Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 38
Текст из файла (страница 38)
й ! Система имеет и частот л! ~ нэ « ° ° «ал (6) и соответствующие амплитудные столбцы ио нн ..., и„; свободные колебании определяются формулой у = ~ С)му мп (л)г + ау), / ! где Су и ау ()=1, ..., и) — произвояьные постоянные, определве- мые из начальных условий. Пусть внешние силы Рь ..., Р„вызывают статические про- гибы у„..., ул.
Тогда силй Р! уравновешиваются упругими си- яами Р!л (Р! — — — Рл; 1=1, ..., и), и потому, согласно равенствам (2), л Р;= ~Л ~с;йуй (О) й = ! (!=1, ..., и) При исследовании упругих систем большую роль игрзет матрица 0=1!Лгй!!ллм обРатнаЯ ') длЯ матРицы С=!! етй!!лт ! О=С '.
') Матрица С не является особенной (бе! Сфб)! так как квадратичная форма (3) является поломитсльно определейной, Считая положение равновесия у,= ... =ул=О устойчивым, принимаем, что кзадратичная форма (1), выражающая потенциальную энергию как функцию прогибов, язлнется положительно опреде инной: л л стар!Уй~о (~ У!~о). !.й= ! ! Кинетическая энергия системы имеет простой вид: л т= — ~~~~ тьр), 1 (4) т-! В поисках гармонического колебании у;=иэпп(лт+а) (как вто мы делали в б 40) приходим к уравнению частот МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ % 44! С помощью матрицы 4) можно разрешить систему соотношений (9) относительно прогибов у„ ..., у„ и представить ее в виде л у1= Х а!А)'а (1= 1, ", и).
(10) а= 1 Величяна 3!а равна прогибу в точке (!), вызванному единичной внешней силой, приложенной в точке (й), и называется колффициектом влияния точки (й) на точку (!) (1„й 1, ..., и). Из симметричности матрицы С следует симметричность обратной матрицы й, составленной из козффициентов влияния ') 3!А=За! (! 3=1 " ").
(11) а из положительной определенности формы (3) следует положительная определенность квадратичной формы л л (1(Р, Р)= Г', 3!Ато!РА)О (~ Гт!)0), (12) т,ь 1 ! ! поскольку квадратичная форма ~ , 'с;ау;уа переходит в форму (12) при преобразовании переменных (10): л л л П=~ у с„уу,= —, у р)у1= — у. йцар)рм (13) т,а 1 1 т,а-1 Рассмотрим лилейную упругую систему 3 — струну или стержень при обычных закреплениях концов. Можно показать, что в атом случае матрица козффициентов влияния 6 обладаег следующими свойствами. 1 .
Все миноры (не только главные!) любого порядка матрицы б неотрицательны: 3!4л, " 3! а ! р «О 3!а," 3!а (0(г,с ... <1р<п; 0<В <... ~й ~п; Я=1, ..., и), 2'. йца)0 пРи !! — 31а.'1 (Г,л 1, ..., и). 3. Определитель бе! 6=!34А 1в4) О, Матрицы, обладающие свойствами 1, 2' и 3', называются осцилляциояными. ') Равенство (11) выражает так называемый принцип взаимности Максвелла; тпрогнб в точке (!) под действием единичной силы, приложенной к точке (А), равен прогибу в точке (А) под действием единичной силы, приложенной в точке (!)и МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ (гл.
тч Заметим, что для всякой положительно определенной матрицы ту выполняютсв свойство 3', а также неравенства 1' для главных миноров и неравенства 2' для диагональных злементов я!т (т'=1, ..., и). Однако неотрицательнасть неглавных миноров любого порядка р') и положительность злементов лтт, „., Яя ь „представляют собой специфические свойства матрицы козффицйейтов влияния линейной упругой системы. Из осцилляционности матрицы коэффициентов влияния вытекают следующие основные чосцилляционныет свойства упругих колебаний линейной системы.
1'. Все частоты различны: чч'с~а( °" (еа 2'. Все амплитуды поо иао ..., и, в первом главном колебании (с частотой ч,) отличйы от нуля и имеют одинаковые знаки. 3'. Среди амплитуд и, т (1) Ы) (л) пад ..., и„в ути главном колебании (с частотой и)) имеется ровно У вЂ” 1 перемен знака (/ 1, 2, ..., и) рис. 51). (/') Исследование осцилляционных матриц и обоснование осцил- (1) (г) (1) Вг) М Рис, 52. Рис.
