Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1119910), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Перейдем в уравнениях Г Рм(/+ 1) = Е Рм(/) Р/!/ а ! к пределу по / -» со. Получаем Р/= Е РаРц !!-! Г Кроме того, ~Р/ — — 1, т, е. предельные вероятности р/ / ! удовлетворяют системе (12). Предположим, что какие. либо х!, ..., х, удовлетворяют (12). Тогда они при лю. бом / удовлетворяют системе х/ — — Е хаР~/(/). а ! (14) Это доказывается по индукции: Е хара/(/ + 1) = Е ха Е РиР0(/) а-! а-! !-! / ' ~~ х«рь!) Рп(/)= Е х,ры(/) х/, !-! В=! !-! Переходя в (14) к пределу по /-» ео, получаем х/ —— Г = Е хар/=Р/. Теорема доказана.
/!-! Так как 0= ~с' (рп(/о) Р/!(/о)) = Е + ~~, то ! = — ~ . Обозначим К (Р!!(/,)-Р/!(/,))=//!т. Из условий теоремы следует, что все //!/ ( 1, поэтому /т'= гпах//!/<1. !. / Теперь из (13) имеем МЯ + /а) — /п~(/+ /,) (» и (Ма (/) — л/а (/)) злдлчп 55 Из формулы (10) следует, что в условиях теоремы! р,(()-» р; при 1 -» оо, причем предел не зависит от первоначального распределения р;(О), Можно проверить, что цепь Маркова, описываю!цач блуждание с отражением в примере 2, удовлетворяет условням теоремы. Предельные вероятности в этом случае можно найти с помо!пью системы уравнений (12). Зааачч !.
В урне содержится 5 шаров, белыс и черные. Испытание со. стоит в том, что каждый раз из урны случайно вынимается один и~ар и взамен в урну возвращается шар, но другого цвета (вместо белого — черный и наоборот). Найти матрицу переходных вероятностей !! ро 5 для цени Маркова, состояниями которой является количе'ство белых шаров в урне. Найти вероятности перехода за два шага рь(2). Йзйти предельные вероятности !ип р. (Г) = и . т.»»» 2.
5!»дель перелети»ания колоды карт. Пусть имеется три карточки с номерами 1, 2, 3. Состоянием системы назовем последовательность номеров этих карточек !из!ь Предположим, что переме. ишваоис происходит следующим образом: с вероятностямн 1/2 со. стояние П!зи переходит в !эгнз нли в Пы!т. Найти матрицу вероятностей перехода. Найти предельные вероятности )ит 1,!» 3. Полагая в примере ! 5 25 5Г = 3, вычислить вероятности перехода рь(!) за ! шагов н пределы Нш р;! (!) = р!!. т -» а» 4.
Пусть случайные величины $ь $е, ..., $» независимы и Р($» 1) р, Р($а О) о, р+ о 1. Доказать, что пары (ы Ы ($з, $з) ° ° (ь»-и $») образуют цепь Маркова. Найти переходные вероятностн этой цепи за т шагов, Г 1, 2, ... 5. Образуют ли цепь Маркова значения случайяых величии )!. = $ь Дь где $~ взяты нз задача 4, если О < р (! 2 Глава 6. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (ОБ)Ц И Й СЛУЧАИ) $27. Случайные величины и им распределения Пусть (О, Ф, Р) — произвольное вероятностное пространство. Теперь уже случайной величиной мы будем называть не любую числовую функцию $ = $(в). Определение 1. Числовая функция $ = 3(в)' от элементарного события е еи О называется случайной величиной, если для любого числа х Д(х) = (ен $(а)(х) еи зз. (1) Смысл этого определения состоит в следующем. Поскольку не любое подмножество О является событием и все события составляют о-алгебру подмножеств .Ф, то естественно рассматривать такие функции $ = $(в), для которых имеет смысл говорить о вероятностях попадания $ в достаточно простые числовые множествз, в частности, в Д = х).
Свойство (1) гарантирует, что при любом х неравенство Д = х) есть событие и, следовательно, имеет смысл говорить о его вероятности. Определение 2. Функцию г' (х) = Рт (х) = Р ($ < х), (2) определенную при всех хеи Я, назовем функцией распределения случайной величины $. С помощью распределения (2) можно выразить вероятности попадания $ в различные интервалы вида х, (х ~ х„х, < х < х„х, < х (х,, х, (х < х,. ('3) Пусть х, <хь Тогда из разложения события ($(хз) на сумму несовместных событий Д(~хД+(х~ <$Кхз) следует Р ($ < хз) = Р ($ < х~) + Р (х~ < $ (~ хз) и Р(х, <$(~х,)= г'(х,) — Р(х,). (4) %27.
СЛУЧАИНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РЛСПРЕДЕЛЕНИЯ Зз Событие (З < х) можно представить как счетную сумму несовместных событий Х( — —.' - -И х ! откуда с помощью (4) получаем: Р($ <х)=~~! Р (х — — „' ! <$<х — — „~=Р(х — 1)+ х ! + !пп,'Г (Р(х — — „') — Р(х — — „',)) = х 2 =!Ип Р(х — — ) =Р(х — 0). (5) Ф-+хэ з! Здесь и далее мы будем пользоваться обозначениями Р (х — 0) = 1нп Р (у), Р (х + 0) = Вгп Р (у), утх тих Р(+ оо)= 1нп Р(у), Р( — оо)= !Ип Р(у). У» ОО У х ОР С помощью (3), (4) и (5) нетрудно уже получить ос- тальные случаи: Р($=х) =Р(х) — Р(х — 0), Р(х!» $<х2)=Р(х2) — Р(х! — 0), Р(х, < $ < х2) =Р(х2 — 0) — Р(х,), (6) 12 (х, < $ < х ) = Р (х — 0) — Р (х, — 0).
