Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1119910), страница 17
Текст из файла (страница 17)
е мАтемАтическое ожидАние (2!) С другой стороны, л "ль ь МДл(Е)=~~ Д(Хль) ~ Р(Х)йХ=~у„(к)Р(Х)йХ. А-! а Отсюда и из неравенства <йл(х) — й(х) <(е имеем при л ~)ла ь 1л(лл(ла — ла.в)<.. а Отсюда и из (20) получаем равенство ((9). Рассмот- рим теперь неотрицательные д(х)~ О.
Положим д(х) при )х)~~а, О при )х )> п. Случайные величины т!л= дл($) монотонно сходятся к т! =у($), поэтому по теореме о монотонной сходнмостп Мй'„($) ! Мй($). Отсюда и из л ал Мй„($) = $ и (х) р (к) йх -л $ й (к) р (х) йх -л юл следует ((9) для неотрицательных й"(х). В общем слу- чае д(х) = д+(х) — й-(х), где й+(х) = п1ах(п(х) О), и-(х) = — 1п(п(й (х), 0). имеем Мй' (е) = Мй" ($) — Мй (е) = лл ла лл = ~ Ал(х)р(х)йх — ~ й (х)р(х)йх= ~ П(х)р(х)йх. 60 60 а Теорема доказана. Теоремы 4 и 5 почти так же доказываются и в слу- чае произвольного распределения Ре(х) с заменой ((7) и (!9) иа интегралы Стилтьеса (Римана — Стилтьеса): ФФ Мф= $ кйгф(х), ла Му ($) = ~ й (х) Н'Е (х).
° а $3ь ФОРмулы для Вычисления 113 Равенства (21) и (22) имеют место, когда интегралы сходятся абсолютно. Для дискретных случайных вели. чнн (21) н( 22) переходят в ряды М$ = Х хаР (з = хь), В ! 00 Мй(~) = Е й(хь) Ра-хь), (24) (23) причем равенства (23) и (24) имеют место, когда ряды сходятся абсолютно.
Замечание 1. Формулы (19), (22), (24) справедливы и в более общем случае, когда борелевская функ. кнч д(хь ..., х ) отображает Я'" в Ж Пусть случайный вектор $=($ь ..., $ ) имеет функцию распредения г" (хп ..., х„) и плотность р (хн ..., х„) 1" м ы -'1е (если она существует). Тогда имеют место следующие формулы для вычисления математических ожиданий: Мй'($ ° ° В„) = = ~ ... ~ я(хп ..., х„)ИР1 (х„..., х„), Доказательство аналогично тому, которое проводится в случае формул (19), (22), (24).
Замечание 2. При вычислении математических ожиданий М$, Мд($) очень часто используются приемы, позволяющие обходить формулы (16), (17), (19), (22) — (24), тем более, что нередки случаи, когда закон распределения либо очень сложен, либо вообще не выписывается в явном впде. Один из таких приемов со. стоит в том, что случайная величина $, математическое ожидание которой мы собираемся вычислять, представляется в виде суммы более простых случайных величин (например, индикаторов): $ = 83+ 83+ .„+О и да- Ма($ь" * $т)= ... ~д(хп ..., х„)р (х„..., х„)их, ... Фх„.
114 гл. х млтвмлтичасков ожидания лее используется адднтивное свойством = МО~+ МОз+ + °,. + МО„. Другой прнеы'вычисления математиче~ ских ожиданйй связан с использованием производящих и характеристических функций (см. гл. 8 и 9). В $ 13 мы изучали некоторые свойства математн« ческих ожиданий в конечной схеме, В втой главе мы установили, что математическое ожидание М5 в общем случае обладает теми же самыми свойствами, если толь.
ко предполагать в соответствующих местах существова. ние нли конечность М$. Так же, как в гл. 3, в общем случае определяются моменты й-го порядка, централь. ные, абсолютные и абсолготные центральные моменты, в частности дисперсия, ковариация, коэффициент карре. ляции. Доказательства неравенств Иенсена, Коши — Буняковского, Ляпунова, Чебышева, данные в гл. 3, легко переносятся и на общий случай. Аналогично доказательство теоремы Чебышева (закон больших чисел) в $18 дано в такой форме, которая годится н для общего случая. Мы будем в дальнейшем пользоваться этими результатами, не проводя здесь еще раз доказ.- тельств, которые были даны в гл. 3 в конечной схеме Вычислим Мг) и Рг) случайной величины г), распределенной нормально с параметрами (О, 1): и Г Мч== ~ хе ' Их=О, ,~Ы 3 к1 к' Г Рг( = Мг)' = — ~ х'е ' На = — = г 2ж т/2я кй Г ,~з —.
3 При вычислении Рг) мы воспользовались методом инг тегрирования по частям, полагая в = х, и = — =е и к Ыо = г(х, г(и = = е ~/Ы Если г) распределена нормально с параметрами (О, 1), то $ = от1+ а имеет нормальное распределение с пара- задачи НЬ метрами (а, о) и М$ а„02= о'. Таким обраэом, параметры нормального распределения а и о равны ма. тематическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению. Вычислим Мй и 02 равномерного на [а,ь) распре. деления.
