Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 41
Текст из файла (страница 41)
с., тье вйтвпсей рвгг о! а тгеа1не оп 1ье йупвю]ев о! а вув1еп) о1 п9]й Ьой]ев, 5]Ь ей., 1392, 5 99. 278 систвмы с циклическими коотдинлтлми !гл. чп Кроме того, введем обозначение и) Т = — т а(1()1()р 1 ъ) (14) 1,»=1 Тогда, согласно равенству (12), функция — Я, которзя для позиционных координат играет роль функции Лагранжа, равна (15) Тл — У, где У вЂ” обобщенный потенциал, определяемый равенством л)( л а= — Ц( Х ).г.) а(, и'((.
и а.) иа) 1 ! =л)+1 Рассмотрим теперь какое-либо движение исходной системы. В этом движении р„=сопя(=с„(а=т+ 1, ..., и), (17) и изменение позиционных координат (»1=91(г) (1=1, ..., т) может быть определено из дифференциальных уравнений (8) на стр. 95, в которых всюду р„следует заменить на с„(а= =т+1, ..., и). Но эти уравнения являются уравнениями Лагранжа (с функцией Лагранжа — »с= Т* — У) для некоторой вспомогательной натуральной склерономной системы с т степенями свободы, имеющей кинетическую энергию т = 2 ~ а(»()1»» и обобщенный силовой потенцизл 1,»= — 1 и) л — и;.)а,-~-и'(), („..) и.: ....
и 1=1 а )л+ ! энергией этой системы является потенциал Рауса Пл (1, д1, с„). Иэ формул (11) — (13) следует, что Т+П= Т*+П*. (18) Полученную вспомогательную систему будем называть приведенной системой. Таким образом, изменение поэ)гцвоннык координат (уг, „(1„, определяет движение приведенной слете.иы (с лг степенями свободы) с кинетической энергией Т* и обобиленным потенциалом У= У!+Па) где Пл — потенциал а 48! пвиввдвинля снствмл. потвнцилл ялгсл 279 Рауса.
При соответсгпвуюцих двил!гениях исходной и приведенной системы полные энергии этих систем равны лгеэюду собой. Когда функции д!=д!(1) (1=1, ..., т), определяюшие движение приведенной системы, найдены, то изменение со временем циклических координат!у„= — !у„(1) (а=т+1,..., п) может быть определено из формул (9) на стр. 95, которые сейчас могут быть написаны так: «.= ! [ « "— ' — ~1.,!ы«)«~ь«О«! Г)дП«(г, вь с„) /= ! (а=т+ 1, ..., и). Рассмотрим частный случай, когда выражение кинетической энергии исходной системы (1) не содержит произведений позиционных скоростей 1)! на циклические скорости !)., т. е.
случай, когда все а,,=О (г=1, ..., гп; а=!и+1..., п). В этом случае кинетическая энергия Т распадается на две квадратичные формы, из которых одна содержит только позиционные скорости !)г, а вторая — только циклические скорости !)е Такая система называется гироснопичесни несвязанной. Для гироскопически несвязанной системы, согласно формулам (5), все Тн = 0 и, следовательно, Ъ; = 0 н Р =Пч. Таким образом, если исходная система является гиросиопичесии несвязанной, то приведенная система имеет обычный потенциал П*').
Кроме того, из равенств (10) следует, что для гироскопически несвяззнной системы а," =а! (1,1=1, ..., т), т. е. 1 ъ~ Т" = —, г а! !)ф. (20) !д=! В этом случае исходная система имеет кинетическую энергию Т= — лг а «)!)т ' — г Ь сс !у ! ! 2 «1 а«а „=! «,а=л«+1 ') Нл приведенную сне~ему действуют потенциальные силы дП* — — н гироскопические силы,' определяемые потенциалом 1'ь дй, В случае гироскопически несвязанной системы )г = 0 и !ироскопн.
чсские силы отсу!оглу!от, 280 систвмы с циклическими кооядннхтлмн 1гл. чп и потенциальную П=П(г„й!), а приведенная — кинетическую энергию Тп = — ~ а!рЩ и потенциальную 2 !й е+! П*=П(Ь, а.)+ — ~,~~~ Ь„с с. пд=м+! Мы видим, что часпть кинетической энергии исходной А й сисптемы р т Ь„,с„г, переисла э потенциальную ма м+! энергию приведенной сиспгеиы.
Все Сказанное о склерономных системах справедливо, дП в частности, для консервативных систем, у которых — =О, дг т. е. П=П(п!). Приведенная система для гироскопически несвязанной консервативной системы будет снова консервативной. Пусть теперь дана произвольная консервативная система с гк степенями свободы, с кинетической энергией Та= — хт аы (!Т„ .... и ))!й и потенциальной энергией '1/ ! Пч = П*(д,).
Рассмотрим консервзтивную систему, у которой число степеней свободы равно гп+1 и которая имеет п! позиционных координат д„..., й и одну циклическую координату ден!. Пусть у новой системы П = О, а кинетическая энергия имеет вид Т вЂ” Т*+ —, о~» ! (Уг — сопя!). 1 А 2 п*(чй Тогда а П() Т Те+ 2й П (Ч!)РФ +! 1 Но тогда при р „,=с +,— — )/2А ,. Пп(Ч,)р;.» „=П-(!)!). О «а! пвиввдвннля снствмл.