Т е о р е м а 1. Функция распределения Р(х) обладает следующими свойствами: 1) Р(х) не убывает, 2) Р(х) непрерывна справа, 3) Р(+ -) ='1, 4) Р( — оо) = О. (7) Доказательство. Свойство 1) следует из (4). Свойство 2) следует из аксиомы непрерывности 4'. Так как события В„=( х <$<~х+ — „14 8, то Р(В„)= 1 Р (х+ — ) — Р(х)-+ О, т. е. Р(х+ 0) =Р(х).
Свойства зз Гл, а случАйные Величины ювщпн случАЙ1 3) и 4) вытекают из аксиомы счетной аддитивности. Так как И= ~ А„, где А„=(Гз: а — 1 <$(со)(п), то 1=Р(й)= Е Р(А„)= !!го Е Р(А„)=— = !!Гп (Р()У') — Р( — М)] л.+а и, следовательно, Р(со) =- 1!Гп Р(йГ) = 1, Р( — со) = Н -э = 1пп Р( — М) = О. Теорема доказана. л-+» Определение 3. а-алгебраЯ числовых множеств, порожденная всевозможными интервалами вида х~ < ( х(хм называется борслевской; множества В, входящие в Я, также называются борелевскиАГи.
а-алгебра борелевских множеств Я содержит всевозможные интервалы вида (3) с конечными и бесконеч. ными концами, их конечные и счетные суммы, все открытые и замкнутые множества. Таким образом, а-алгебра множеств Я достаточно богата и содержит все числовые множества, которые нам будут необходимы. Назовем полным прообразом при отображении числового множества В множество тех Гз, для которых $(Гз)~В. Обозначая полный прообраз В через $-'(В), имеем $-'(В) =(Гз: $(а)еи В). Из свойств полных прообразов $ (О)= 8, $ (В)=11 ( — прямая), г'( П в.) = П г'(в.), г'(О в.) = 0 г'(в.), Г'(В, ~ В,) = Г'(В,) — Г'(Вз) следует, что совокупность $-'(В) для всех борелевских множеств В яЯ является о-алгеброй событий ФЕС=Ф, Мы будем называть Фь а-алгеброй, порожденной случайной величиной ~.
Можно установить, что Аь порож. дается множествами вида (еи $(о) =х) и состоит из событий А вида А=5 '(В)=(ьи $(а) енв), ь м. слтчяиные величины н нх распределения вт где Вен Я. Ниже мы покажем, что для каждого ВеЯ определена вероятность Р (вен В), которую мы будем обозначать Ре(В). Определение 4, Функция Ре(В), определенная для всех В ен Я, называется распределением вероятностей случайной величины $, С помощью (4) — (6) можно выразить вероятность события (вен В) для борелевских множеств В, предста. вимых в виде конечной суммы интервалов вида (3).
В теории меры доказывается следующая Теорема Каратеодори. Если на алгебре уме подмножеств (г определена вероятность Р, удовлетвпряюи(ая аксиомам 1', 2', 3* (причем аксиома счетной аддатпвностн 3' формулируется так: если попарно несовместные А,~,иге и А= 2 А„ен эФ„то Р(А) = е = ~ Р(А„)), то эту вероятность можно однозначно прае=1 должать на все множества из о-алгебры .яе, порожденной Ме~). Нетрудно видеть, что числовые множества, состачленные из конечных сумм полупнтервалов (хи хе|, образуют алгебру Яе.
Эта алгебра порождает а-алгебру борелевских множеств Я. Если задана функция распределения Ее(х), то она удовлетворяет условиям (7). С п;- мощью формулы (4) и аксиомы аддитивности мы можем по этой функции распределения определить з;ичения вероятностей Ре(В) = Р(с~ В) для всех В яЯе. Можно доказать, что распределение вероятностей Ре(В) а.аддитивно на алгебре множеств Яе.
Отсюда и из теоремы Каратеодори следует,что с помощью функции распределения (2) мы можем получить вероятность сабы. тия (еен В) для любого борелевского множества Вен Я. Итак, распределение вероятностей Ре случайной величины $ однозначно определяется функцией распределения Ее. Таким образом, каждая случайная величина $ дает такое отображение $=$(в) множества ьг в числовую прямую А', которое порождает новое вероятностное про. странство ()е, Я, Ре) ') Си., например, Х'е ям о а П„теорне меры.
— Мс ИЛ, !95З. ва гл. а слтчхиныа величины юани слтчхщ Из равенства Р Д=х) =Р(х) — Р(х — 0) следует, что в точках разрыва функции Р(х) имеет место Р (5 =х)>0. Так как при каждом целом и может быть не более и точек х с Р5 = х)) 1/а, то у функции Р(х) имеется пе более счетного числа точек разрыва. Обозначим хь хм ...
все точки разрыва Рх(х). Если вероятности Р Д = х„) = рь таковы, что ~ р„ = 1, то ь-! мы говорим, что случайная величина $ имеет дискретное распределение. Примерами дискретных распределений служат: 1) биномиальное Рб=й)=С.'р'(1-р)" ", й=0, 1, ..., а; О<р<1; 2) пуассоновское РД=к)= —,е ', к=О, 1, 2, ...; 0<а; 3) геометрическое Р(В=й)=р(1 — р)", 2=0, 1, 2, ..., 0<р<1. Мы будем говорить, что функция р(х)= рх(х)' есть плотность распределения случайной величины $, если для любых х~ ( хз хр Р(х, < а<хе) = ~ р1(х)дх. Из определения (8) следует: 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
