Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Следовательно '), ю', = пц'и (7) А(!у, ту) Наложим теперь на систему линейную однородную связь а): (~ч, ут >О). Уп,+Уму,+ ... +( у„=о (8) Выражая здесь !у„!у„..., ту„через нормальные координаты с помощью преобразования (1), мы в нормальных координатах снова будем иметь линейную однородную связь я У;0, +г;В,+ ... +У„Е.=О ~~ г,'>О). (8) у=! Связь (8) или (8') будем сокращенно обозначать так: Е.= О, Всегда можно найти такие значения О, и О,, которые вместе с 0з = ... = 0„= О удовлетворяют уравнению связи (8'). Для соответствующего ту, согласно формуле (б), С (ту, у) .т01 + 00а А (!у, юу) зт+ От ') Если мы на числовой оси отложим точки нт, и' ..., нт и ю" а сосредоточим в этих точках массы гл =ат, ю,=з», ..., ю — зт с(й, д) то, согласно формуле (5), величина ~' будет координатой А (!у, !у) центра этих масс.
Отсюда сразу следуют соотношения (6) и (?), поскольку центр масс всегда расположен между крайними массами и совпадает с одной из крайних масс тогда, когда все остальные массы равны нулю. ') Если дана нелинейная связь и положение равновесия удовлетворяет уравнени!о втой связи, то в разложении левой части уравнения связи в степенной ряд 10+!.0 + ". +У 0 + ~Ч~ Утай!ба+...=О !,а=! нет свободного члена. Кроме того, мы предполагаем, что линейные л члены действительно имеются, т.
е. что ~ ут) О. Тогда, отбрасывая !=1 члены второго н более высокого порядков малости, мы представляем уравнение связи в виде (0). экстввмлльныв свойства частот 249 В вз1 Поэтому и') С(ву, ву) с=о ву ву ш(п ' = ю,'. (9) Будем теперь варьировать связь Е=О. Тогда левая часть в неравенстве (9) будет изменяться, оставаясь все время меньшей или равной юв. Но при связи 9, =0 (здесь У,'=1, Ув= ... =У„'=0) отношение ( ' задаетсЯ фоР- С(ву е) А (ву, ву) мулой С(ву, ,ву) "вал+" +"'лал А Оу, ~у> е;+ ...
~- ал и потому (по аналогии с формулами (б) и (7)1 ш1п Сбу Е)— в,=о А(ву ву) Таким образом, среди всех связей вида Е=О величина ;и СОу ч) а=о 4(ву ву) достигает своего наибольшего значения ю,' при связи 9,=0. Следовательно, С(у, и (10) с-о А(ву, ву) Вместо одной связи Е=О можно накладывать на систему несколько связей Е, = О, ..., Ел, — — О. Аналогично тому, как это было сделано в частном случае одной связи, можно показать, что ма=шах ш!и ' (Уз=2, ..., л). (11) с,=оА(ву ву) ໠— — о в) Символ, стоящий в левой части неравенства (9), обозначает С(9, л) минимум отношения ' нри условии, что рассматриваются А (д, ву) только векторы ву р'=О, удовлетворяющие уравнению связи (8). Формулы (7) и (11) выражают экстремальные свойства частот консервативной системы, Эти свойства иногда называются максимпнималаными.
260 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ !ГЛ. Ч1 Вместо формул (7) и (111 легко получить аналогичные формулы: „ С (», д) л — '* А (,у,у) ь — — ппп шах (»' ») (Д=!, ..., и — 1), (!1') ь о '4 (»в д) (7') Наряду с данной системой рассмотрим епте одну консервативную систему с кинетической и потенциальной энергиями л л 1- ° ° 1 %7 - ° . 1 1 2 А(д, д)= 2 Р агл»1»ю 2 С(д, д)= 2 „У, сгьдгдь (12) ха 1 Г,Ь-1 и с главными частотами фг ~ »и ~... ~ фл. Для этой системы (13) )п С(д, ») А(», гу)' фа=шах ппп ' (71=2, ..., л). (16) '~(», д) ьг-о А(», д) ьь- =о Пусть новая сисгиема имеет ббльшуЮ жесткость лрп той же инерции, т. е. при любом д А (гу, д) = А (д, д), С (гу, д) - С(д, д), или меньшую инерцию лри той же жеслляости А(д, д)~А(д, д), С(1у, д)=С(д, д).
В обоих случаях при любом д~ 0 С (», ») С (д, ») А (д, д) Л (», ») ' (16) г) Экстремальные свойства частот были установлены немец- ними математиками В. Фишером (Мопа1зЬе)ге 19г Майк лпд РЬуз., 16 (1905), 234 — 249) и Р. Курантам (Ее!1зсЬг!!! Раг апяечг. Ма1Ь. лпг! МесЬ., 2 (1922), 273 — 28Ь). сь о Экстремальные свойства главных частот, вырамаеыые равенствами (7') и (11'), иногда называют млнимллеимольными'). ЭКСТРВМАЛЬНЫЗ СВОЙСТВА ЧАСТОТ 951 а ст! Но тогда и минимумы и максиминнмумы этих отношений будут связаны между собой таким же неравенством, т. е. нз неравенства (16), в силу формул (7), (11), (14) и (15), следует: шт(йт Ц=1, ..., и).
