Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1119910), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Обозначим Ал=($„~ $„). Имеем Э л ~ Р (Ал) = ~' Р ( ~ ~„! > Л) = ~ Р ( ! 5! ! > л), где последний ряд сходится в силу конечности М$! по только что доказанной лемме. Поэтому по лемме Бореля — Кантелли лишь для конечного числа номеров л 3, чь Б„. Следовательно, в (12) ьл Сл "' "' — — -' О. и 1л — Мйл п н. Осталось доказать " „" --. О. Применим теорему 3. Для этого докажем, что Х вЂ” „'" <-. " Оз„ л ! Поскольку 05„- МБ < х' й Р(й — 1 <)$!<<л), то А ! л !" ~<~~' ~~' ! Р (ь" ! <! Кл! )~~й) = и ! -ХйлР(Ф вЂ” 1<~ К! <И Х вЂ” „',.
л>А $49 УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ «87 Так как Х вЂ”. ~.= Е. гах «ч «««ь+« — (! — = —,то т — ( — + — =— ли 1 хн Ь' л1 лл Ь Ьл Ьл «)Ь и «~л И (~ ~~ (й+ 1) Р (й — 1 < ! $«! ( й): «=1 ( 2+ ~ (й — 1) Р [й — 1 < ! $1 (~ (й) ~ (2+ М ! $«! < ио. А « тл и. н. Необходимость. Если —" — а, то !л $л л- «1и-1 и н. и л — « О, л л т. е. с вероятностью 1 осуществляется лишь конечное ч~сло событий ~ — '~ > 1.
По лемме Бореля — Кантелл«« йл л это влечет за собой л л Х Р((В,(> п)= Х Р((В !>и) < Следовательно, по лемме этого параграфа конечно Ме«. Следствие. В схеме Бернулли для числа успехов имеет место не только закон больших чисел Ил но и усиленный закон больших чисел Ил л.н 1 О, и Следствие вытекает из теоремы 8, так как ««, =.- =я«+ "° +$л, где $1, ..., $, независимы и РК;= =!)=р. Р(~ =0)=1-р. !ВВ Гл.
1т. усилннныи закон БОльших чисел Задачи 1. Случайные величины $„п 1, 2, ..., независимы н одина. ково распределены. Доказать, что с вероятностью 1 пронзойдет лишь конечное число событий Аа ( (Р„(~в А(а ) тогда и только тогда, когда 0$а конечна. 2.
Доказать, что сходимость $~ к $ почти наверное нли по во* роятиостн влечет ва собой сходнмость в том же сммсле ((й,) к (Я), есля 1(х) — непрерывная функция. 3 Если 1(х) — непрерывная ограниченная функция, то нз р Вл — ь э следует сходимость Я,) к Я) в среднем г.го порядка при любом г ) О. Доказать. 4. Показать, что в условиях теоремы 7 можно получить более сильное утверждение о сходимости М~+ " +Хайа „"" В л где 3 — некоторая последовательность, стремящаяся к бесконечности.
б. Случайные величины $ь $ь ..., $а, ... незавясимы, одинаково распределены, М$1 конечно. Йезависимые от них случайные величины Вь Вь ... Вю ... независимы между собой и удовлетворяют условйю (Ва~~! и Мйа О, и 1, 2, ... Справедливо лк утверждение; в!й + " + в.й.. м Г л а в а 13. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ 5 50. Основные задачи математической статистики В гл. ! говорилось, что теория вероятностей занимается изучением математических моделей случайных явлений.
Имея подходящую математическую модель какого-либо случайного явления, мы можем рассчиты. вать вероятности тех илн иных событий и по этим вероятностям мы можем, пользуясь статистической устойчивостью частот, предсказывать частоты этих событий. Если вероятностная модель выбрана правильно, то такие предсказания будут выполняться со случайнымн ошибками, которые также можно рассчитывать в рамках выбранной модели. Математическая статистика выделяется из теории вероятностей в самостоятельную область, хотя основные методы и приемы рассухсдений в ней остаются теми же самыми.
Причиной этого является специфичность задач математической статистики, являющихся в известной мере обратнымн к задачам теории вероятностей. Если в теории вероятностей мы считаем заданной модель явления н производим расчет возможного реального течения этого явления, то в математической статистике мы исходим из известных реализаций каких- либо случайных событий, нз так называемых статистических данных, которые обычно носят числовой характер. Математическая статистика разрабатывает различные методы, которые позволяют по этны статистическим данным подобрать подходящую теоретико-вероятностную модель.
Например, пусть имеется л независимых наблюдений в схеме Бернулли и пусть в т из них произошло событие А Поскольку модель в схеме Бернулли определяется числом испытаний п и вероятностью р=.Р(А), то на этом примере мы сталкиваемся с одной из задач математической статистики: как по ги осуществлениям события А в п независимых испытаниях определить вероятность р = Р (А)г ГЛ. М. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ ио Перечислим те основные задачи, которые решает ма. тематическая статистика, иа примере схемы Бернулли. а) !?роверка статистических гипотез.
