Главная » Просмотр файлов » Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике

Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 35

Файл №1119866 Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике) 35 страницаФ.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866) страница 352019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

Тогда система дифференциальных уравнений (9) запишется в виде Ад+Сд=О. (16) Частное решение (10) будет выглядеть так: 9 = ивш(м1+ а), (17) Уравнение частот запишется так: бе1,(С вЂ” ЛА) = 0 (Л = мт). (19) Йля того чтобы выяснить, что корни Л векового уравнения (19) всегда вещественны и положительны, рассмотрим предварительно некоторые свойства квадратичных форм е вещественными коэффициентами. я Каждой квадратичной форме ~ а,„н,ил соответствует т,в=1 в некоторая билинейная форма ~ч '„атлп1пв, для которой 1,Л-1 ') СимметРическаЯ матРица А ='1 аы 1вт называетсЯ положительно определенной, если соответству1ощвя ей квадратичная я форма ~ , 'л1лчтел являешься положительно определенной. ЬЬ 1 а результат подстановки решения (17) в уравнение (16), т.

е. система алгебраических уравнений (12), имеет вид (С вЂ” ЛА) и = 0 (Л = мт). (18) а |о! КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЪ| 23б введем сокращенное обозначение А(а, ю)= т' а;»тт|п»; |,»=! тогда квадратичная форма запишется так: А(а, а)= ~ а|»и|».

|,»=1 Легко проверяются следующие свойстна билинейной формы:, 1'. А(а,-+а,, о)=А(а|, о)+А(ат, о). 2'. А(Л«, о)=ЛА(а, о) (Л вЂ” скаляр). 3". А(а, о)=А(о, а) '). Покажем еще, что для любого комплексного вектора « 4". А(а, а) — вещественное число'). Действительно, полагая а=о+йи (и и тп — вещественные векторы-столбцы), в силу 1' — 3', найдем: А (а, «) = А (о + 1ти, о — )то) = =А(о, о) — 1А(о, чв)+1А(ти, о)+А(тв, ат)= = А (о, о) + А (ти, вц).

(20) Последнее выражение явно вещественно. Из равенства (20) следует также б'. Если А (а, а) — положительно определенная квадрзтичная форма, а «о'-0 — произвольный комплексный вектор, то А(а, а) >О (аде О). (21) В самом деле, полагая «=о+(тв, имеем А(о, о))0, А(тп, тп)твО. В одном из этих соотношений имеет место знак ), тзк как из и ф 0 следует, по крайней мере, одно из неравенств и ~ О, та ое О, Тогда из равенства (20) следует равенство (21). т) В оттичие от равенств !* и 2' равенство 3 справедливо толькп для билинейной формы с симметрической мвтрицей коэффициентов.

') Чертой мы отмечаем переход к комплексно сопряженным всличянвм. Свойство 4' справедливо только для симметрическоз матрицы с вещественными влементвмн, 8' 236 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. Ч! Докажем теперь 6'. Если Л вЂ” корень векового уравнения де[(С вЂ” ЛА)=0, а и — соответствующий ему амплитудный вектор [см. (18)) Си=ЛАи (и р'О), (22) то при любом векторе о С(и, е)=ЛА(и, е). (23) Действительно, в скалярной записи равенство (22) принимает вид а л ~Ч, "отлил — Л Я а!лил л-! л=! Умножив обе части 1-го уравнения (22') на о! и лросуммировав по 1, получим: и а 'ул с!гор, = Л ')~~ а[летие, «,л=! с, л=! т.

е. равенство (23). Покажем теперь, что для любых двух амплитудных векторов и и и', соответствующих различным корням векового уравнения Л и Л' (Л~Л'), выполняетсн соотношение ') А(и, и')=О. (24) Действительно, согласно 6; имеют место два равенства; С(и, и')=ЛА(и, й), С(и, и')=Л'А(и, и'). (26) Но А ф Л'.

Поэтому из равенств (25) следует соотношение (24) '). ') Если ввести в и-мерном пространстве А-метрику, т. е, под квадратом длины вектора и понимать величину квадратичной форлты А (и, и) = ~Л~ ими!ил, то А (и, и') — «скалярное произведение« векторов и и и' в втой метрике. Поэтому равенство (3) выражает собой следующее свойство амплитудных векторов: амплиюудныс лскл«оры, соожлсастлующис рааличнмм корням векового уравнения, лссгда оржогональны между собой в А-метрике. ') В силу равенств (25) одновременно с равенством А (и, и') =0 имеет место и равенство С(и, и)=0. Я 401 КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТВМЫ 237 Л(окажем теперь, что из симметричности матриц А и С и из иолоакительной определенности матрица А следует, что вековое уравнение (13) [или (19)] имеет толысо веи1ественнае корни.