Имеем а Мй — ~ хе(х= —, 1 Г а+Ь Ь вЂ” а 3 2 е а Мй — ~х с(х -о — — —— Г ь' — оа ь +аь+ь Ь вЂ” а4 Т(Ь вЂ” о) Вычислим Мй и 02 гамма-распределения: Мт= — н-аас(х и е ет(и= — — с Г(а+ 11 а "=5 Г(а) тоас(а) 5 Гйр(а) "ле ' О о еь 60 )селе+! Мйт Л И вЂ” Ьлт(Х ~ Хе+1Н-л СГХ о Г(а+ 2) а(а+ 1) = РГ(аТ Хг 02 Мае — (Мен) — 1-(тс — р = +* вад 1. Случрйная аеличина а начет нормальное распределение с па. раыетраый (О, о).
Найти ее ыоыеиты Мйл. 2. Найти Ме' 1 для случайной аеличнны $ а аадаче 1. а. Вычислить МЬ» ирн натуральном л, если $ имеет нормальное распределение с паранетраыи (а, о). 4. Случайные иеличниы $р 1=1, ..., л, неааансииы, аь 0Ц оь Найти днсяерсию От)„, где Ч„Щ ... 1„. е 6. Неотрицательные случайные величины йь ..., а, иеааинсины и одинакоао распределены. найти ыатеыатнческое ожидание Мч л ив ГЛ. 7.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ случайной велнчнны 1А+а ЧА- „ В $ +па ! где а ~ Π— константа. 6. Случайная велнчнна $ нмеет Г-распределенне с плотностью — е, х~О. Найтн М$ . Прн какнх О это математнческсе Анте ' -Аа Р Г (а) ожнданне конечное 7. Случайные велнчнны (Е, Ч) — это коордннаты равномерно распределенной точны в круге ха+Ее < Ла. Найтн нх математнче* окне ожндання н днсперснн. Г л а в а 3. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ й 32. Целочисленные случайные величины и их производящие функции Дискретную случайную величину $, принимающую только целые неотрицательные значения, будем называть целочисленной случайной величиной.
Закон распределения целочисленной случайной величины определяется вероятностями р =Р($=п), п=О, 1, 2, ..., (1) для которых (2) Через закон распределения (!) производящая функция выражается суммой ряда 'Ре(з) Х РюР ' в О (3) который абсолютно сходится при 1з~(1. Поскольку р ф41(О), и=О, 1, 2, ..., 1 н1 (4) то между законами распределения (р„) и производя- шими функцнямн равенства (3) и (4) устанавливают взаимно однозначное соответствие.
Определенная рядом (3) производящая функция называется иногда вероягногтной производящей функцией. Производящей функцией Закон распределения (1) удобно изучать о помощью производящей функции, которая определяется как следующее математическое ожидание: ре( ) тл. о. пооизводяшив Функции На любой числовой последовательности ао, аь ао, ... называется сумма ряда ао+а,в+аозт+ ..., если он имеет ненулевой радиус сходимости. Из (2) следует, что вероятностная производящая функция оро(з); в точке в = 1 равна 1.
Вычислим производящие функции распределений не. которых целочисленных случайных величин. 1) Биномиальное распределение. РД=т)=Ср ц" ", т=О, 1, 2, ..., и, р+а=1, ор (в) = Х С'"р"т1™ ~ = (рв+ т1)". и о 2) Г1уассоновское распределение. « Р(3=п)= — в ", п=О, 1, 2, ..., «! ««о« ~р(з) ~ е-а сало-и — 2. «! «о 3) Геометрическое распределение. РД=п)=д"р, п=О, 1, 2, ..., р+а=1, ° Ф ~р (з) = ~ д«рз" -о й 33.
Факторнальные моменты Вместо моментов М$' в случае целочисленных слу« чайных величин удобнее иметь дело с факториальными моментами Мор1, где аи1 = $($ — 1) ... (з — т + 1), Р1 = 1. Через факториальные моменты МР' можно выразить моменты М$' и наоборот. Например, первый факториальный момент есть просто математическое ожидание, а М3о= Мй~о1+ М$ и, следовательно, 0й= = М$"'+ М$ — (М1)о.
Факториальные моменты легко вычисляются через производные производящих функций в точке з = 1. ч зз ФАктоРнальныв моменты 119 Имеет место равенство Мб[ [= а(о(1), (б) В противном случае мы определяем [р~"[(1) либо как 1пп 4о(з), либо как левую производную в з = 1, определяемую предельным переходом [р[м (1) ч["-и[[1- и["-и[[ — А) 1[и[ последовательно при й лез Ь 1, ..., г, [р[з[(з) = [р(з). В обоих случаях получаем (б). Поскольку МЗ[~[ — ~ п[с[р„, и (7) то (б) и (7) доказывают (б). Заметим, что в равенстве (5) обе части могут быть бесконечными. Таким образом, М$ и Щ можно следующим абра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