Из каких-либо априорных соображений мы можем предполагать, что р = ры где рь — некоторое фиксированное значение. По !л относительной частоте — мы должны решить, справедл лива гипотеза р = рь или нет. Поскольку при больших ы н относительная частота — близка к р, то статистиче- Л скпй критерий по проверке гипотезы р = рь должен основываться на разности ~ — — рь~. Если она больл шая, то, по-видимоиу, гипотеза неверна, если же онз мала, то у нас нет основания отвергать гипотезу р = ры о) Статистическое оценивание неизвестных параметров. Иногда нам требуется по наблюденному лт указать то число р', которое можно принять за вероятность р в схеме Бернулли.
В нашем примере естественно взять л~ р'= —. Оценка должна быть в том или ином смысле л близкой к оцениваемому параметру. в) Доверительные интервалы. Иногда нас интересует пе точное значение неизвестного параметра р, а требуется указать тот интервал р ' р ( р, в котором с вероятностью, близкой к единице, лежит параметр р. Те.
кой интервал (р(тн), р(тн)), концы которого случайны и зависят лишь от наблюдаемого значения лт, называется доверительным интервалом. В последу1ощих главах мы уточним понятия, связанны с этими основными задачами, и рассмотрим эти задачи применительно к некоторым вероятностным моделям. 5 51. Выборочный метод Терминология многих статистических задач связана со следующей урновой схемой.
Пусть имеется урна с карточками, на которых нанесены числа Хь Хь ..., Хи. Из урны случайно выбираются и карточек с числами хь хэ, ..., х„, Полученный набор чисел хохм..., х„ 5 Б1, ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД называется выборкой объема и из генеральной совокупности Хь Х,,..., Хн. (2) Как известно, выборка может быть без возвращения, когда каждое подмножество (Х<н ..., Х< ) мощности и из всего множества (2) появляется с вероятностьц1 1/Сн, н с возвращением, когда каждый упорядоченный набор (Х<е ..., Х< ), где могут быть повторения, появляется с вероятностью 1/!У".
Нетрудно видеть, что в случае выборки с возвращением х<, ..., х„являются не. зависимыми случайными величинами с законом распределения случайной величины $,которая с одной н той же вероятностью 1/л< принимает каждое нз значений (2), если все Х1 различны: Р (~ = Х ) = —, 1 = 1, ..., /т'. 1 В этом случае мы говорим, что (1) есть независимал выборка объема и, или независимая реализация объема и случайной величины $. Упорядочивая выборку (!) по возрастанию, мы получаем вариационный ряд Х<,1» к<11 < ....
Х<„1. С любой выборкой (1) можно связать так называемое эмпирическое, нлн выборочное, распределение, приписывая каждомузначенню х; вероятность 1/и. Эмпирической (нли выборочной) функцией распределения будет 1 ч-» г (х) = — ~ 1!ха~с!. Поскольку выборка (1) случайна, то эмпирическая функция распределения при каждом х есть случайная величина. Математическое ожидание (среднее), дисперсня, моменты эмпирического распределения также будут случайными величинами н будут называться соответственно эмпирическими (или выборочными) мател<атическим ожиданием (средним), дисперсией, моментами.
гл. 1а. стлтистнчкскив длиныя Таким образом, выборочное среднее есть среднее ариф. метическое элементов выборки (3) а ! и выборочная дисперсия равна л 1 т» з'= — дт (х„— х)е л Лл а-1 (4) Выборочные моменты и центральные моменты порядка г определяются выражениями — „~ хы — „~~~ (х,. — х)'. К-1 С-1 ') В математической статистике случайные величины обоаиачавтся часто буквами х„ш и т. д., являющимися алемеитвмя вы борки, В прикладных курсах математической статистики большое место занимает так называемая описательная статистика, в которой излагаются рациональные способы задания статистических данных и вычисления сводных характеристик типа (3) и (4).
Например, если х; =а+ а л +у„то х=а+у, где у= — „~~ уо и л'= — „р у',.— (а — у)т. 1 ! Эти формулы облегчают вычисления в случае, когда числа х; большие. Подбирая подходящее а, мы сводим все вычисления к арифметическим действиям над числами у; с небольшим числом знаков. «Выборочная» терминология сохраняется и в том случае, когда генеральная совокупность (2) пе состоит из конечного числа элементов Лl, а просто есть некий генератор независимых случайных величин х, с каким- либо распределенном ').
Такой идеализацией в статистике пользуются или при очень больших У (например, при статистических обследованиях в демографии, экономике, социологии), или в том случае, когда элементы выборки (1) можно получать какой-либо однородной бэз $51. Вывогочныи метод среднее и дисперсно генерал пой совокупности (2). Теорем а 1. Эйигирическое среднее х бесновторной еыборки (1) итиеет следующее л«итезгатическое ожидание и дисперсию: Мх=Х, 5а /г — и 0х=— и Ь' — ! (5) До к а з а т ел ь с т в о. Воспользуемся формулами в е в Ме= — „г а*и В*,— „(г'»*,-1-2 г'С* 1, *)). ! 1 а ! '/ (6) Вычислим Мхо 0х, Сот(х„х/). Поскольку для вычисления иам нужны лишь двумерные распределения х„х/, рассмотрим конечное вероятностное пространство (2, л/, Р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
