Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 39
Текст из файла (страница 39)
щ В этом случае положение равновесия системы является асимптотически устойчивым не только для линеаризировавной системы (8), но и для исходной нелинейной склерономной системы с дифференциальными уравнениями (1) (см. $ 88). В заключение 'отметим, что для консервативной системы В=))Ь!А((",=О, а А=()а!д)'," и С=)~е!д~!',"— симметрические положительно определенные матрицы. Вековое уравнение де!(А!Ад+С)=0 переходит в уравнение де!(С вЂ” ХА)=0 из Г! 40, если положить 6=1 р'Х (1= р' — 1).
Но, как было показано в $40, уравнение де!(С вЂ” ЛА)=0 имеет только положительные и вещественные корни. Поэтому уравнение (!1) в случае консервативной системы имеет чисто мнимые корни. В 46. Диссипативная функция Релея. Влияние малых диссипативных сил на колебания консервативной системы Ь!1= — ~к~~ Ь!д!)д — ~ еырд (1=1, ..., Я), (1) составленные из коэффициентов мал!ропы В = Ьнд !(. и С=(е!д)," являюачся симметрическими и положплтелдно определенными.
Тогда, вводя в рассмотрение потенциальную энергию П и диссипативную функцию Релея П (см. $8)„которые задаются положительно определенными квадратичными формами ! %! 1 ъ! П вЂ” — е!Ад!!тд)0, й= —, Ь!дднуд)0 сд 1 1,д ! д д (.'У',д!)0, '~ 4))0), 1=! ! 1 (2) Отметим важный частный случай, когда асимптотическая устойчивость положения равновесия предопределена и нет необходимости прибегать к критериям устойчивости, изложенным в 2 39. Пусть в выражениях для обобнтеиных сил !см.
равенство (6) на стр. 2601 263 диссиплтивнля егнкция гелия мы формулы (1) перепишем так: дП дгг а.= — — — —. (1= ....,.). да, дд, дП На систему, помимо потенциальных снл — — 11=1, ..., л), да~ дд' действуют еще диссипатнвные силы — —., определяемые дд функцией Релея. В $8 было выяснено„что в этом случае система является определенно-диссипативной. Так как, согласно первой из формул (2), потенциальная энергия в положении равновесия имеет строгий минимум и положение равновесия является изолированным, то (см. теорему на стр. 202) положение равновесия является аснмптотически устойчивым.
Таким образом, днсснпативные силы, определяемые функцией Релея, не только не нарушают устойчивости положения равновесия консервативной системы, но и делают (в некоторых случаях) это положение аснмптотически устойчивым. В рассматриваемом случае можно установить простые формулы для оценки корней векового уравнения. Будем снова искать решение вида иез'. Для определения столбца и получаем уравнение [см. стр. 261) (Ара+В(ь+С)и=О, или в развернутой записи ~Ч~~(паря+дыр+сы)на=О (1=1, ..., л). (4) «=! Умножая обе части 1-го уравнения (4') на П; (П; — величина, комплексно сопряженная с и,) и суммируя по г, находим Рз '~ ', агап,па + Р '5', агап,иа + ~ сии,иа —— О, с «=1 нлн в сокращенных обозначениях А(и, й)рз+В(и, й)р+С(и, й)=0, где А(и, й) > О, В(и, й) ) 0 и С(и, й) ) 0 ').
7 См. 3' иа стр. 235. (гл. щ МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ Таким образом, любой корень р векового урзвнения удовлетворяет квадратному уравнению (5) с положительными коэффициентами. Отсюда сразу следует, что )терс." О. Если вековое уравнение имеет комплексный корень )А=Т+Й, то это же уравнение имеет и комплексно сопряженный корень 5=7 — 15.
Числа р и (л — корни квадратного уравнения (5). Поэтому, полагая и = о + йо, й =о — йо (и, яв — вещественные векторы-столбцы), можно написать'): — ( и) М )+и( ") О 1 + 1 А (и, й) А (о, о) + А (иь м) ~ (6) С (и, и) С (о, о) + С (э, ле) А (и, й) А (о, о) + А (оч м)' Комплексно сопряженным корням р и р соответствуют комплексно сопряженные колебания иео' и йел'. Сумму соответствующих членов в выражении для д [см.
формулу (12) на стр. 261) можно привести к вещественному виду при комплексно сопряженных значениях произвольных постоян- 1 — 1 ных С= — (Р+ 10), С= — (Р— 10); Сиелт.+ Сие"' = — (Р+10) (о+ йв) е(там) ' -+ 2 + — (Р— 10) (о — йв) е(т "1'= йе ЦРо — Очи+1(Рто+ 0о)) е" (соз 51+1 з1п 51)) = ет' 1(Ро — 0яо) соз 51 — (Рта+ 0о) з)п 51). (7) Если мы имеем два вещественных корня )л и р' и соответствующие им столбцы обозначим через и и и', то, умножая обе части 1-го уравнения (4') на п~ (вместо иг), получаем вместо равенства (5) следующее равенство: А(и, и'))ля+В(и, и')р,+С(и, и')=6.
(8) а) См. формулу (20) нл игр. 235. дисснпативная екнкння лилия 265 а 461 Меняя ролями векторы и и и', заключаем, что число Р' также удовлетворяет уравнению (8). Поэтому В (и, и') , С (и, и') 1 + 1 А (и, и) ' 1 1 А (и, и') Посмотрим теперь, как изменяются главные колебания консервативных систем под действием и а л ы х диссипативных сил '), Введем нормальные координаты Вн ..., 0„. В этих координатах л в Т= — «,=,0;, П= — л,=, "гтбзч (1О) г=! г=! Подставляя сюда зг=«;ее' (1=1, ..., и) и сокращая на еиг, получаем систему линейных уравнений (!й'+~аь+ ~!) «г+ ~~ Ггж»й=О (!'=1, ..., ), (14) й=! !йфв Приравнивая нулю определитель втой системы, найдем вековое уравнение (ь +рти+ н, взгэ зтн« и'+ рн~+ «3 иглв Рази Ржи ') См. Унт те.кер Е.
Т,, Аналитическая динамика, М.— Л« 1937, й 94. г=! !,й=! !1 тел! где кч (1=1, ..., и) — главные частоты консервативной системы, а коэффициенты в выражении (!1) для функции Релея рг, З!й (1, д=1, ..., л; ргй=рй! при !=,Ьй) малы (квадратами н произведениями этих величин можно пренебрегать). Из положительной определенности квадратичной формы (11) следует, что уг) О (1=1, ..., и). Составим уравнения Лагранжа 8!+ рта!+от!)г+ ~Р ргйЬй=о (1=1, ..., и).
(12) й=! (йфо 26б МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1гл. ч> Раскрывая этот определитель и отбрасывая члены, содержащие произведения малых коэффициентов рс, уса, представим вековое уравнение в следующем виде: и П (р*+ бар+;) =9. а ! (16) Корни векового уравнения в первом приближении имеют вид ра = "' Сеа (Л = 1, рл (1 7) Найдем амплитуды хс, х» " хл лля р =р, = — 2 + С««с. Подставив это значение >«в коэффициенты последних п — 1 уравнений (14) и разделив левые части уравнений иа К„получим: »»» — «»»с> р сх«+(р» — р + «, с) х +,„+р лх =О, с»»» (18) «»л рл»хс + гл»хх + " ° + (га е» + )хл — О.
Сы формулы (19) показывают, что «~ — малые вещественные величины (9=2, ..., Л). Корню р,= — 2+!ос соответствует «комплексное колебание» (полагаем х, = Ае", А ) 0); — — с ., — — с с(«чс+«~- — > Зс хт Б,=х,е"'с=Ае э ец»с+«>, Бл=«аАе э е ! з1 (29) (9=2, ..., Л). Взяв линейную комбинацию из данного и комплексно сопряженно о колебания, получим «главное» колебание, соответствующее корпим и = — — '+С»»«и рс= — — ' — сн,: »вЂ” Б» Бс — — с я> С«=Ае з мп(о«с+а), Бл=«лАе я ап(м«С+я+ 2 ~ (21) (Д = 2, ..., л). Из этой системы определяем отношение — (7«=2, ..., и), отбраха хс сивая члены второго н более высокого порядков малости (относительно (>ь ры): рас«»с (Сс 2, п) (!9) — — «»«а — «»' ! Ф ст! влияние силы, з»висящей от вазиани 267 Аналогичные выражения мы получим и дая других главных кваабаний.
Таким образом, е первом приближении: 1) мал»'е диссипатиаяые силы ке изменяют частит каксереатиекай системы; 2) лри этих силах колебания затухают ири С вЂ” со; 3) е у-м елаеном колебании есе координаты малы ио сраеяеяию с /-й каордина!аой и отличаются ат нее иа фазе яа четверть периода (7=1, ..., я).