Действительно, пусть Л вЂ” комплексный корень векового уравнения (Л ф Л) и ему соответствует комплексный вектор и ф О. Тогда Л также корень векового уравнения с амплитудным вектором й, Поскольку Л ч- 'Л, то, по доказанному, А (и, и) = О, что противоречит неравенству (21). Если Л вещественно, то и соответствующий ему амплитудный вектор и ф 0 может быть выбран вещественным.

Тогда, полагая в (23) и=и и замечая, что А(а, и))0, находим Л С(и, а) А(а, а) ' (26) 9=муз!В(мт1+а ) (27) с амплитудным вектором и,, координаты которого иы, ..., и„~ должны удовлетворять системе линейных уравнений л ~ (сы — Ла,ь) иат=О (1=1, ..., и), (23) ь-1 или в матричной записи (С вЂ” Л А)а =О. (29) Так как система дифференциальных уравнений (9) [или (1 6)] линейна, то линейная комбинация с постоянными коэффициентами решений (27) есть снова решение этой системы.

г)о в нашем случае квадратичная форма С(и, и) = „5' сии,иь С А=! также является положительно определенной. Тогда не только А(и, и))0, но и С(а„и)) О. Следовательно, Л) О. Таким обрааом, вековое уравнение (13) имеет и положительных корней Лт которым соответствуют вещественные положительные частоты мт — )/ Лт и вещественные амплитудные векторы ат (г'=1, ..., и). Рассмотрим сначала случай, когда все корни векового уравнения различны. Каждому Лт соответствует частное ре- шение 238 МАЛЫЕ КОЛЕЕАННЯ !ГЛ.

Ч! Поэтому я ту= ~~ С и;г1п(ыу1+а) (му=)/'ту; /=1, ..., Л) (30) у=! прн произвольных постоянных СИ ау (/=1, ..., и) является решением системы (9) нли (16). Мы покажем, что формула (30) охватывает все депо!селии системы. Покажем предварительно, что и амплитудных векторов иу (у =1, ..., Л) линейно независимы ').

11ействительно, пусть ~ с;и;=О. у=! "Тогда при любом фиксированном й (1 =.й:-и) л я ° = ~(,. 1т е;~= ~,А! „д. ! —.- ! у ! Но А(иь, иу)=0 при й;е/ и А(игя иу))0 прн й=/. Поэтому из равенств (31) следует: сь=О (тт=1, ..., и), т. е. между векторами и„..., и„не может быть линейной зависимости. Подберем теперь в формуле (30) значения произвольных постоянных С, ау так, чтобы удовлетворялись произвольные наперед ззданйые начальные условия (31) йт(0)=!у!я тут(О) = !т!я (! =1, ..., Л), (32) или в матричной записи тт(О)- у,, а(О) =ам Из формул (30) находим Суз1пау ид т= ! я ту„= ~Ч ', от,С, соз ау и!.

/= ! (33) (34) ') Дтя частно~о случая, когда А — единичная матрица, вто предложение было доказано в 3 37. е та) КОлввлния консвввлтивной системы 239 В силу линейной независимости векторов и) () = 1, ..., л) отсюда одноаиачно определяются произведения С) Мн и) и ю)С сола) и, следовзтельно, поскольку ю)чЕО, однозначно определяются значения произвольных постоянных С) и а) () =1, ..., л)'). Таким образом, при отсутствии у векового уравнения кратных корней формула (30) охватывает все колебания системы ').

Если же уравнение частот имеет кратные корни, то можно утверждать, что решений вида из!п(«1+а) будет во всяком случае т, где лт — число различных корней )) векового уравнения. Лагранж считал, что в случае кратных частот общее решение системы (9) уже не представляется в форме (30) и что в правой части (30) доянляются так называемые вековые члены вида («+ и'г+ и"1Я+ ...) гйп (ю) + и). Однако Лагранж ошибся. Как доказал позже Вейерштрасс, каждому корню ) р-й кратности соответствует ровно р линейно независимых решений системы линейных уравнений (12), т. е. для каждого корня 1) р-й кратности можно найти р линейно независимых амплитудных векторов.

Таким образом, н в случае кратных частот существует п линейно независимых амплитудных векторов и составленная с их помощью фориула (30) дает общее решение и в этом случзе. Колебания !у=С)и)згп(ю 1+и)) ()=1, ..., п), (Зб) из которых складывается произвольное колебание системы, нззываются главными нолебаниямп системы, Строгий вывод формулы (30) в общем случае (т. е. н при наличии кратных частот) с помощью так назыпаемых ') я, определяются с точностью до слагаемого, кратного 2я. ') Для амплитудных векторов «) выполвяются соотношения л А(«я «л)= ~~'~ яглпбп» =О цф)с у л=! ...

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
12,73 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее