Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Тогда система дифференциальных уравнений (9) запишется в виде Ад+Сд=О. (16) Частное решение (10) будет выглядеть так: 9 = ивш(м1+ а), (17) Уравнение частот запишется так: бе1,(С вЂ” ЛА) = 0 (Л = мт). (19) Йля того чтобы выяснить, что корни Л векового уравнения (19) всегда вещественны и положительны, рассмотрим предварительно некоторые свойства квадратичных форм е вещественными коэффициентами. я Каждой квадратичной форме ~ а,„н,ил соответствует т,в=1 в некоторая билинейная форма ~ч '„атлп1пв, для которой 1,Л-1 ') СимметРическаЯ матРица А ='1 аы 1вт называетсЯ положительно определенной, если соответству1ощвя ей квадратичная я форма ~ , 'л1лчтел являешься положительно определенной. ЬЬ 1 а результат подстановки решения (17) в уравнение (16), т.
е. система алгебраических уравнений (12), имеет вид (С вЂ” ЛА) и = 0 (Л = мт). (18) а |о! КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЪ| 23б введем сокращенное обозначение А(а, ю)= т' а;»тт|п»; |,»=! тогда квадратичная форма запишется так: А(а, а)= ~ а|»и|».
|,»=1 Легко проверяются следующие свойстна билинейной формы:, 1'. А(а,-+а,, о)=А(а|, о)+А(ат, о). 2'. А(Л«, о)=ЛА(а, о) (Л вЂ” скаляр). 3". А(а, о)=А(о, а) '). Покажем еще, что для любого комплексного вектора « 4". А(а, а) — вещественное число'). Действительно, полагая а=о+йи (и и тп — вещественные векторы-столбцы), в силу 1' — 3', найдем: А (а, «) = А (о + 1ти, о — )то) = =А(о, о) — 1А(о, чв)+1А(ти, о)+А(тв, ат)= = А (о, о) + А (ти, вц).
(20) Последнее выражение явно вещественно. Из равенства (20) следует также б'. Если А (а, а) — положительно определенная квадрзтичная форма, а «о'-0 — произвольный комплексный вектор, то А(а, а) >О (аде О). (21) В самом деле, полагая «=о+(тв, имеем А(о, о))0, А(тп, тп)твО. В одном из этих соотношений имеет место знак ), тзк как из и ф 0 следует, по крайней мере, одно из неравенств и ~ О, та ое О, Тогда из равенства (20) следует равенство (21). т) В оттичие от равенств !* и 2' равенство 3 справедливо толькп для билинейной формы с симметрической мвтрицей коэффициентов.
') Чертой мы отмечаем переход к комплексно сопряженным всличянвм. Свойство 4' справедливо только для симметрическоз матрицы с вещественными влементвмн, 8' 236 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. Ч! Докажем теперь 6'. Если Л вЂ” корень векового уравнения де[(С вЂ” ЛА)=0, а и — соответствующий ему амплитудный вектор [см. (18)) Си=ЛАи (и р'О), (22) то при любом векторе о С(и, е)=ЛА(и, е). (23) Действительно, в скалярной записи равенство (22) принимает вид а л ~Ч, "отлил — Л Я а!лил л-! л=! Умножив обе части 1-го уравнения (22') на о! и лросуммировав по 1, получим: и а 'ул с!гор, = Л ')~~ а[летие, «,л=! с, л=! т.
е. равенство (23). Покажем теперь, что для любых двух амплитудных векторов и и и', соответствующих различным корням векового уравнения Л и Л' (Л~Л'), выполняетсн соотношение ') А(и, и')=О. (24) Действительно, согласно 6; имеют место два равенства; С(и, и')=ЛА(и, й), С(и, и')=Л'А(и, и'). (26) Но А ф Л'.
Поэтому из равенств (25) следует соотношение (24) '). ') Если ввести в и-мерном пространстве А-метрику, т. е, под квадратом длины вектора и понимать величину квадратичной форлты А (и, и) = ~Л~ ими!ил, то А (и, и') — «скалярное произведение« векторов и и и' в втой метрике. Поэтому равенство (3) выражает собой следующее свойство амплитудных векторов: амплиюудныс лскл«оры, соожлсастлующис рааличнмм корням векового уравнения, лссгда оржогональны между собой в А-метрике. ') В силу равенств (25) одновременно с равенством А (и, и') =0 имеет место и равенство С(и, и)=0. Я 401 КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТВМЫ 237 Л(окажем теперь, что из симметричности матриц А и С и из иолоакительной определенности матрица А следует, что вековое уравнение (13) [или (19)] имеет толысо веи1ественнае корни.