$47. Влияние внешней силы, зависящей от времени, на малые колебания склерономной системы. Амплитудно-фазовая характеристика Пусть дополнительно к тем силам, о которых шла речь в й 46, на склерономную систему действуют еще силы Щ (О (1= 1, ..., п). Тогда уравнения Лагранжа для малых колебаний системы будут отличаться от уравнений (7) на стр. 260 только наличием ненулевых правых частей а Х(а!»ф»+ Ь»ф»+ с»су») = Я! (() (1 — 1...,, л).
(1) »=! Общее решение этой неоднородной системы дифференпиальных уравнениИ представляется в виде 3» и= ~х', С„и„е"» +еуа, (2) »=! где первое слагаемое представляет собой общее решение соответствующей однородной системы, а еуе — некоторое частное решение системы (1). Мы предползгаем, что положение системы д! =... = = ае = 0 является асимптотически устойчивым положением равновесия, т.
е. что )те(«» ( 0 (Й = 1, ..., 2л). Тогда первое слагземое стремится к нул!о при 1 — со ') и при достаточно больших с общее решение су неоднородной системы практи. чески совпадэет с еуе. Поэтому мы в дальнейшем будем интересоваться только «вынужденными колебаниями» еуе, которые будем обозначать просто через !7. ') Всаи вековое уравнение имеет кратные корни, то в сумме, стоящей в правой части равенства (2), могут появиться вековые члены вида С» (и»+и»г'+ и»Р+ ...) е"»'. Однако и в этом случае сумма стремится к нулю при т со, если все Кер» (О, мллыз колззлния 1гл. и Поскольку система дифференциальных уравнений (1) линейна, то общий случай отыскания вынужденных колебаний сводится (за счет линейной суперпозиции частных решений) к тому случаю, когда только одна из обобщенных сил Я!(Ь) отлична от нуля. Пусть, например, ь)!(1)о"-О, а ф(1)=О (/=2, ..., л). Кроме того, допустим сначала, что Я! (1) — гармоническая сила, т.
е. Сс! (1) = Ае!Яг, Тогда дифференциальные уравнения (1) запишутся так: л ~', (а!д'дд+ Ь!»да+ с!д!7») = Ае!Я!, д=! ~„(а~»!7»+ Ьт»!уд+ стд!74) = 0 (/ = 2, „л). »=1 Будем искать вынужленные колебания в виде д»=В»е!Я! (Ь=1, ..., л). (4) (б) Подставляя эти выражения для !7» (Ь=1, ..., л) в дифференциальные уравнения (4) и сокращая на е'Я', получаем для определения величин В» систему алгебраических уравнений: » ~', [а!»(ИМ)»+ Ьгд (И) + с!»! Вд = А, »=1 » ~ [а» (1!»)Я + Ьуд (Ы) + с>» 1В» = О.
»-! (/=2, ..., л). (6) — правильная дробно-рациональная функция от ЕЯ с вещественными коэффициентами; годограф этой функции в комплексной плоскости, а иногда и сама функция, носит название частотной или амплитудно-фазоеой характеристики. Решая эту систему алгебраических уравнений, находим для Ь= 1...,,п: В» = У»'д» (112) А, (7) где (8) $ ю! Влиянйй сйлы, з»Висящей от ВРВмени 269 Тогда «отклик» координаты а» на внешнее воздействие (;)т = Ае»Я' получается умножением этого воздействия на частотную характеристику )»тщ((Я): д» = Ж',» (»Я) Ае'Я'.
(9) Полагая Ф'4»()Я) = ь(4» (Я) е т»( ~ [)»ет» (Я) ) О[ (10) Ят»(Я) — ам литудная, )»"4»(Я) — фазовая характеристика), перепишем формулу (9) следующим образом: ~у»=144»(Я)Ае»"'+»' '1 (й=1, ..., п). (11) Пусть теперь ()»=Аз)п Ж, (12) т. е. Ят= — (е™ вЂ” е 'Я'), А 21 Соответствующий отклик будет ') 1, .
т 4(я»+ч»(яй — е)яе+ч (я)1[ 2) т. е. еу»=)тт» (Я) Азш [Я)+ 'Ут (Я)). (13) 1»ругими словами, при переходе от синусоидал»ной сил»4 (12) к соответствующему отклшсу, т. е. синусопдалъному вынужденному колебанию (13), амплитуда /лт Итп, вилы умножается на амплитудную характеристику )те»» (Я), а смещение фазы определяется фазовой характеристикой 4» т» (Я), взятой для того же значения Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
