Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 43
Текст из файла (страница 43)
'(г=1, ..., т; а=ш ' 1, ..., и) — отклонения возмущенного движения (от данного стационарного движения). Функция (11) имеет строгий минимум (равный нулю) при (г = О, ф, = О, т), = О (г = 1,..., ию; а = лт + 1, ..., и). Приведенный здесь критерий устойчивости стационарного движения в несколько иной форме был установлен Раусом в 1884 г. П р н м е р. Определить устойчивые стационарные движения неоднородного весомого шара на гладкой горизонтальной плоскости, если центр тяжести шара О отстоит от геометрического центра 0 г Рис.
61. на расстоянии гт, масса шара равна М, момент инерции относительно оси ОЛ равен С, а два других главных центральных момента инерции равны между собой, А =8 (рис. 61) '). В качестве независимых координат возьмем две горизонтальные кооРдинаты центРа тЯжести хш Уп и тРи Угла ЭйлеРа В ф, 8. ПРи этом угол е является углом лчистого вращеннял вокруг оси динамической симметрии 01, проходящей через точки О и 0; направление осн 01 совпадает с направлением вектора ОО. Напишем ') Рассматриваемое в этой задаче твердое тело представляет собой физический маятник, у которого ось подвеса является осью динамической симметрии, а точка опоры О может свободно скользить (без трения) вдоль горизонтальной плоскости. Устойчивость стационарных движвний 291 выражения для кинетической и потенциальной энергии: 2Т= А (ра+ 6 ) + Сга+ М(Х~+уоэ+0$), П =Миагг Здесь р, 6, г — проекции угловой скорости я на центральные оси инерции.
Но р + у =0 +фаин В, г=т+фсозВ, ао — — — дсоаб. Поэтому 2Т=(А+Мсра1п'6)б'+Аф'э1п В+Се'+М(х~ +уо), П = — Мдд соа В. Координаты хо, ур, т и ф являютсз циклическими. Во время движения соответствующие импульсы сохраняют постоянные значения, а именно: Ра™о =Ю Рт=МВп=р, Р,=Сг=т, (12) рб — — Афяп'В+Сгсозб=а.
Кроме того, Рэ = (А + Мда яп' О) В. Напишем выражение для функции Гамильтона в переменных Ря — Ю Ру — В~ РЯ Рт Ъ Рб 2 (А + Мда жпа В) + 2А ( яп В э+ ат .в <- = аб — ~- ~- и, а 1| где П* = — ~ . ~ — МК сг сов 6+ — (!4) ) г 6 т осе В т' аз+ба 2А ~ з1п0 2М вЂ” потенциал Рауса '). Условия существования стационарного движения (о) здесь имеют вид диа — =о, р,=о. дб г) Мы исключаем из рассмотренна особые значения 6 В И 0 =я.
Поэтому а!П0 фо, 292 систвмы с цикдичискими кооэдинатлми !гл. чп Условие устойчивости — наличие строгого экстремума функции Ут при ра=О и некотором искомом значении  — булет выполнено, если при этом значении В функция П* имеет строгий минимум. Для нахождения этого значения В = В, положим и = соя В н 1(и) = АП* = 2 а — Ки+ сопл! (К= АМни).
1 ( — ти)' Найдем: 1'(и) тз +(т +В)и т" К, а+ за 1" (и) = т,, (1 — зри + зи' — циа), где ') 2тз а а т+В Допустим, что уравнение 1 (и) = О имеет корень и такой, что )и! (1. Этому значению |и) =соэВ и соответствует стационарное движение шара, при котором центр шара перемещается равномерно и прямолинейно, а углы Ч и ф изменяются по линейному ззкону.
Для выяснения устойчивости стационарного движения докажем нредварнтельно, что у"'(и) ) О при ( и ! ц 1. Действительно, асан бы 1" (и)=0 прн ~ и|(1„то нз выражения для 1" (и) вытекало бы, !+Вил что р =,, ° Отсюда легко усмотреть, что 1р ~ ) 1 при ! и ! ( 1, что невозможно, поскольку н =,, Следовательно, 1" (и) ж'=0 2тз т' + В' при ) и! с1, т. е. 1" (и) сохраняет знак в интервале ( — 1, +1), Но 1" (О)=т'+Вяз.О. Следовательно,1" (и) )0 при ) и|(1.
Поскольку А — = 1" (и) э!и'  — 1.(и) соа В = 1" (и) мц' В ) О, амПэ иа" то при рассматриваемом значении В функция П" имеет строгий минимум, т. е. соответствующее стационарное движение устойчиво. Условие существовайня стационарного движения 1' (и) = 0 ыожно преобразовать, положив В = ти+ Аф(1 — и'). ') т'+ Вт ) О, так как при т = В=О функция и" = — мя и сов э имеет строгий минимум при В=О. тотойчнвость стлннонлйных двнжиннй 293 О 401 Если зател! в полученное равенство подставить Т = Сг =С(0+фсовв), то это условие принимает окончательный вид С рф + (С вЂ” А) фа соэ 0 + Ми с! = О.