51, ляционных свойств упругих колебавий выходит за рамки настоящей книги '). П р н м е р. Рассмотрим классическую задачу о колебании струны конечной длины ! с закрепленными концами в случае, когда вся масса струны сосредоточена в л равноудаленных (между собой н от концов) точках, причем сосредоточенные массы равны между собой (и равны ю) (рис. 52), Удлинение 1-го участка (между точками с прогибами у! иуды) выразится (с точностью до малых четвертого порядка) следующйм ') В частности, неотрнцательяость недиагональных влементов р ты а(ды й при(~й).
а) Читатель найдет этот материал в книге: Ганг ма хе р Ф. Р. и Крейн М. Г., Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических сне~ем, изд. 2, Мч 1й50, малые колевлиия упРуГих систем образом; .+ Считая натяжение струны «постоянным '), получаем выражение для потенциальной знергии: л е Ъл П=2 Х(у.„-у!) «-а Кинетическая знергия имеет простой вшп ~= —,,'~ л. ! 1 Для нахождения гаавных частот н соответствующих амплитудных векторов изберем косвенный путь').
Напишем уравнения (6) для амплитуд, используя выражения (14) и (16) для П и Т. Каждое нз полученных уравнений (6) разделим почленно на с и введем сокращенное обозначевне: 1 — — и =со58 2« (16) (16) где 8 в вспомогательная величина. Тогда уравнения (6) дли ампли- туд примут следующий вид: иа,— 2иасоа В+па,, 0 (Я=1, ..., я), (17) где и, = ил.„, = О. (18) Алгебраическим уравнениям (6) можно удовлетворить, положив ') па = 5!и ВВ (й = О, 1, ..., и+ 1).
(19) При атом первое из «граничныхт условий (18) удовлетворяется автоматически, а второе дает условие для определения искомых частот: мп(л+1) 8=0. (20) ') Это предположение оправдано тем, что рассматриваются только малые прогибы у„у„..., у„. ') См. Крейн М, Г., Математический сборник, т. 40, 1933, стр. 485 — 466, ') При подстановке выражения (19) в уравнения (17) получаем тригонометрические тождества мп(й — !) — 25!плбсо58+зш(й+!)8=0 (8=0, 1, ..., я), )тд. чт малый кодпвлний Отсюда 8 = — (У=!, ..., и) и, следовательно, согласно раун а+1 венству (16), 2г ~ув — — — (1 — соа В)), т. а. Г' з, Г, вуу=2 ~у — мп --=2 у — аа т 2 У т 2(а+1) (= -''= /=1,..., а;г= (а+ 1) в'1 (21) Для нахождения амплитуд)что главного колебания аьа и т ..., илр полагаем в равенствах (19) В = Вр илу= ащ йб) = зщ (А, у = 1, ..., и) .
(22) дуя а+1 Произвольное свободное колебание системы определяется фор- мулой л у,= ~~~~ С~ ауы ( !т+,) = )=1 л дул . т, ун l г Сумп — ащ!2а!и —. арг — с+ау). (23) а+1 ( 2(а+1) Р' т / ! "I= — ~ р 0='- Ф ! р р (25) Эти формулы выражают закон Мерсенна, согласно которому все чавтоты ялляютгя Иглами крлтиыаи частоты основного тона Из формул (21) н (22) сразу видна, что полученные главные колебания облалают осцилляционными свойствами !' — о', Лагранж показал, как из найденных формул предельным еере- ходом можно получить свободные колебания однородной струны (с закрепленными концами), масса которой уже не сконцентриро- вана в а точках, а распределена равномерно вдоль струны, имеющей плотность р, Полагая в рассмотренной задаче т= — находим дискретный р! и ' аналог для однородной струны с главными частотами <л! 2 .~/в п(а+1) а( УЯ (/=1, ..., а), (2а) ! р р 2(а+1) В пределе при а — со получим для частот ы) однородной закре- пленной струны известные выражения: силы, нв злвисящнв явно от вземвни йбй % 4Ы ач =.
