Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1119910), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Для прямоугольника непрерывности вероятность Р(х,($,<у„а=1, ..., й)=Ьл, ...льР(хп ..., х), йа Уа «а непрерывна по всем своим аргументам х„, уа. гп. и. МНОГОМЕРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Определен не. Мы будем говорить, что последы вательность Р„(х) слабо сходится к Р(х), н писать Р„(х) =:. Р (х), (8) если Р„(х)-~Р(х) в каждой точке непрерывности пре. дельной функции. Если Р„(х) — функция распределения $„, Р(х)— функция распределения $, то прн Р„(х) )ь Р(х) мы будем также говорить, что ь, слабо сходится к $, и обо.
значать $„ =Р $; иногда мы будем говорить, что е„ сходится к $ по распределению. Из слабой сходнмости сл.- дует, в частности, что Р (ь„ ен Ь) — Р (ч я Ь) для любого прямоугольника непрерывности Л по предельному распределению. Если $„ сходится к $ по распределени1о, то это значит, что распределения $„ и $ близки друг к другу.
Требовать в (8) сходимости в каждой точке было бы неразумно, так как, например, при и = 1, $„ =- = ((п,5=0 Ре„(х)=Р-Ре(х), но Ре,(0) ~ь Ре(0), в тоже время $„и $ близки друг к другу. Нетрудно доказать, что из Р„(х)ФР(х) и непрерывности Р(х) во всех точках следует равномернаи сходимость Р„(х)-~ Р(х). Одно из самых важных свойств характеристических функций содержится в следующих предельных теоремах.
Пусть Р„(х), Р(х) — функции распределения, („(Г), )(г) — соответствующие им характеристические функции. Те о р е м а 2. (Прямая предельная теорема.) Если Р„(х) =Р Р (х), то Г„(г) - ~Я в каждой точке г' ен й". Теорема 3. (Обратная предельная теорема.) Если );(1) сходится в каждой точке Г ен Е' к некоторой функции ~(г), непрерывной в нуле, то Р„(х)РР(х) и )'(г) есть характеристическая функция Р(х) .
Доказательство этих теорем вытекает из следующей леммы н двух теорем Хелли, Лемма. Если 0 — вглоду плотное множество Я" и Р„(х)-» Р(х) для всех х из т), то Р.(х)ФР(х). Доказательство. Будем писать х(у, х(у, если при всех и х (ув илн хв(у„соответственно. Пусть х — точка непрерывности Р(х). Тогда для любых а м. пекдельныв ткогпмы !В1 хг, х" ~яг Рг х' < х ( х", имеем Р„(х') ~( Р„(х) ( Р„(х"), Р (х ) = 1! пг Р„(х ) (» 1! гп Р„(х) ~~! 1ш Р„(х) -; <!1пт Р„(х")=Р (х").
л+в Поскольку Р(х') ( Р(х)< Р(х") и разность Р(х")— — Р(х') может быть сделана как угодно малой, имеем Вт Р„(х) =Р(х). Теорема 4. (Первая теорема Хеллн.) Из всякой последовательности функций распределения (Р„) можно выбрать слабо сходяи!уюся подпоследовательность. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Ег = (х„) — всюду пло гное в !ть счетное множество. Из ограниченной последовательности 0( Р„(хг)(1 выбираем сходяшуюся подпоследовательность Ргл(хг)-~ Р(хг) (так мы обозначаем предел).
Из ограниченной последовательности 0 ( ~ Рь, (хт) ( 1 выбираем сходяшуюся подпоследовательность Ры(хт)-~Р(хт) и т. д. Далее выбираем диагональную подпоследовательность Р„„(х), для которой Рьв (хь) г' Р (хь) для любого хь ~ Р. По лемме отсюда вытекает Р„„(х) Ф ьФ Р(х). 3 а меч ание 3. Р(х) может не быть функцией распределения. Построить пример. Теорема 5.