(17) При этом хотя бы в одном из этих соотношений имеет место знак <, если только не выполняется тождество') С (и, и) С (д, а) (18) '! (йч о) А(й, ю)) Мы пришли к теореме Релея'): При увеличении жсестгсости с!!сте.ны или улсенлшении ее инерции главные частоты увеличиваются л). Выясним, как влияет наложение связей на величины главных частот ю!(ю, -... -ы„консервативной системы. Наложим на систему в независимых линейных связей Пусть полученная хаким образом консервативная система с и — в степенями свободы имеет главные частоты ыч!~ю,* =...,(юл,.
При этом ю'," = ш!и С(, ) (19) (и и) с,=а Сопоставляя формулу (19) с формулами (7) и (11) (при й — 1=в), находим: ои -. ы*,(ю „,. (20) ') дейсгзитеаько, согласно формуле (5), в случае ы = эч (1=1, ..., л) имеет место тождество (18). ') Этл теорема была установлена английским физиком Рслеем в 1873 г. (Р е л е й Дж. В., Теория звука, М., 1955, т, 1, 9 88). ') В первом случае по разности С:(д, и) — С(и, и), а во втором — по разности А (и, и) — А (и, и) можно оценить, насколько увеличиваются главные частоты(см, Г ан т ма к е р Ф.
Р. н К р ей и М, Г, Осцнлляциоккые матрицы и ядра и малые колебакия механических систем, клд. 2, !950, гл, 3, 9 10), 252 сгл. ю МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ Точно так же при любом )с ( п — э юз'=щах пс(п (ч Ч) С Гс о... 2 в А(сУ Ч) (21) Здесь связи Е.,=О, ..., с'.,=О фиксированы, а варьируются связи (.с=О, ..., с',А с — — О. Сопоставляя равенства (21) с равенствами (11) и с формулой ЮА-).г=тнак ППП С(су, й) ьс=о А (су, 6)' и которой варьируются все з+Ь вЂ” 1 связей, будем иметь мл~юл~юз«» (3=1 "° "— з). (22) 1. В качестве мтриложения последнего предложения можно показатсч что корни Л, ( Л ( ... ( Л„векового уравнения а (Л) ьи деС (сы — Лась)с» ь с —— 0 разделяются корнями Л» ~ ...
( Л» уравнения Ьс (Л) = — с(ес(с;ь — Лось)с" ь ' с — — О '), т. е. (23) Действительно, уравнение й,(Л)=0 является вековым уравнением для консервативной системы, получающейся из исходной наложением одной связи с)»=0. Поэтому, полагая Ль= ма«(а=1, ..., и), Л»=нет (С =1, ..., и — 1), мы сразу из неравенств (22) получаем с l неравенства (23) при з=1. ') Ь,(Л) — главный минор (и — 1)-го порядка в определителе а(Л). Ийогда говорят, что неравенства (23) выражают «теорему разделения» для корней векового уравнения.
Неравенства (23) могут быть использовгны для нахожления нижних и верхних гранин корней векового уравеення (см., например, В з ба коз И. М,, Теория колебаний, Госгехиздаг, 1908, сгр. 100 †1). Формулы (22) показывают, что при наложении з независимых связей каждая ссз первых и — з глазных частот улеличизается, не превосходя при этом старую глазную частоту, номер яоспорой на з единиц больше номера данной частоты. 253 % 441 мАлые кОлеБАния упРуГиХ систем 2. Укажем еще на одно любопытное применение предложения об изменегии частот прн наложении связей. Известно, что наличие трещины а стакане определяют, постукивая о стакан пальцами. Это связано с тем, что у стакана без трещины по сравнению со стаканом с трещиной имеются дополнительные связи между его частями.
Поэтому у стакана без трещины частоты колебаний должны быть более высокими. ф 44. Малые колебания упругих систем Рв= — ~', труа (1=1, ..., л). а ! (2) В качестве важного примера малых колебаний консервативной системы рассмотрим и масс гло ю„.,., жю сосредоточенных в и точках (1), (2), ..., (и) упругой системы 5 (струны, стержня, мембраны, пластины и т, д.), имеющей конечные размеры и какимлнбо образом закрепленной на краях. Будем предполагать, что перемещения (прогибы) уо ум,.., уа точек (1), (2), ..., (и) системы 8 и действующие на массы ж„ жм ..., ж„силы ЄЄ..., Ря параллеаьны одному и тому же направлению и по- Г, Г! тому определяются своими алгебраическими величина- ~ ул Ул ми (рис.
50). Прогибы уо у, ..., у„можно рассматривать как независимыс ноординаты системы, а силы Р„ Р„......, Є— как соответствующие обобщенные силы, так как злементарная работа этих сил равна л ~ Р! пу!. ! ! При исследовании свободных колебаний мы в качестве сил Рп Р,, ..., Р„берем упругие силы Р*, ..., Рж действующие на массы то ж„..., ж со стороны упругой системы 5 при наличии прогибов у„у„..., ую Рассматриваемая система и материальных точек, находящихся под воздействием упругих сил, является консервативной и имеет определенную потенциальную энергию П (уо у„..., у„).
Разлагая функпию П (у„у„..., у„) в степенной ряд и сохрайяя в этом ряду только квадратичные члены (см. $ 40), получаем для П выражение л 1 %4 и= — у с!Ау!уз (сгл — — сат, 1, а=1, ", и). ла=! дП Тогда для упругих сил Р"= — — (1=1, ..., и) находим ду; МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1ГЛ. Ч! ет, — ть с„ фń— тэл Еэл Стл =О (1 =аз) (5) сл, елз °" слл тл~ и алгебраическим уравнениям для определения амплитуд л ~ (етй — Хм!в!А)из=О (г=1, ..., и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
