Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 42
Текст из файла (страница 42)
В этом случае след, оставленный осью Оь на неподвижной сфере с центром в О, описывает кривую, изображенную на рнс, 58, <) Мы здесь предполагаем, что а о'=~= Ь. Особые случаи а = ~ Ь будут рассмотрены ниже. Кроме того, начзльное значение зр вы<'пи < бираем так, чтобы 0<~0 н, следовательно, ~ — ~ фО. ~ т~з 284 системы с циклическими коовдииатлми (гл. чтт а Если же и, ~ — Си„то скорость прецессии меняет знак при Ь а совая= — и след динамической оси описывает на сфере кривую, Ь показанную на рис. 59.
Если — = и„ то скорость прецессии ф не меняет знака, но ! Ь обращается в пуль на верхней параллели 6=0, (рис. 60) '). У-Уг 0-Вг 'Рнс. 60. Рис. 59. Аналитически изменение угла нутации определяется из формул а'и + ~ = т+ сонат, В = агс сов и. )г у(п) (31) Здесь знак с+а берется при изменении 6 от значения В, до значения 6, и знак е — а — при изменении 6 в обратном направлении. Очевидно, изменение угла 6 во времени будет периодической функпней 6(т) с периодом (32) После того как изменение угла нутапии 6=0(т) найдено, изменения углов ф и т определяются по формулам (23). рассмотрим теперь движение твердого тела, проходящее через еособое» положение 0 =О.
В этой точке кинетическая энергия задается вырожденной квадратичной формой (см. выражение (21) рн В=О) 2Т=АВа+ С(ф+ е)'. (33) ') Можно доказать, что ф не может обращаться в нуаь на нижней параллели. 6 49! тстойчивость стлционлвных движений 285 Согласно формулам (22) в особой точке 0=0 должно яметь место равенство ра =р, т. е. а = Ь. (34) Предполагая, что произвольные постоянные а и Ь связаны соотношением (34), мы легко раскрываем неопределенность в выражении (26) для потенциала Рауса '); и =М31~~6+д- + а' 1 — созе Л 1+ созе После этого нутзцнонное движение снова определяется из интеграла энергии Уж + 11а = сопят. Если движение проходит через гособое» положение 6 = я, то вместо (34) имеем соотношение и выражение для потенциала Рауса принимает вид В з = М 41 сге 0 +— а' !+сиз А 1 — сова В рассмотренных двух «особыхэ случаях верхняя или соответственно нижняя параллель на рис.
53 — 60 вырождается в точку. й 49. Устойчивость стационарных движении Рассмотрим консервативную систему, положение которой задается при помощи лз позиционных координат д; и и — ла циклических координат у„(1=1, ..., т; а= па+1, ..., и). Движение такой системы определяется каноническими уравнениями: дсг дН дРг дН (1) где полная энергия системы Н=Н(дн рн р„) имеет вид 1 %~ Н= — у с„(до ..., г)„)р,р,+П(г)ь ..„~у„), (2) г, г=л ') В выражении д:ш 11з мы отбрасываем постоянное слагзеЬа мое —. В ' 286 системы с цикличнскими кООРдинАтАми 1гл. чп причем квадратичная форма, стоящая в правой части этого равенства, является положительно определенной' ).
При движении системы функция Н и обобщенные импульсы р„(а= =т+1, ..., л) не изменяют своих значений, т. е. этн величины являются интегралами движения: Н(Чн рн М= Н(Ч~, рг, р.'), ~ р„= р„" (л = ш + 1, ..., и). ) Движение системы называется стационарным, если при этом движении все позиционные координаты сохраняют постоянные значения д;=сопз1=ф (1=1, ..., т). При стационарном движении все позиционные скорости равны нулю и потому, согласно уравнениям (1) и равенству (2), фг —— Я ел()г)рл+ ~', с.
(ф)р„'=О (1=1 нг) (4) Из этих соотношений следует'), что при стационарном движении имеют постоянные величины и все позиционные импульсы р,=сопя(=рь Поскольку Ф~ —— р;= О (1=1,...,т), то из уравнений (1) вытекает,что при стационарном движении дН дН вЂ” =О, — =О (1=1, ..., и). (5) О~,= др,= Уравнения (б) представляют собой необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять начальные значения уь р), р„' (1= 1, ..., лц а = ш + 1, ..., л) для того, чтобы движение, определяемое этими начальными данными, было стационарным. ') Эта квадратичная форма представляет собой кинетическую знергню системы, выраженную через обобщенные импульсы.
') Соотношения (4) могут быть разрешены относительно позиционных импульсов рл, так как определитель Йе1(сгл(4')~ отличен от нуля, поскольку квадратичная форма ~', г„Р,Р* О в=1 является положительно определенной. гстойчивость стационланых движвний 287 а 49! Заметим еше, что при стационарном движении имеют постоянные величины и циклические скорости ф„ (а = = т + 1, ..., и), так как в соответствии с (1) = — = р с (дь)р =сопз1 (а=т-; 1, ..., и).
(6) ду) %! О ! др е 5=1 Поэтому Ч,=Ч,'(1 — 10)+д', (а=!и-1-1, ..., и). (7) Начальные циклические координаты д„" являются произвольными постоянными и в условия (о) не входят. Таким образом, прп стационарном движении позиционные координаты сохраняют постоянные значения, а циклические координаты изменяются по линейному закону. П р и и е р. Регулярная прецеееия тяжелого симметричного гироскопа представляет собой стационарное движение. Действительно, регулярная прецессия характеризуется равенствами а = сопг1 = З„ф = сапы, Ч = сопа1, где угол прецессии ф и угол чистого вращения у в цикаичесаие координаты, а угол нутации 0 — угол, ооразоваиный осью гироскопа с вертикалью, — позиционная координата ').
