Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1119910), страница 21
Текст из файла (страница 21)
и]. где М = знр] д(х) ]. При и-~- оо последнее слагаемое может быть сделано как угодно малым, откуда и следует (31). Для доказательства (30) выберем Х) О та. ким, чтобы Р( — Х)( е/4 и 1 — Р(Х) < е/4 и чтобы точки ~Х были точками непрерывности Р(х). Тогда, так как Р,(аХ)- Р(й=Х), можно выбрать пь таким, что при л пь Р,[ — Х)(е/2 и 1 — Р,(Х)( е/2. Оценим % 39.
теоРемя о непуввывиом сводветствии 14З разность Ю 1 а~*и~.и- (и<.и+ Х Х ~ д(х)ИР(х) — ~ д(х)ИР„(х) + -Х -Х аьи~.ь4+~ 1 ~(.)а ~*~~< Н~~>к ( Нкь~х х х (а(чем — )а(чшР.(*)~.~.м..~.Я~2. (зя) -х -х — ~ ((О нг —.— зт) ~ 'х 1 Ц~(<Х)> 1 —— тх (33) где 1(~) — характеристическая функция й, Х~ О, т > О.
В частности, прн тХ = 2 Р(161<х))2$ —, (~на/ — 1. (Зч На основаннн (31) заключаем, что правая часть (32) может быть сделана как угодно малой, что н доказьвает теорему, Доказательство теоремы 3. По теореме 6 нз Р„(х) =~ Р(х) вытекает ~,(г)=~ ен'с(Р„-+ ~ енх йР = =~0). Можно доказать, что эта сходимость будет равномерной на каждом конечном интервале б Доказательство теорем ы 4. По теореме 5 из последовательности Р,(х) можно выбрать подпоследовательность Р„„(х)=~Р" (х).
Докажем, что Р'(х)— функция распределения, т, е. что Р'(оо) = 1, Р'( — оо)=0. Для этого мы используем неравенство 144 ГЛ. 5. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФРИКЦИИ Докажем (33). Имеем 2т — /(1) Ж = — Мел! Ж = — М $ ел: 5й 25,1 25 -5 д -ъ 5!и 55 ~М вЂ” (/!!А«х!+/И!е! >х!)~ «<М/5!5«х!+ + — ~ М/О ! ! > х! = Р ( ! 3 ! < ~Х) + — (1 — Р ( ! $ ! <» Х)) откуда н следует (ЗЗ). По предположению /(1) непрерывна в нуле, поэтому Существует такое тп > О, что при О < т < ТП вЂ” ~/(1)51! ~«! — е/4. Так как /,(1)5/(1) в каждой точке 1, то существует такое лп, что при л ~ ло (теорема 3 й 24 о мажорируемой сходимости).
Тогда при л ~ ~лп 5 — ~/„(Г)Ш )! — Е/2, и по неравенству (34) Р(12«~<2/т) = = Р„(2/т) — Р„( — 2/т) ~ )2 (! — е/2) — 1 = 1 — е, т. е. Р„(2/т) — Р„( — 2/т) Ъ! — е, следовательно, Р'(+ос)= 1. Р'( — пп) =О. Докажем теперь, что Р„=~Р. Предположим, что Р„ч';Р. Тогда существу!от две подпоследовательностн Р« =~.Р и Р«.=ь Р*". По примой предельной теореме /„,-«/', /„.- /", но так как /и-«/, то ~ =Г=/. Теорема доказана.
злдлчи Задача !, Найти характернстнчсскую функцию распределения, вадавас. -!з! мого плотностью — е 2 2. Плотность распределения случайной величнпы й задана форы лами у ( Хи-! ) — е', к~б, 2Г (а) р! (к) — е" х(О 2Г (й) с положительпымн сс и (!. Найтн характеристическую фуншсню )й(!). 3, Пусть )!(!) н гз(!) — хзрахтернстнческне функция, О ( р < !. Доказать, что )(г) р)с(!)+(! — р))з(!) тоже будет характерйстнческой Функцией. 4.
Еслн г(!) — характеристнческаи функция, то Ке)(!) также будет характеристической функцией. Доказать. 6. Пользуясь простейшими свойствами характеристических функ. ! цнй, показать, что функции: а) з(ой б) з(пг+ (,в) -! — (Ге г) )сов !) 2 пе могут быть характеристическими. 6. Показать, что хврактернстическая функцня )й(!) случайной велнчнпы й вещественна прн всех ! тогда и только тогда, когда распределение $ симметрично (т,е. $ и — В имеют одинаковые распределения). Г л а в а 10. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА $ 40.
Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых слагаемых Ранее мы доказали, что распределение числа успе. хов р в схеме Бернулли при л -~- ьь и постоянном 0 ( (р<! обладает следующим предельным свойством; л Ф и 1!птР1 — ":" К:х \== ~ е 2 Ыи.
(!) л.+ ю ! Ч/0и ) Ч/2л Функцию нормального распределения будем обозначать х Ф(х) = = ) е-"л ди. Функция нормального распреч/2л деления Ф(х) выражается через интеграл Лапласа л 1 Ф,(х)==1е-"*иаи, введенный в гл. 4, следующим 1/2л а о образом: Ф(х) =-+Ф,(х). Этот результат является 1 очень частным случаем так называемой центральной предельной теоремы. Пусть 21, ~, ..., $„, ... — после- довательность независимых случайных величин. Мы бу- дем говорить, что для этой последовательности выпол- нена центральная лредельная теорема, если при любом х справедливо следующее предельное соотношение для сумм ~„=$~+$~+ ...
+$„: !пп Р ! ла:= — ~ х ~ = Ф (х), (2) ,,~о,." Так как в схеме Бернулли число успехов можно представить в виде суммы р = р~+ р1+ ... + Р независимых случайных величин с Р(1м = 1) = р, 14$ гл и нанте»льнкя пгадальн»я таогам» где )г»(1)~( —, — — +г»(1) < — Ь„' (6) (зто доказывается так же, как свойство 6) из 3 37).
В силу независимости $», характеристическая функцн»1 « 1 ч-!- = — ~ а» равна произведению в. 2. ). ()-1~~. ( — '„) »-! Логарнфмируя, получаем « 1оп(1 (1) = "! 1оп) (о. )~. »-! (6) Из разложения 1он(1+ х) = ~~~, =-)»= 1 1»-!„» »-! следует, что 1оа(1+ х) = х+ а(х), где прн 1х~ < 1/2 (7) йО О (а(х)! ~ 1 1„" <-~~! 1х)»(~1х('. (8) »-» » 2 А»= ~. ам В'= ~'„Ь», С' = ~ сазм » ! »-! » ! Тео рем а 2. (Теорема Ляпунова.) Если $!, $м»» ° независимы, а», Ь», с» конечны и С«/В„-«0, го 1ип Р( ~' '" ~« " ~(х~=Ф(х). (3) Док аз а тельство. Положим $»=з» вЂ” ам )»(1) «= ~1 (1). Так как М$» — — О, Ма!» «Ь», М~~»)»=с~~< оо,то /»(!) =1 — —" ,Ь»»+ г»Р), (4) з 4ь твовема лвпгнова Из условия теоремы вытекает зь (ы(1~~а) сь /с (9) (мы здесь воспользовались неравенством (М1$!') ((М1$1'~')'~'+и), Таким образом, Ью/8 -»О прин-~со равномерно по 1 ~й~~п.
Пусть Х>0 н (Г(~Т. Согласно (4) и (5) 7ь(в ) =1+за ( л ). где, в силу (9], аа — = — — —, + гь — ..~ — —,. (1Г) Выберем па таким, что ! ез ~ — ~ ! ~< — прн а > па, и применим в правой части (б) йредставленне (7) с оценкой (8). Получаем Л и 1ой11 (1) — з +,~~ г~~ — ) + ~~ бззь ( — ), (11) з ! а ! где 10а)(1, Используя в (11) оценки (5) и (10),имеем при ф( Т: л !1 й~,„(1>+ !~Е!;( —,'.)!+ а! + ~аз !ззЫ!1[аз(в )!< з (в") + 3-! з ~ а поэтому 1пп )С (1) = е д.+ „В нто равносильно утверждению (3), 156 ГЛ.