1 - — и каждая ил частот прямо пропорциональна корню квадратному из натяжения и обратно пропорциональна длине и корню квадратному из плотноел1и. Представим усе гармоническое колебание одиоролной струны в виде уу(х, Г)=иу(х)нп(ну+а) (0(х~1), (26) где иг(х) — амплитудный про~иб з атом коаебапяя. Считая, что амплитудный чрогиб иу(х) может быть получен нз величин (22) предельным переходом иу(х) = 11т 14»у И прн и со и — — х, ны из формулы (22) найдем: и+1 иу(х)=з1п — (/=1, 2, ...).
. укх Татаа свободное колебание однородной струны, которое получается линейной суперпознпией глазных колебаний (26), выразится формулой у (х, т) = 1) Су нт — з(п (н Г + ау), унк у=! тле Су и ау (/=1, 2, ...) — произвольные постоянные, й 46. Малые колебании склерономной системы под действием сил, не зависящих явно от времени Напишем уравнения Лагранжа для склерономной системы в случае, когда обобщенные силы Я1 зависят только от координат и скоростей: 41 дТ дТ вЂ”,— =()1(у., Ф,) (г= 1, ..., .). (Ц и 1 %1 Т вЂ” — у аг»4щ», с»1 (2) где ат — — а»1 (1, 4=1, ..., н). Пусть начало координат является положением равновесия. Тогда (см.
й 40) кинетическая энергия с точностью до членов третьего порядка малости относительно 4)1 и ()1 (1 = 1, , и) может быть представлена квадратичной формой с настоянными коэффициентами 260 МАЛЫЕ КОЛЕЕАНИЯ 1гл. н! Разложим теперь обобщенные силы ф(д», !)») в степенные ряды относительно д„ и д»: л !е!=ьг!»+ ~~ ~( — ) д»+ (Ь вЂ” ) !)»]+(аа). (3) »=! Так как начало координат является положением равновесия, то при нулевых координатах и скоростях все обобщенные силы должны равняться нулю„т. е. Я!а — — О (1=1, ..., п).
(4) Введем следующие обозначения: После этого, отбрасывая в разложении (3) все члены второго и более высокого порядков малости, будем иметь: л ()т= — ~я~ ~(Ьг»д„+с,»д») (1=1, ..., Л). (6) »-! Подставляя в уравнения Лагранжа (1) выражения (2) н (6) для кинетической энергии и для обобщенных сил, получим линейные дифференциальные уравнения движения для малых колебаний склерономной системы ~ (а!»д»+Ьт»д»+с!»д»)=0 (1 1, ..., и). (Т) »-! Обозначим через А, В, С квадратные матрицы') А=~а!»(!»„В=!1ЬтД,', С=~с!»()"„ а через д — столбец из д„..., д„. Тогда система дифференциальных уравнений (7) в матричной записи будет выглядеть так: А1) + Вд + Сд = О.
(8) Будем искать решение системы (8) вида ту = иезт, ') Заметим, что А — положительно определенная симметрическал матрица (зто обстолтельстзо здесь не используетсл). СИЛЫ, НЕ ЗАВИСЯШИЕ ЯВНО ОТ ВРЕМЕНИ 261 где и — столбец с постоянными элементами ло ..., и„, а и — число.
Подставляя выражение (9) в матричное уравнение (8) и сокращая на с"', получаем: (А1ся + В1А + С) и = О, (10) или в развернутой записи ~~ (а,ср'+Ьыр.+сгя)па=О (2=1, ..., п). (1О') А=! Для того чтобы система (10) или (1О') имела ненулевое решение и, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю: и (1А) = — бе1 (А 122 + Вр + С) = О, или в развернутом виде синс+ Ьии+ с„... а,снс+ Ь,ЛР+ сга Ь(р)= ' =О. (11') аа,ис+Ьс,~ + с„, „. ласи +асан+сия аа д= ) САИАЕРА~. Л-1 (12) Особо важным является тот случай, когда все Вещественные части корней р„отрицательны: йенл<"О (й=1, ..., 2и). Уравнение (11) назывзется аеновылс уравнением для данной системы.
Это алгебраическое уравнение степени 2и относительно р.. Ограничимся рассмотрением только основного случая, когда все корни векового уравнения рн ..., 92„ различны между собой. Каждому корню р„ соответствует некоторое ненулевое решение па= (и,а, ..., п„а) системы однородных алгебраических уравнений (10) и, следовательно, частное решение а„е"А системы дифференциальных урзвнений (8) (8=1... 2л). Общее решение этой системы дифференциальных уравнений получится как линейная комбинации (с произвольными постоянными коэффициентами) этих частных решений: 262 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ !гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
