !' ~~», ', ", л'«, - «+Р,(1), (4) и-а а+...-!а-а сое )!,(1)=о(~1!') при )1(=)1!(+ ... +[1«(-в-О. Дока з а тел ьст в о. Равенство (3) доказывается так же, как в одномерном случае.
Для доказатель. <тва (4) опять введем событие А = (!$„~ ( Х, с« = 1, ... ..., й) и в правой части неравенства Г ~ю~=(м(,«.» т»».»»')!а а 0 Г а (! 3)а ам!гс» — т»' »»»»» (!»„-»»а! а а ,!„(!,)а ~, (!+! воспользуемся неравенством е'а — ~ — ' а — при а.а а! ~ (1+ !)! -а 1= г и 1= г — 1. Получаем ! (!, $) !'+' М ! (!, 3) !' ХХ ! К„(1) ! < М <,'+ (, Ул+ 2 Для каждого е) О выбираем сначала Х так, чтобы второй член был (е(1!'/2. Тогда при (1~ ( 1« —— = е(г+ 1)(/(2Х»+!) получаем (Я,(1) ! ~ е)1(».
Примеры. 1. Если РД=с)=1, то ~е(1) =е!!! а!. 2. Пусть ч»й,!«(Вь ..., з«)=Мз!' .. „з„« — многомерная производящая функция случайного вектора $ =($„..., $«). То~да ~е(1„..., 1«)=»р«(е'", ..., еп«), Д частности, для полиномиального распределения че(з!, ", з«)=(р! +" +р«з«)" 1, 1«) — ~р!Еп~ + + р е!'«)" 1$В ГЛ, и МНОГОМЕРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 3. Пусть й, „, $» — нормально распределенные не« зависимые случайные величины с Мха=па и 0еа=в ° Тогда ~ Е ааа" с Х аа~а ,а (1)=е ' ' О 44. Формула обращения Мы будем исходить из следующей формулы обраше. ния для преобразования Фурье, доказываемой в анализе.
Пусть случайный вектор й =(йн " ~А) имеет непрерывную плотность ре(х) и характеристическую функцию ~е(()ен Ь| (т. е. $17е(1) !Ж < ао). Тогда Еа ре(х)= — „1 е-' е"'$:ЯсИ. (5) (2л)" э еа Основываясь иа (5), докажем формулу обращения в общем случае. Пусть и=(ПИ ..., иа) имеет независн« мые компоненты, причем ц имеет равномерное в ( — (а, (а) распределение, а 0 = (Оь .... Оа) — случай. ный вектор с независимыми нормально распределенными компонентами с МОа=О, ОО,= Е Образуем вектор Ь= 5+и+О О. Его характеристическая функция, если й, кь О независимы, равна ~(1) ~(т)Ц """" ° е ' ' жЬ а-1 Поэтому по формуле (5) р~ (х) = — „1 е-' " "~~с (() сК (2л) а Обозначим Л(х,!) прямоугольник с вершинами ха~(, а = !, ..., й.
(ак же, как в одномерном случае, доказывается, что прн о-аО , с(х) — ра+ч(х) = „~ Р (1 яи о(х, Я % 45 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ в точках непрерывности х предельной плотности. П ьзтому из (6) получаем общую формулу обращения Р(й~ А(х, 1)) = 11пт 1 е ги Ф1е(1)Ц '" аа е а ! й1 (7) и а.аь 4 е я' а 1 а справедливую для всех тех прямоугольников Л(х, 1). для которых вероятность попадания й на границу равна нулю. Поскольку в (7) Л(«,1) можно выбирать так,что х„и 1„образуют всюду плотное множество, то мы получаем из нее следующу|о теорему единственности.
Теорема 1. По характеристической функции ~ь(1) функция распределения восстанавливается однозначно. й 45. Предельные теоремы для характеристических функций Пусть случайный вектор $, =Ко ..., $ь) имеет функцию распределения ре,„.еа(хь ..., хь)=р(хь ..., «ь) По втой функции мы определяем одномерные функции распределения Рь (х). Обозначим Р, множество точек разрыва Ре (х). Как известно, Ра не более чем счетно Множество Р = Р, и... 0 Ра также не более чем счетно. г" (хн..., х„) непрерывна во всех точках х =(х„..., хг), если никакое х, Ф Р, так как при й =(йн..., Ьа) с й ~~ О О » (г" (х + Ь) — г' (х) = Р (е, ~ (х, + Ь„а = 1, ..., й)— — Р Ц, «( х„а = 1, ..., й) «« (Е,ср.("+')- .("В и аналогичное неравенство можно написать при Ьа «О. А.мерный прямоугольник ха «йа » ~уа~ я = 1, ..., К назовем прямоугольником непрерывности, если никакое х„или у„не принадлежит Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
