Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1119910), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Нормальное распределение ($!, ..., Цк) с плотностью (15) называется нсвырожденным. Если В диагональна с одинаковыми диагональными элементами, то нормальное распределение называется сферическим. В этом случае плотность (15) зависит лишь от расстояния точки х от начала координат. Если же ранг г матрипы В меньше й, то д ) О ДЛЯ а = 1, ..., г, даь!,!! — — ... — — дка — — О (пРи соответствующем преобразовании С).

В этом случае, как уже говорилось выше, Р(!),+!=... =па=О)=1, т. е. все распределение сосредоточено на пространстве меньшего числа измерений, определяемого равенствами 1аа Гл. и, многомеРные хлРАктеРистические Функции Ясно, что из (16) вытекает справедливость аналогич. ного утверждения для конечных сумм таких прямоугольников и для множеств, которые можно приблизить этими суммами. Другими словами, для любого измеримого по Жордану множества А с Р (ь ы дА) = О, где дА — граница А, при ь, =~ ь РК.

А)-РК А). (17) Можно доказать, что (17) справедливо для любого борелевского А с Р(ь ее дА) =О. Так же, как в одномерном случае, мы используем обычно предельное соотно. шеиие (17) в допредельной форме, считая, что при достаточно больших и левая часть (! 7) приближенно равна правой. Сферическое нормальное распределение.

Как уже говорилось выше, распределение $=(е» ..., $ь) с плот. пастью Частным случаем этой теоремы является Теорема 8. Пусть в=($!, ..., $,) имеет полино- А!иальное распределение с вероятностями исходов р = =(р!, ..., рь) и и испытаниями.

Распределение вектора (в — пр)~с(п при и-~-оо слабо сходится к нор. мальному с нулевмн средним и матрицей ковариации 116 Ар,— рора~'„где б„а — символ Кронекера. До к аз а тельство. Случайный вектор ь представим в виде сУммы Ч!+ Чт+ ... + Ч„независимых век- ТОРОВ Чь=(ЧР! Чье Чьь), ГДЕ ЧРА=1, ЕСЛИ ПРИ а-и испытании произошел исход 6 и Ч,„= О в противоиоло>кном случае. Поскольку МЧ а=ра и Соч(ЧРЕ Чьч) = = р 6 — р р, то применима теорема 7, откуда и следует утверждение. Замечание 4. Из слабой сходимости ~ь к пре» дельному вектору ь следует, что для любого прямо.

угольника непрерывности Л предельного распределения Р(~„~б) РК~б). (16) е 46. многомеРное нОРмАльнОЯ РАспРеделение !Ев называется сферическим нормальным распределением. Это распределение инвариантно относительно любого ортогонального преобразования Ч = С$, так как а' м ~с'ь с и — !е о 1„(1) =11(С"1) = е ' ' = е т. е. 1„(г)=~»(г). Из сферического нормального распределения мы выведем несколько стандартных распределений, имеющих большое значение в математической статистике и других приложениях теории вероятностей, т»-распределение. Рассмотрим сферическое распределение (!8) с о=1.

Найдем распределение случайной величины Найдем сначала плотность рх»(х) случайной величины )(» (она нам понадобится дальше). Вероятность события х «)(» «. х+дх можно получить из й-мерной нормаль. ной плотности (18) с о= 1, интегрируя ее по й-мер ному сферическому слою радиуса х и толщины дх. В результате, поскольку (й — 1)-мерный объем (й — 1)-мерной сферы радиуса х пропорционален х"-', получаем р (х) = С»х» 'е х» Для определения С» воспользуемся тем, что по свойству плотности ()р (х)дх=1, откуда получаем х» Ю и » С»)х е дх=2 Г( — )С»=1 й-! р„ (х) = е , х в О, (19) " '(~) 121 Гл. ![: многомеР!!ыс х»Г»хтепистнчес!о!Г Фх!!кш!и Используя связь между плотностями рх и р ., имеем х» х-' — -! х рхх(х)==рх Ых )= „е, .х)0.

(20) ' (~) 1заспределение с плотностью (20) называется у'-распределением с й степеннхш свободы. При й = 2 Х, 'имеет К ! показательную плотность — е, х О. Плотность (19) при й = 3 называется нлотностюо распределения Максвелла и дает в кинетической теории газов распредет!сине абсолютной величины скорости частиц.

Распределение Стьюдента. Пусть случайные величины $!ь с!, ..., $» независимы и нормально распредс. лены с параметрами (О,!). В статистике мы часто будем использовать случайну!о велнчипу н!аз!»ваех!ую отношением Стьюденга. Распределение случайной вс.нгчнны тм называемое распределением Стыодента с и ! !епснял!и свобод»!, имеет плотность в»(х) = (1+ — ), — со С х ( оо. (21) '~ — "") "й) Плотность (21) можно вывести следующим образом.

Обозначая Х»='~/ хх' с,, представим т» в виде отпо- У и-! шенин двух независимых случайных величин 1о 'ъ4 х»= — ' х„ распределение которых известно (числитель имеет нормальное распределение (О, ~/й ), а знаменатель — рас. 5 4к мнОГОмеРИОе ноРмАльное РАспРеделение 1Т! пределение (19)). Функция распределения ЯА(х) слу. чайной величины ть равна интегралу ЗА (х) = Р (тх < х) = ~ $ р1,,ГА- (и) р„(о) ди до = — ~х, и>!! и и ! и' +.1 =ах )) о е диде, — ~х, и>а и и где 1 1 а =— ' ' (~) От переменных (и,о) перейдем к новым переменным (у, г) по формулам (22! и=уг, о=г. Якобиан преобразования равен ' =г, поэтому д (и, и) д (у, х) х " х' и~ о 'е ' ' Ниде= ~ Ну~ г"е ' " Нг= — Мх, и>а и и х А+! х ии = ~ ( — "+1) Ну~ и!е ' НГР= О о А-! х А+! =2 Г( — ) ~(А +1) Ну, и откуда следует (21).