1Ь ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА й 42. Применения центральной предельной теоремы Доказанные выше предельные теоремы имеют больч шое теоретическое и прикладное значение. Основным в условиях этих теорем является то, что в сумме Ь„= "=е1+ез+ .. +е„каждое слагаемое й» дает малый в общую величину суммы ь„случайный вклад. В част- НОСТИ, ЭтО ВЫРажаЕтСЯ тЕМ, ЧтО 0ЕА/О~„-РО ПРИ П-+. со равномерно по ! ( й ( и. В приложениях часто нс пользуют предположение о том, что встречающиеся прн расчетах случайные величины нме1от приближенно нормальное распределение. На предположении нормаль'- ности построена так называемая теория ошибок измерения. в которой изучаются методы учета случайных ошибок при измерениях тех или иных параметров в экспериментах.
В .антропологии, например, обработка результатов измерения параметров человеческого тела также ведется на основе предположения нормальности распределения этих параметров. Основанием для предположения нормальности в этих случаях служит большой статистический материал, накопленный при измерениях. Центральная предельная теорема дает гипотезе нормальности некоторое теоретическое обоснование, так как часто на величину какого-либо параметра в реаль; иом явлении влияет много случайных независимых факторов, причем влияние каждого из них невелико, а сум. марио они дают некоторый ощутимый эффект. Известно ироническое высказывание одного статистика на этот счет: «Каждый уверен в справедливости нормального закона распределения, экспериментаторы — потому, что они думают, что это математическая теорема, математики — потому, что они думают, что это экспериментальный факт». Это изречение лишний раз нам напоминает, что математические теории строятся не на самих реальных явлениях, а лишь на их математических моделях.
Поэтому в применениях теории вероятностей, каВ и вообще математики, надо никогда не забывать о здравом смысле и всегда заботиться о том, чтобы рассматривалась подходящая модель, правильно отражающая соответствующее явление. $42 ПРИМЕНЕНИЯ' Рассмотрим несколько примеров на применение цен. тральной предельной теоремы. При этом мы будем придерживаться следующей терминологии. Если последовательность случайных величин Ь„ такова, что при некоторых А„и В„ 1!ш Р ( — "" ~ (х ~ = Ф (х), (12) то мы будем говорить,что случайная величина ~„ асим42- тотически нормальна с параметрами (А„ В„) или просто (А„ В„)-асимптотически нормальна, а равенство (12) будем использовать в допредельной форме для приближенной оценки вероятности, полагая Р( ~" ' (х~ - "Ф(х).
Пример 1. Ошибки измерения. При измерении некоторой величины а мы получаем приближенное значение ~. Сделанная ошибка б = $ — а может быть представлена в виде сум22ы двух ошибок б — (2 М~) + (М~ — а), первая из которых а — М5 называется случайной ошибкой, а вторая Ма — а — систематической ошибкой. Хорошие методы измерения не должны иметь систематической ошибки, поэтому мы будем далее полагать Ма = а. Случайная ошибка б имеет и~левое математическое ожидание Мб = О. Пусть 0б = о .
Для уменьшения этой ошибки производят н независимых измерений а4, $2,..., $„ и принимают за оценку измеряемой величины а среднее арифметическое д=-„(54+... +5„). Какая при этом ! допускается погрешность? По центральной предельной теореме сумма 5! +... + $„одинаково распределенных независимых случайных величин с М$4 = а, 014 = о2 > О (ан, а~/й)-асимптотнчески нормальна. Поэтому д при больших и (а, о/1/й)-асимптотически нормальна и 4.Уе?е ! Р[1д — а(е~е) н' — „) е 2 Ыи. (!3) е.е(е 152 Гл, 10. цвнтэллънкя пэадельнкя теОРемА Из (!3) формально можно было бы сделать вывод, что с помощью как угодно грубых методов измерения получаются при больших и как угодно точные результаты. Это противоречит здравому смыслу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
