Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Итт„(т гг) На рис. оЗ изображена амплитудно-фазовая характеристика (Тлт» ()Я) (О ( Я ( со). Если для данного Я соответствуюп!ее Йт»(Я) очень мало, то амплитуда отклика весьма мала по сравнению с амплитудой «возбуждения» Аз1п Я1 ') Так как Ф'т» (49) и Клт» ( — »9) — комплексно сопряженные числа, то )ет» ( — 0) —.)ет»(П) и ш,е( — П) = — Ф',» (н). 9 Ф. Р, Гантмахер 270 мллыв колавлння 1гл. ч~ Яг (1) = 'У', А„в1п (тЯ1+ р ).
и=-л (14) Складывая отклики на отдельные гармоники этого ряда, получаем дл ~Ч ', Ягл(тЯ) Ам а1п 1тЯг -г- р,„+ гула(лаЯ)1 (16) и о (7е 1, ..., и). Пусть теперь Я,(г) — произвольная непериодическая функция у (1) от 1, которую можно представить в виде интеграла Фурье' ) +ал + со ,7(1)= — ~ е г(Я ~ УЯе г(й (16) Полагая +со Р (Я) = $ У(И) е 'нег(г, (17) будем иметь +ел ьгг=,К(г)= 2 ~ Р(Я)еюг~)Я. (1 8) ') См., например, Ф н х г е н г о л ь н Г, Мн Основы математического анализа, М., 1956, т. 2, гл.
24, 4 3, данной частоты Я. Наоборот, если при данном Я соответствующее Я1л(Я) очень велико, то амплитуда отклика велика по сравнению с амплитудой обобщенной силы Яг. Таким образом, подбирая систему с надлежащими амплитудными характеристиками, мы можем ~асить колебания на одних диапазонах частот и увеличивать амплитуды этих колебаний на других частотах. Это и есть принцип устройства фильтров. Так как %'(1Я) — правильная дробно-рациональная функция и потому В'(1Я)-е О при Я вЂ” ьоо, то любая система практически пропускает только конечный диапазон частот. Пусть теперь Яг(г) — произвольная периодическая функция, задаваемая рядом Фурье Влияние силы, зависящей от ВРемени 271 з 47! Функция Р (Я) называется момллемсмым спектром функции 0,=У(0.
Воздействие — Р (Я) йЯ е вызовет отклик — 1АР1 (!Я) Р (Я) Ж2 е' Позтому, основываясь на принципе линейной суперпознции откликов, найдем: + ОЭ <У — — — ~ 1Р'1А (!Я) Р(Я) е' йЯ (19) (/а=1, ..., Л), Р(Я) %;, (!Я) = 0(Я) +!Н(Я), (20) согласно формуле (19) будем иметь +о» р» — — $ ! 0(Я) + !Н(Я)) ( соз Я! -г. ! з!и Я!] Я2 1 = — „~ (0(Я) соз Я! — Н(Я) з!и Ят! а!Я+ + 2 — - ~ !0(Я) и!и Я!+Н(Я) сов Я!!йЯ. т.
е. комплексный спектр %;А(!Я)Р(Я) для координаты ра получается умножением комплексного спектра воздействия 0,(!) на соответствующую частотную характеристику системы В'ш (!Я). Пусть при !(О система находится в покое и движение системы при нулевых начальных условиях вызвано только внешним воздействием 0(!) фО при !) О.
Представляя комплексный спектр отклика в виде малые колвалния )гл. л Так как ~уа(1) — вещественная функция, то второе слагаемое в правой части равно нулю') и поэгому +СО 1)» = — ~ (()(Я) соз Ж вЂ” Н(2) з1п Ы) ~И. (21) Предположим теперь, что а,(1) =0, дь(1)=0 (уз=1, ..., л) при 1(0; (22) тогда +сч 0 = — ~ )гт((2) соз Ж вЂ” Н(Я) з!ц ь)г) ЫЯ 1 2а (при 1(0). Заменим здесь 1 на — 1) -)- о» 0= — $ (0(12) соз Ж+Н(2) сйп Я)) г(Я (при 1) О). (23) 1 Складывая почленно равенства (21) и (23), находим дь — — ~ 0(Я) соз йгг(ь) (при 1) О). (24) 1 Г ') Реальная система не может иметь частотную характеристику, ие удовлетворяющую этому условию. ") Это саедует иэ тога Факта, что выражение (20) определяет преобразование Фурье решения при нулевых начальных данных, а выражение 124) — обращение преобразования Фурье (си., например, А наср и ан М.