Действительно, пусть Л вЂ” комплексный корень векового уравнения (Л ф Л) и ему соответствует комплексный вектор и ф О. Тогда Л также корень векового уравнения с амплитудным вектором й, Поскольку Л ч- 'Л, то, по доказанному, А (и, и) = О, что противоречит неравенству (21). Если Л вещественно, то и соответствующий ему амплитудный вектор и ф 0 может быть выбран вещественным.
Тогда, полагая в (23) и=и и замечая, что А(а, и))0, находим Л С(и, а) А(а, а) ' (26) 9=муз!В(мт1+а ) (27) с амплитудным вектором и,, координаты которого иы, ..., и„~ должны удовлетворять системе линейных уравнений л ~ (сы — Ла,ь) иат=О (1=1, ..., и), (23) ь-1 или в матричной записи (С вЂ” Л А)а =О. (29) Так как система дифференциальных уравнений (9) [или (1 6)] линейна, то линейная комбинация с постоянными коэффициентами решений (27) есть снова решение этой системы.
г)о в нашем случае квадратичная форма С(и, и) = „5' сии,иь С А=! также является положительно определенной. Тогда не только А(и, и))0, но и С(а„и)) О. Следовательно, Л) О. Таким обрааом, вековое уравнение (13) имеет и положительных корней Лт которым соответствуют вещественные положительные частоты мт — )/ Лт и вещественные амплитудные векторы ат (г'=1, ..., и). Рассмотрим сначала случай, когда все корни векового уравнения различны. Каждому Лт соответствует частное ре- шение 238 МАЛЫЕ КОЛЕЕАННЯ !ГЛ.
Ч! Поэтому я ту= ~~ С и;г1п(ыу1+а) (му=)/'ту; /=1, ..., Л) (30) у=! прн произвольных постоянных СИ ау (/=1, ..., и) является решением системы (9) нли (16). Мы покажем, что формула (30) охватывает все депо!селии системы. Покажем предварительно, что и амплитудных векторов иу (у =1, ..., Л) линейно независимы ').
11ействительно, пусть ~ с;и;=О. у=! "Тогда при любом фиксированном й (1 =.й:-и) л я ° = ~(,. 1т е;~= ~,А! „д. ! —.- ! у ! Но А(иь, иу)=0 при й;е/ и А(игя иу))0 прн й=/. Поэтому из равенств (31) следует: сь=О (тт=1, ..., и), т. е. между векторами и„..., и„не может быть линейной зависимости. Подберем теперь в формуле (30) значения произвольных постоянных С, ау так, чтобы удовлетворялись произвольные наперед ззданйые начальные условия (31) йт(0)=!у!я тут(О) = !т!я (! =1, ..., Л), (32) или в матричной записи тт(О)- у,, а(О) =ам Из формул (30) находим Суз1пау ид т= ! я ту„= ~Ч ', от,С, соз ау и!.
/= ! (33) (34) ') Дтя частно~о случая, когда А — единичная матрица, вто предложение было доказано в 3 37. е та) КОлввлния консвввлтивной системы 239 В силу линейной независимости векторов и) () = 1, ..., л) отсюда одноаиачно определяются произведения С) Мн и) и ю)С сола) и, следовзтельно, поскольку ю)чЕО, однозначно определяются значения произвольных постоянных С) и а) () =1, ..., л)'). Таким образом, при отсутствии у векового уравнения кратных корней формула (30) охватывает все колебания системы ').
Если же уравнение частот имеет кратные корни, то можно утверждать, что решений вида из!п(«1+а) будет во всяком случае т, где лт — число различных корней )) векового уравнения. Лагранж считал, что в случае кратных частот общее решение системы (9) уже не представляется в форме (30) и что в правой части (30) доянляются так называемые вековые члены вида («+ и'г+ и"1Я+ ...) гйп (ю) + и). Однако Лагранж ошибся. Как доказал позже Вейерштрасс, каждому корню ) р-й кратности соответствует ровно р линейно независимых решений системы линейных уравнений (12), т. е. для каждого корня 1) р-й кратности можно найти р линейно независимых амплитудных векторов.
Таким образом, н в случае кратных частот существует п линейно независимых амплитудных векторов и составленная с их помощью фориула (30) дает общее решение и в этом случзе. Колебания !у=С)и)згп(ю 1+и)) ()=1, ..., п), (Зб) из которых складывается произвольное колебание системы, нззываются главными нолебаниямп системы, Строгий вывод формулы (30) в общем случае (т. е. н при наличии кратных частот) с помощью так назыпаемых ') я, определяются с точностью до слагаемого, кратного 2я. ') Для амплитудных векторов «) выполвяются соотношения л А(«я «л)= ~~'~ яглпбп» =О цф)с у л=! ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