потвнцилл Рлусл 281 Таким образом, у данной консервативной системы кинетическая и потенциальная энергии Ть и П" = П*(д;), а у новой «расширенной» системы Т= Та+ П»(»у,) и П=О. Потенциальная энергггя данной системы получилась эа счегп кинетической энергии «расширенной» системы, имеющей большее число степеней свободы. Пвижения, при которых изменяются только циклические (скрытые) координаты, иногда назывзются скрытыми движениями ').
Выше мы видели, что потенциальная энергия консервативной системы всегда может быть рассматриваема как кпнегпическая энергия скрытых движений. Эта концепция о кинетическом происхождении потенциальной энергии и, следователыю, о кинетическом происхождении сил, приложенных к телам, осуществляющим явные (нескрытые) движения, была широко развита Герцем в его «Принципах механики» (1894 г.)'). П р и и е р. Рассмотрим движение твердого тела с закрепленной точкой 0 в случае Лагранжа, когда на тело э действует сила веса Мя, существует ось динамической нэл симметрии и центр тяжести Р расположен на этой осн.
Положение тела будем задавать с помощью трех углов Эйлера О, ~, ч, где угол нутании Π— угоа между вертикальной осью 0г и осью динамической симметрии 05 (рис. 56), ф — угол прецессии, а Ч вЂ” угол чисгого вращения. Пусть (=ОР, а А н С вЂ” экваториальный и аксиальный моменты инерции соответ- 9 ственно. Тогда Рис. 56. 2Т=А(р»+»)»)+Се», П=Мй! сов з, где р, д, г — проекции угловой скорости ы на гтавные осн инерции 05, 0»), О«. Но Р»+9'=О'+Ф' зж'О, г=ч-)-б сшз, Поэтому окончательно 2Т=А(О»+ф» нп'О)+С(у+ф соаО)', П =Ми(соаз, (21) ') Ярким примером проявления скрытых движений являются системы, содержащие внутри себя гироскопы. За счет «скрытых» движений гироскопов движение таких сне»ем резко отличается от движения систем без гироскопов.
') Герц Г., Принципы механики, изложенные в новой связи, М., 1959; см. также Т 5 о щ а оп %. апб Та ! ! Р., Тгеа!Ые оп натяга! р(61оворйу, Раг! 1, 8 И 9 и А. В е б с т е р, Механика материальных точен, твердых, упругих н жидких тел, М., 1933, гл. Ч. 282 систнмы с цикличнскими коовдиилтами (гл. чп Найдем выражения для обобщенных импульсов р, ря соответствующих циклическим координатам т, ф: рф — (А а!п' В + С соэ' О) ф+ С соз В ф, р = С соэ 0 ф + Сф. (22) Разрешив эти соотношения относительно ф и ф, получим ра — сов 0р ф= —— А яп'В (23) — С сов зрэ+(Аз!и'6+ С сов'6)р АС э! и' В Коэффициенты прн рэ и р в правых частях равенств (23) И представляют собой величины Ьви Вырзжение для кинетической внергии в переменных Рауса В, 6, р, р получаем, подставляя выражения (23) аля ф н ф в выражение (21) для 2Т или сразу по формуле (1!) '): Срфа — 2С соэ 0 рфрт + (А яп" 0 + С соаэ 0) р АС яп' 0 При движении системы импульсы ре и р сохраняют постоянные значении Рь и Рэ (25) Нутационное движение определяется приведенной сне~смой, для которой Тв = — АВ', Пв = Мд) соэ В + ., + —, (20) '(о — Ь сов О)' Ь' — АВ'+Мй(сов 0+ — —., =сопл!=6.
1 (а — Ь соэ В)' 2 А яп'В (27) Введем вспомогательную переменную и=совВ. Умножая обе 2, 2 части равенства (27) на — (1 — и') = — а1п' В находим А А — = у'(и), )= (28) ') В данном случае твердое тело представляет собой гироскопически несвязанную систему. В этом случае в формуле (1!) ац =-лт1 (1,у =!, „., гп). Изменение угла нутации 0 = 0(1) находится из соответствующего интеграла энергии паивидиннля систкмл. потвнцилл нлтсл 288 з <з1 тле У(и) — многочлен третьей степени оп<оснтельно и: а(и)= — (Ь вЂ” Мй!и)(1 — и*) — — (а — Ьи)'. (29) А А" Полагая в этом выражении и= +.1 и и=и,=соз0,<1, находим' ) у( — !)<О, у(и,)=( —;1 =-О, у(+ !) <О. Тогда многочлен у(и) имеет три вещественных корня и, = соя Ьн и,=соей, и и'.
— 1 < и, < и, < 1 < и', и [поскольку у(+со)=+со[ график многочлена у(и) имеет такой вид, как показано на рис. 57. Ва В В Рнс. 58. Рис. 57. Так как при движении тела — 1<и=ссай<+! ну(и)~ г <(и<< = ~ — ) св О, то величина и = соз 0 должна изменяться з интер=[ба)— вале и, < и < и„т, е, 0, ~ 0 ) О,. Угловая скорость прецессии определяется из первой формулы (23): а — Ь соя 0 А з1п' 0 (80) а Если отношение — находится вне интервала и,<и<и„то скорость прецессии ф сохраняет постоянный знак и прецессионное движение происходит все время в одном направлении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