(Вторая теорема Хелли.) Если д(х)— непрерывная ограниченная функция на )ть и Р,(х)Ф Ф Р„(х), то 1!гп ~ у(х)йР„(х)= ~ д(х)ЙР(х). (9) ль ль Доказательство. Пусть Ь вЂ” прямоугольник непрерывности Р(х). Докажем сначала, что !пп ~д(х)дР„(х)= Г)у(х)аР(х). (10) В+ ь Ь Пусть !д(х) (( М.
Выберем е ) О. Разобьем Л на прямоугольники непрерывности Ьв с центрами х„и поло- 6 В. А. Севастьяаов 1аз гл. и многомеяные хляхктееистическне екпкции жим д,(х) = я(х ), если хе=- Д„, Выберем разбиение Ь столь мелким, чтобы для любого х ~ Д 19(х) — я,(х)1(е ,(это можно сделать из-за равномерной непрерывности д(х) на д). Тогда ! (а(*)~р.~*) — (а(*юг ~*)~~~(каг„-(,.ю~~+ Ь Ь 1ь Ь + ~1Й ( ) Уе(х) 1~"Ри + $1Ке(х) д(х) 14(Р (х) ~~ Ь л «( 2е + М ~ 1 Р Д„я д„) — р д ен д„) 1, где М вЂ” число прямоугольников разбиения.
При и -~-ео последнее слагаемое может быть сделано как угодно малым, что н доказывает (!О). Для доказательства (9) выберем столь большой прямоугольник непрерывности Д, что Р(Д) ~ 1 — е (через Р(А) мы иногда будем обозначать Р(Цен А) для случайного вектора 5 с функцией распределения Р(х)). Тогда сушествует такое им что для всякого п ) и, Р (д) ) 1 — 2е, следовательно, Р(Д) = е, Р,(Д)~ 2е. Далее, (9) вытекает из (10) и ! (аь'.— (дар~(~(даг.— (~иг~+ яь Ь .>~)даР,~+~(диР~(эч+~)~и, (~~р~ 1л Ь Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2. По второй теореме Хелли из Р,(х)Ф Р(х) вытекаетг„(г)= ~ еы' 'ч(Р„-ь яь -+~(Г)= ~ е'""'иР в каждой точке Ге= Ю Нель трудно доказать, что сходнмость равномерна на любом ограниченном множестве Г. Доказательство теорем ы 3.
По первойтеореме Хеллп из Р„(х) можно выбрать подпоследоватсль- 5 46 пведелы!ые теОРемы ность Р„„(х)=~Г'(х». Надо доказать, что Е*(х) — функция распределения. Это вытекает из неравенства Р()5„1~(Х, а=1, ..., Ц) —,', ~ ... ~1«)л! — — ' 1 ) ! ! —— тх В частности, при тХ = 2 Р ( ~ $» ! (» Х, а = 1, ..., /г) ») ь2 —,, (... (Р!чю( — !. (1в — $ Докажем (11). Пусть А = (1$ ~:-.= Х, а = 1...,, !1).
Имеем откуда вытекает (11), По предположению 1(!) непрерывна в нуле, следо. ватсльно, для любого в ) 0 существует такое тм что при 0<тает, так как 1„(!)-э~(!) в каждой точке г, то существует такое лв что при л ) !!в '!!.(Оа~ — 1 ... 1!(О й~~ 2' ' ' 1 — $ — С 1Е4 Гл. !!, многомеРные ХАРлктеРнстнческне Фун!Нн!н (теорема 3 $30 о мажорируемой сходнмостн). Тогда при н вне — т- 1 .. ~),(1)!а )1 — — и по нера- Г Г е венству (12) Р ( ) 3„, ~ ( — „, а = 1,..., Ь ~ ) 2 (1 — — )- — 1 = 1 — е, следовательно, г (Яь) = 1. Докажем теперь, что с„=ь- г'.