Заметим, что согласно соотношениям (6) небольшов изменение начальных величин ф), р,", р'„ дает небольшое изменение начальных циклических скоростей е)„'(а = т + 1,..., и). Однако небольшое изменение величин !7„', согласно формулам (7), дает с течением времени сколь угодно большое изменение сзмих циклических координат. Поэтому по отношению к циклаческим координатам стационарное движение не может быть устойчивым. В дальнейшем под устойчивостью стационарного движения мы будем понимать устойчивость по отношению ко всем ') Из формулы (21) предыдущего параграфа видно, что координаты Э и ф не входят явно в выражения для кинетической и потенциальной энергий. 288 систзмы с циклическими кооьдинлтлми !гл.
чп импульсам р, и р„и позиционным координатам д! (1= 1, ...,т; а=!и +1,..., и)'). Тогда имеет место следующий критерий устойчивости стационарных движений. Движение с начальными данными дг, р!, р„'(1= 1, ..., т; а=т+1, ..., п) будет устойчивым стационарным движением, если функция Щд!, р!, р.") в т'очке у! = !)г, р; =р," (1=1, ..., т) имеет строгий экстремум.
Действительно, рассматриваемое движение будет стационарным, поскольку из существования экстремума функции Н(г1!, р!, р„') следует, что величины !)!, р! (1=1, ..., п!) совместно с величинами р'„(и= т+ 1, ..., и) удовлетворяют уравнениям (5). Введем отклонения т с! =!)! — !)! т1! =Р! — Р! ть=р — Ра Тогда, испольвуя интеграл движения Н(!)! +4, рь+ць р„') в качестве функции Ляпунова, можно сделать заключение (см. стр. 209) об устоичивости нулевого решения 2!=О, т)!=О (т, е. устойчивости стационарно~о движения) в предположении, что циклические импульсы р, не испытывают возмущения (т. е.
что- эти величины для возмущенного движения имеют те же знзчения р„', что и для невозмущенного')). Однако сформулированный выше критериИ устойчивости сохраняет свою силу и в общем случае, когдз для возмущенного движения величины т)„=р,— р„"(а=!и+1, ..., л) могут быть отличными от нуля').
Для того чтобы убедиться в этом, достаточно использовать следствие из теоремы Ляпунова (стр. 209), взяв в качестве функции Ляпунова функцию л М(Ч! + (о Р! + т1ъ Ра) ххг(Ч! Р! Ра)) +,У! 8 (8) а=!л+! Эта функция является интегралом движения и имеет при (! =О, т1,=0„т)„.=0 (1=1, ..., т; а=т+1, ..., п) строгий минимум, равный нулю. ') Или, что то же, устойчивость относительно величин Чь д! Р (!=1,..., т; ч=п!+1... и), '1 именно такого Рода усгоачйвост!, рассматривал Раус.
ь) П от ар и пх в и Г. К„Прикладная математика и механика, т. 22, вып, 2, !958. Установим аналогию между устойчивостью состояния равновесия и устойчивостью стационарного движения. Для этого рассмотрим приведенную систему с т независимыми координатами йн ..., т и с потенциальной энеРгией, Равной потенциалу Реуса: л П'(Ь Р ) =П(Ф)+ 2 ~ Ь„а(рг) Р«рв (9) и, в ~в+! (см. предыдущий параграф). На приведенную систему помимо дП" потенциальных сил — — (1=1,..., т) действуют еще гидвг роскопические силы. Так как стационарному движению исходной системы у;=ц[, р,=р„' (1=1, ..., т; а=т+1,..., и) соответствует положение равновесия приведенной системы, то величины ф, р.' должны удовлетворять уравнениям дп (д. р) д дв; (1О) Это необходимые и достаточные условия существования стационарного движения. Они, очевидно, эквивалентны условиям (б) и получаются из последних исключением величин р; (1=1, ..., т).
Применяя теорему Лагранжа к положению РавновесиЯ 1гг =91 пРиведенной системы, полУчаем критериИ устойчивости стационарного движения в следующей форме. Двиогсенпе с начальными даннымп ог, д,' = О, р,', (1=1,..., т; а=т+1,..., л) будет устойчивым стационарным движением, если потенциал Рауса П*(уьр,') имеет строгий минимум при 9;=о'; (1=1„, т). Применяя теорему Лагранжа к приведенной системе, мы фиксировали постоянные значения циклических импульсов р„=р,' (и=т+1, ..., и).
Однако критерий сохраняет свою силу и при варьировании импульсов р„". Для того чтобы установить это, достаточно в качестве функции Ляпунова взять интеграл движения л [Ее(9)+со Чо р„") — Е" О)[, О, р„')['+ ~', ц'„(11) е 3й+1 где Е* = Т*+ Пе — полная энергия приведенной системы [она СОВПаДаЕт С пОлной энергиЕй иехаднай СИСтсмы, выраженной а 491 гстойчнвость стлцнонагных движений 289 290 систвмы с циклическими кооединлтлми 1гл. чн в переменных Рауса бг, (гг, р„ (см. $ 48)), а 18 =рг — ф, т)„=р„— р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