(15) Это хорошо известное условие существования регулярной прецессии под воздействием внешнего момента Ми «юп 0 (момент вертикальной реакции !ч'=Мй относительно полюса Р). рассмотрим отдельно три случая. 1'. Если ~МЕ «+ Счф ~ ) ) А — С ! фэ, то условие (!0) ие выполняется ни при одном вещественном значении 0 н не существует стационарного движения с такими угловыми скоростями. 2'. Если !МАЙ«+Саф| с!А — С(ф' и величины Мл«+Свф и А — С имеют одинаковые знаки, то прн таких угловых скоростях существует стационарное движение с соз 0) О, 3'. Если же (МЕ«+Счф! с)А — С!фвв, а величины Ми«+ + Суф и А — С имеют разные знаки, то при стационарном движении сов 0(0.
В этом случае существует устойчивое стациокирное движение такое, при котором центр тяжести расположен выше геометрического центра шари Рассмотрим теперь особые случаи. а) Ос=О. Тогда из формул (12) следует, что у=О. Поэтому У" (и) = — — К, (1+ и)' А~ ) =У" (и)( — юпв,)=0, с «'П А ( —,) =У" (и) ( — о 0,) =, + К) О. «О' г!в о ' (1+ив)' Стационарное движение всегда устойчиво.
б) О, = в. Иэ формул (12) находим: т = — Ь. Поэтому К, Е(и) = (1 — и)' /«Пв ! А ! — ~ = У" (и) ( — вш О,) = О, ~ «О ~в=.= с «'П" 1 тс .в А~ —,— ) =К(и)( — совО,)= т, — К= "- — К. '! «О' )в=. ' (! — и,)' 4 294 системы с циклическими коондинлтями 1гл. чп Стационарное движение .
будет устойчивым при выполнении условия тз 4 — ~К которое в подробной записи выглядит так: Слг' ) 4 АМ и я. <1б1 Если неравенство (16) имеет место, то, хотя в рассматриваемом случае центр тяжести расположен над геометрическим центром шара, вращение вокруг вертикальной оси будет устойчивым стационарным движением. ЛИТЕРАТУРА А п и е л ь П., Теоретическая механнкз, т.
! и П, перев. с франц„ Физматгнз, !960. Ба бак ов И. М., Теория колебаний, Гостехиздат, 1958. Булгаков Б. В., Колебания, Гостехнздат, 1954. Взлле Пуссен Ш. Ж., Лекции по теоретической механике, перев. с франц., Издатинлит, т. 1, 1948; т. П, 1949. Вариационные принципы, сборник статей под ред.
Л. С. П о лака, Физматгиз, 1959. Г а н ты а хе р Ф, Р,, К рейн М. Г., Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем, изд. 2-е, Гостехиздат, 1950. Гол дс тейп Г., Классическан механика, перев. с англ., Гостехиздат, 1957, Вигель К. М., Лекции по небесной механике, перев. с нем., Издатинлит, 1959. Зоммерфельд А., Механика, перев.
с нем., Излатинлит, 1947, К арта н Э., Интегральные инварианты, перев. с франц., Гостехиздат, 1940. Л а г р а н ж Ж. Л., Аналитическая механика, т. 1, П, перев. с франц., Гостехиздат, 1950. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика, Физматгиз, 1958. Л а н ц о ш К., Вариационные принципы механики, перев. с англ., изд-во «Мнр», 1965. Ла -Салль Ж., Лефшец С,, Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова, перев. с англ„изл-во «Мир», 1964, Лойцян скип Л. Г., Лурье А. И., Теоретическая механика, ч. !П, ОНТИ, 1934. Ляпунов А. М,, Общая задача об устойчивости движения, Гостехиздат, 1950, Мак-Мил лап В, Д., Динамика твердого тела, перев.
с англ., Издвтинлит, 1951. М а л к и н И. Г., Теория устойчивости движения, Гостехиэдат, ! 952. М е р к н н Д, р., Гироскопические системы, Гостехиздат, 1956, Розе Н. В., Лекции по аналитической механике, ч. 1, Изд. ЛГУ, 1938. дитВРЛТУРА С и н г Л ж. Л., Классическая динамика, перев, с аята., Фиэматгиз, 1963, Суслов Г. К., Основы аналитической механики, изд. 2-е, Киев, 1911.— 1912; изд, 3, переработанное Н.
Н. Бухгольцем и Гь К. Гольцманом под названием: Теоретическая меха- нина, Гостехиздат, 1944. Унт те ке р Е. Т., Аналитическая динамика, перев. с англ., ОНТИ, 1937. Чета ев Н. Г., Устойчивость движения, изд. З-е, изд-во «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, !965. Якоби К., Лекции по динамике, перев. с нем., ГОНТИ, 1936. Согбен Н. С., $!еЬ1е РЬ., С1ааэ!са! гпесйапгсэ, 'тт'!1еу, Ыецг Уогйб! СЬарпгап, 1.опбоп, 1950. Яоц1Ь Е. Т., ТЬе абтапсеб раг! о! а Тгеа!!эе оп ЬЬе бупав!сэ о! а ауа1егн о! г!3!б Ьоб!еэ, иэд, б-е, Ьопбоп Масгп!11ап, !905.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