А., Леквии по теории автоматического регулирования, изд. 2, Физматгиз, 19ОХ). Можно показать, что выражение (24) определяет общее решение устойчивой системы для координаты ра при условиях (22) н при нулевых начальных данных э). Функция Уэтга(ьа) строится непосредственно по коэффициентам апн Ь)ь и сгь, содержащимся в уравнениях (1), а функция Р(й) определяется выражением (17).
После этого задача об определении движения, описываемого уравнениями (1), сводится с помощью выражения (24) к одной квадратуре, Лля приближенного определения движения пригоден поэтому любой метод приближенного интегрирования. Можно, Влияние силы, ВАВисящей от ВРемени 273 Я 471 например, построить график функции 0 (Я), заменить его ломаной линией и через точки излома провести горизонтальные линии до оси ординат, Тогда функция 0 (Я) приближенно й ГЦ7 Рис. 54.
заменяется суммой функций л (Я), график каждой из которых представляет собой трайецию (в частном случае треугольник), как показано на рис. 54. Лля одной ~акой функции дг (я) 5 гга! интеграл (24) может быть вычислен '): й7.= -1- 1 а (Я) Я7 (Я= й а, 3, ягср ст Ас Вю,'~ьсгг игп а г В цу Ь1Г Рис. 55 где Яу,р и Ьг показаны иа рис. 55, а А7 — площадь трапеции. Поэтому аВю юЦ.с-е В1п 11 4 Я ' а1ср а!Г 1 ') См. с7р. 280 — 282 книги, указанной в примечании 2 иа стр. 2?2.
где суммирование ведется по всем трапециям, полученным при аппроксимзции 0(Я) ломаной линией. При использовании такой аппроксимации для построения Б1п а движения могут быть использованы таблицы функции ГЛАВА УП СИСТЕМЪ| С ПИКЛИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ ф 48. Приведенная система. Потенциал Рауса. Скрытые движения. Концепция Герца о кинетическом происхождении потенциальной энергии В настоящей главе об!пие положения, язложенные в гл. Н и в гл. 1г, используются для исследования движения голономной склерономной системы с циклическими координатами д„ (а= лг + 1, ..., л). Кинетическая энергия такой системы имеет вид %' т=-2- '„п„й ", ') ) У"), г, а=! Найдем выражение для кинетической энергии в переменных Рауса ри фг, р„(г=1, ..., т; а=т+1, ..., и).
Для этого выразим все г)„через р„(а=!п-1-1, ..., л), используя исходные соотношения ВТ Р = ~~ = ~~~, п,гЧ! + ~, л« г) (а= лг + 1 .. ° , л). (2) г=! а=и+! Поскольку определитель Р = г1е1(а„)„"4 „, Е ! =Ф 0 '), то из соотношений (2) находим л г ж !.= т.
ь„,~р,— тьь) ! = ч-~,..., !, !л а-ж+! где (~ь, Д.! ! — обратная матрица для матрицы ((а„а)!",„ь! '1Ь„1!='1а„~~! '. (4) ') См. примечание к сгр. 91, $43! пяиведеннля система. потенцилд алгол 276 Полагая (1 = 1, ..., пг; а = лт+ 1, ... „л), (б) а=м+! запишем соотношения (3) в следующем виде: гуч = ~~',4 пчулга,~',д 7аЯ! (гг гн + 1, ..., и). (6) а-м+! г=! Здесь Ь„а и 7ы — функции от нециклических (или, как их иногда называют, позиционных) координат 4)4(1=1, .„, гн).