Заметим, что плотность (21) прн 1 и й-~ оо сходится к нормальной плотности =е ч!!2п е-распределение. Пусть 5!, ..., Еи, т)!, ..., т)и — независимые (О, 1)-нормальные случайные величины. УУЗ злдлчи 1~Р' ~ 11 „(Р'Д)~ откуда уже нетрудно вывести (23). Просто связанная с гсяч случайная величина 6+."+йр 5!+" +5 +ч +" +ч (24) Функции тз-распределения, распределения Стьюдента и зс-распределения табулированы.

Задачи 1. Случайные величины $!, $з — координаты точки, равномерно распределенной в треугольнике 5! > О, $з ~ )О, $!+йз ~ 1. Найти их двумерную характеристическую функцию. 2. Пусть !(!) — характеристическая функция случайной величины 5!. Найти характеристическую функцию $!, йз, если $з=1 — $!. 3. Случайные величины 5!, $з имеют сферическое нормальное распределение с плотностью ! — !з и+зг! з — е 2л Найти вероятности Р ()5 ! ч 1, !Ч ! ч 11 и Р (йз+ЧзчС П.

з и 4. Случайные величины $о йо, 5!, ..., $л независимы и имеют тюрмальиое распределение с параметрами (О, 1). Выразить через распределение Стьюдеита распределение случайной величины 5. Доказать, что случайная величина (24) имеет плотность ()-распредеззения (25). имеет более симметричное р-распределение с плот. постыл Р е 1 — 1 — — ! х (! — х)з , О ( х ( !.

(25) в( —, -) (Р 4) 2' 2 Г л а в а 12. УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ф 47. Лемма Бореля — Кантелли. Закон «О или 1» Колмогорова Пусть на вероятностном пространстве (О, .гФ. Р) определена последовательность событий А„сна. С 'каж. д сй такой последовательностью можно связать события Л'=(кч гаев А„для бесконечно многих и), А,=(кн ге~ А„для всех, кроме конечного числа п), которые называются соответственно верхнсслс и нссжнизс ссределами последовательности (А,).

Мы будем обозначать А'= !ппзпр А„. А„= Исп !п! Л„. »-» о Нетрудно видеть, что А*= Ц~! А., Л.=0 ПА„, поэтому А' и А, принадлежат М, т. е. являются событиями. Если А' = Л. = А, то мы будем говорить, чго Л есть предел А„ и будем писать Л = Игп Л„. Если ввести »-» индикаторы 1л„, то легко видеть, что 1л = Игп «нр 1л «=ь А* = Игп з яр А„, н-» «-эм 1л, — !!сп гп! 1А„с'= » Л„= !сгп сп! Л~, л+ и« 1л = И гп 1л «м А = Иго А,. »» »->:в Монотонные последовательности А, всегда имеют предел. Если Л, ыЛ,ы ..., то А„(Л, = А'= () Л„, а если !та $ ««. ЛЕММА БОРЕЛЯ вЂ” КАНТЕЛЛИ А~ =с Аз =с ..., то Ал .) А" = А, = Д Ал, В этих случаях нз л аксиомы непрерывности легко получить Р(Ал) ! Р(() А„) и Р(Ал) ) Р(п Ал). Поскольку для любой последовах л тельности (Ал) В„= Ц А,„4 А"=1ппанр Ал н Сл= П А,„~ А„=- О3~л л+ л«~л =!пп!п1 Ал, то Р (Игп апр Ал) = 1пп Р (Вл), Р (! пп 1п( Ал) =11гп Р (Сл).

л+ л« л+ л« Условия, при которых вероятность события А"=!ппзпрАА равна нулю или единице, дает нижеследующая Л ем ма 1. (Лемма Бореля — Кантелли.) Если Х Р(Ал) < со, то Р(А*) = О. Если АпАл, ... независимы и Х Р(А„) = со, (2) то Р(А') =!. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим случайную вели* чину ь= Х ~л„ равную числу тех номеров п, при которых происходит А„(т. е.

й(в) = й, если ровно для й номеров п в ее А„). По теореме о монотонной сходимости поэтому из (1) следует Ме < со, т. е. случайная величина с вероятностью 1 конечна, а так как Р(А') = =Р(5=со), то первая часть леммы доказана. Для !76 гл, и, нснлвннын закон вольшнх чисел доказательства второй части воспользуемся незавиммостью Л,, Ам ... в соотношении СО .~')-;-.( д ..)- — -.(п а.)- ввл т л лв а в -1 — !пп !пп Р( П А ~=1 — !пп !пп Ц(1 — Р(А ))= л+ай+лл Ьв л» л.л Ь.з лн в = 1 — 1нп Ц (1 — Р (А„,)) = 1, л-»юл~ в как как ряд (2) расходится. След от в не.

Если А,, Атл .. независимы, то Р(А*) равно О или 1 в зависимости от того, сходится или расходится ряд х., Р (Ал). л Это следствие является частным случаем более общего закона «О или 1» А. Н. Колмогорова. Пусть на вероятностном пространстве (ь), Ф, Р) определена последовательность ~п $м ... независимых случайных величин. (Это означает, что любая конечная их совокупность $п $,, ..., $н независима.) Ранее мы уже определялн о-алгебру .4!, ...е„, порожденную случайнымн величинами ~п ..., ь„, как о-алгебру всех событий 'А, представимых в виде Л=(ке В,(в), ..., $ (а))) енВ, где В ен Я" — борелевские множества из пространства Я".

Характеристики

Список файлов книги