Предположим, что г'„чР с'. Тогда существуют две подпоследовательности гс„ =;-Р* и г'„.=ь.Г'". По прямой предельной теореме ;„, †«1" и )„. †«!'", Но так как по условию теоремы )л-«!', то !' = 1 ' = !' и по теореме 1 с = с"'. Теорема доказана, 5 46. Многомерное нормальное распределение и связанные с иим распределения Мы будем говорить, что случайный вектор $ = (с!, ., еь) имеет ноРмальное (или гаУссовское) Распределение, если его характеристическая функция имеет вид ! Н, в! —, -!ес, !! ! ~1(1) =е (13) где а =(а1, ... „аь) — вектор, а В =!!Ьоа1! — симметрнч.
иая й Х й-матрица неотрицательно определенной квадратНЧНОй фсрМЫ (Вг, 1)= ~ Ьорго1 )0 '), МЫ будЕМ а,з ! также говорить, что случайный вектор с характеристи. ческой функцией ()3) (а, В)-нормален. Из (13) следует, что каждая компонента е имеет характеристическую функцию ьао Ц, (1)=еа'о — в т. е. нормально распределена с Мео = ао (чье = Ь Далее нам удобно будет перейти к центрированному ') В случае В О распределение 113) вырождается в констан. ту л.
В етом вырожденном случае распределенне также удобно нрн. наслать к нормальному, а м. многомагноа ногмвльнов гаспгепаленив так вектору $ = $ — а, для которого 1 11(!) =е Поскольку конечны все М~~„то конечны и смешанные моменты МЦ», поэтому их можно вычислять с помощью производных характеристической функции в 1=0. Получаем дЧ (о) с .в., ~а)=Мха= — — д,ад =ь.;, а д1в д1а ва' —, <вс'ь с о — ~свс с о ! 1 1чР)=йа(СГ)=е ' =е ' Пусть С вЂ” такая ортогональная матрица, что о ... о А'...о О О...даь = О, с8„>~ О.
~Тогда (14) т, е. ць ..., П» независимо распределены, причем при 0еа) 0 ца имеет нормальное распределение с параметРами (О, ~Я~), а пРи д„= 0 с веРоатностью1 Це = О. Если матрица В имеет ранг й, то матрица В также имеет ранг й, т. е. все 4,<, ~ О, В этом случае ц имеет таким образом, В = айва$а — это ноеариационная магрицп ($ь ..., $ь), Далее мы будем $ обозначать просто $. Одно из важных св-йств нормального распределения состоит в том, что любое линейное преобразование ц=С5 нормально распределенного вектора 5 с М5=0 и!! Сот(с, $а)1 = ° В приводит к нормально распределенному вектору ц с МЧ=О и !~Сот(цв, ча)1=сВс', это следует из свойства 7) $43, по которому 1аа Гл. и. многомеРиые хАРАктеРистичРские Фуикпии й-мерную плотность Рч(У» ° ° э УА)= Ч/2пааа а ! --(о-!Р,к) ааа= е 12я)аы 11 ОТ ~', с„Д=О, а=г+ 1, ..., й. Выбирая на этом подпространстве координаты т), = 2 с, $а, а = 1, ..., г„мы получаем, в силу (14), 1! 1 иа этом подпространстве плотность ! к 1 а к а (х,..., х„)= а ! аа ~ч!"'чк' * "' в)к'а /А ...А В этом случае нормальное распределение называется вырожденным.
Если мы в общем случае г( й к случайным величинам !1!, ..., т), применим еще линейное преобразова- Поскольку $= С 'г) и 1С1=1, то по формуле (2) из $43 1 - —,(о-!с, с ) ! р1(х)= рч(Сх) = „,, е 12к)ан ~/101 1 --,(с о-'ск. к) 1 ! (В !к, к) ! е а ' е к ' (15) 12л)ма Ч!!1 В 1 (ав)~'к ~/В так как В-' = С"Р-'С, (В(=(Р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