Подставляя выражения (6) для г)„в формулу (1), получаем выражение Т для кинетической энергии в переменных Рауса: л! ч Ю В 1 жт, . 1 ът ?'= 2 У аг*;'т44)у+ 2 ~ ач)г,Ра+ ~~~ ~ аг*„г)4Р» (7) г,у 1 «а=м+! г=-! к и+! Замечательным является то обстоятельство (на него обратил внимание еще Раус), что в этой формуле все п4*„=0, т. е. выражение Т есть сумма квадратичной формы относительно позиционных скоростей 4)г, ..., !), и квадратичной формы относительно обобщенных импульсов рм+„..., р„'). Действительно, ч в 'а=и+! а=я-,'- ! (8) так как ~Ч ! Ь„,р зависит только от переменных гу! и р, а=м+! которые рассматриваются как независимые по отношению к 4)! (1=1, ..., т; р =в!+ 1, ..., и).
') Использованное здесь преобразование переменных, соответствующее переходу от переменных Ег, !), к переменным Чь ры применяется обычно в теории квадратичных форм для приведения (по методу Лагранжа) квадратийной формы к сумме квадратов. Действительно, применив несколько раз подобные преобразовании, мы представим квадратичную форму от и переменных в виде суммы н квадратичных форм, каждая из которых зависит только от одной переменной, т.
с. равна произведению квадрата этой переменной па некоторый вещественный козффнпнснт, 276 системы с циклическими координатами !гл. чи Вычислим теперь коэффициенты а«р л л ют а ат а а др др др .2> да! др др»'! т т «а тр! ! т+! (а, 'р=т+ 1, ..., и). Аналогично найдем коэффициенты а!«!) д'т д Гдт 'д дт да«1 да!да) да! ~ дд! + х'! З~„др~ ~, «=т+! д«= «=т+! л л д'Т ~~ д'Т дд, дд! дд, + ~я да) дд«дд! !т ««« '"' кп «=т+1 «т+1 Используя равенства (5), получаем а!«)=а!) — ) ', Ь„а„)а ! (1, /=1, ..., т). (10) «, а=т+ ! Но на основании равенства (4) Ь„= — Д вЂ” "„где А,— алге- А„ браическое дополнение элемента а „ в определителе !Х Используя вто обстоятельство, можно вместо формулы (10) написать: вц яй т«! "° 'гм ! 1!а„«!д а,,, ... ят ь» ли=в 0 ол! я», ты °" а»» (1,г'=1, ..., ги).
(10') Таким образом, формула (7) имеет вид т= — т~ аЦЯ)+ — ~ Ь,„рр. г,) ! «,а т+! (11) ') Здесь и в дальнейшем 4„=... означает, что в выражении, стоящем в квадратных скобках, все д„заменяются нх выражениями (6), а !8] пвнвздвнная система. потенциал ил! са 277 Здесь коэффициенты агу и у) определяются равенствами (4) и (10). Пусть силы, приложенные к склерономнон системе, имеют потенциал П=П(1, 9!). Тогда Е= Т вЂ” П. Вычислим функцию Рауса (см.
$13)1 » Я=У((1, )Уо ))1, Р„)= ~ ~Р„]ӄ— Е= а )»+! »» »! ь„р, — Е' ).,а,.) — т-' и а»)+1 !а =)»+1 1=1 )» » 2 Х а!19]~ту!+ 2 ~ У)„ВР»о + 1 а '1,,1 а, а»)+1 »)» — ).а.~ 1, а )) 1=1 а=»)+! Рассмотрим функцию П*(1, ()1, ра), которую назовем патент!малом Роуса '): П = П+,' ~~~~ Ь„,р„р,. а, а=»)+! Пользуясь тем, что аа А "а е] где А „ — алгебраическое дополнение элемента а „ в определителе У), можно записать выражение для потенциала Рауса еше в следуюшем виде: о р„... р„ рт)) ата)ева! " апи-ь» (]а) П»=П вЂ”вЂ” 20 р» )г»»» ы ° ° а»» ') ](ое1ь е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
