Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Это положение находит широкие применения, поскольку исследование линейных систем значительно проще, чем исследование нелинейных систем, Мы ограничимся рассмотрением стационарного случая и в этом случае лля доказательства высказанного. утверждения запишеи систему (1') в матричном виде: дх сЮ -=А~+У(~).
(1") Здесь А = 1~! аы '3," л ! — квадратная матрица с постоянными элементами, а у'(х) — столбец с элементами ~;(хо ..., х„) (1= 1, ..., п). Поскольку по предположению нулевое решение линейного приближения асимптотически устойчиво, то (см. $37) все характеристические числа Л„ ..., Л„ матрицы А имеют отрицательные вещественные части шах Ке Л„= — а (О. 1тл л Условимся через ( в( обозначать «длину» вектора-столбца г с компонентами гн ... „г„: 1 тэ ~'~=(Х ~ "~') а — 1 Поскольку кажлый элемент столбца у'(х) начинается с членов второго измерения, то 1,у'(х) ! ( а ) х (, (4) где постоянное число а » 0 может быть выбрано сколь угодно малым, если ограничить изменение переменных х„ ..., х„ достаточно малой окрестностью )х ! (а.
') При этом предполагалось, что правые части Х! (х„..., х„, т)— непрерывные функции. В настоящее время выяснено, что слелует понимать пол линейным приближением при разрывных правых частях Хь н установлен соответствующий критерий устойчивости по линеййому приближению как а периолическом случае, так и в некоторых непериодических случаях. См, Л йз ар м аи М. А.
и Гантмахер Ф. Р., Прикладная математика и механика, т. 21, аып. 5,!955 и Л и в а ртов с к ив И. В., там же, т. 23, вы~, 3, 1959, устОЙчивость по линейнОму пгивлижению 221 з зь1 Д о к а з а т е л ь с т в о ') утвержденна Пуанкаре и Ляпунова можно построить, опираясь на следующую лемму. Лемма. Лпнейная система дифференциальных урав. дх пений — =Ах с помощью линейного неособенного преобдс ралования переменных (5) х=аУУ (де1 аУоз 0) может быть приведена к «треугольному» виду Я) — ' = лгу, + Ььчуз +...
+ Ь кую 'ду, — = "»У«+. ° ° + Ьаяуя йу« пс Л у, я (6) 'Чу~ ~ Ьмуя ~ ° ° т Ьгяуятй(у) 1ьу«-~-...-~ Ьт„у„', д(р), (7) )'куя+ йя (у) ~ где столбец й (у) с элементамн й, (у), ..., У„(у) определяется равенством й (у) = су 'у ((уу) (8) ') Си. С такер Дж., Нелинейные колебания в механических и электрических системах, М,, !952. ») В результате преобразования (5) матрица коэффициентов А заменяется матрицей 0 ' АК которая имеет треугольную Форму.
') Доказательство аеимы приводится далее на стр. 223 †2. где Хь ..., );„— характеристические числа матрпцы А, а модули «неднагональных» ковффициентов Ь;ь (1(й) могут быть сделаны сколь угодно малылпт за счета надлежащего выбора преобразования (5) ь). Преобразование (5) применим к нелинейной системе (1"). Б новых переменных система (1") запишется так: 222 устойчивость зявноввсия и движвния !гл. у и удовлетворяет неравенству ') (9) !к(у) )<~!у! где число и (как и число а) может быть сделано сколь угодно малым за счет выбора достаточно малой окрестности !х!<'Ь (и соответственно !у ! ( Ь!).
Тогда в соответствии с уравнениями (7) и неравенствами (2) и (9) найдем "): я я' 2 !У! 2 и!у! (и . )абаз с(! 2 с'с 2 я'! л'я с=! я я =-2'-,'~ ~У! Л" +Уч ЛУ') = ~ В~.!У;!'+ ! =1 ! 1 я + , (п~»у»у, !- б~»у» у,)+ ~А~, (фу!+ 8~ у,) ~ »>» ! -( — +8+))!у!' (8 Х !бы!) с<» — ',~!~( — и+8+~) !у!, откуда !у ! ~ !у ! е» (у я,у(т~)). (10) ') Если определить норму матрицы А = !! аы !!я» ! равенстя с!» вом !!А!!=( ~ !а!»,'-), то легка проверяется справедливость г,л=! неравенства ! Ах ! ( )! А (! , 'х !. Позтому нз неравенства (4) в равенства (8) следует, что !а (у) ! !(и-'!!!у((уу) ! .!!и- )!!(у!!!у !, н, таким образом, в неравенстве (9) можно положить ~=(! у!!!!и- !! .
') Через у» мы обозначаем число, комплексно сопряженное с у» (л=1, ..., л). а аа1 Устойчивость по линайномк пвнвпнжвннкт 222 Выберем положительные числа 8 и л тзк, чтобы выполнялись неравенства к — 5 ) О и т) < к — Ь; тогда из неравенства (10) следует, что )у(~(уа( и 11шу(г)=О, ! сь (11) Доказательство леммы. Покажем сначала, что с помощью преобразования х=Гн л вида (5) можно привести систему дифференциальмых уравнений лх Ш вЂ” Ах к виду, в котором: 1) первая переменная з, не входит в ~травме части всех уравнений, начиная со второго, и 2) в первом уравнении коэффициент при е, равен характеристическому числу матрицы А, т.
е. к следующему виду: н*л, — у=1,л,+Ь;ааа+...+Ь,яля, ~й, — ь;,а,+...+ь;„л„, ~й иля я Для етого достаточно в качестве перва о столбца матрицы тРы взять собственный вектор и„ соответствующий характеристическому числу 1,(Аи, =Х,ио и,~о),а остальные столбцы матрицы и„,...,ия выбрать так, чтобы вместе с и, они были линейно мезависимй (тогда бег (Рц ф О).
Действительно, преобразование х=аг "л может быть записано и так: х = излг + нала + " т пяля, (14) где л„ ..., л„ вЂ” координаты вектора х в базисе и„ а„ ..., и„. Система (12) имеет решение х= и,е"ы. (15) ') В соответствии с примечанием 1 на предыдущей странице из равенства (5) вытекает неравенство (х)<))(г1)у) ))щ)у,) 1(у~)1и-'~)х,). т. е. решение у=О системы (7) асимптотически устойчиво. Но векторы х и у связаны между собой линейным преобра- зованием (б); поэтому и решение х=О системы (1) асимп- тотически устойчиво '). УСТОЙЧИВОСТЬ РЛВНОВВСИЯ И ДВНЖВННЯ |гл.
ч 224 Поз~оку преобразованная система дифференциальных уравнений л йзт лл7Ьпза(|1,...,п), л 1 согласно равенству (14), имеет решение (15') что возможно лишь тогда, когда Ь,', =Л| и Ьз| —— ...—— Ь;,1 — — О, т. е. когда система (16) имеет вид (!3). Так как при линейном неособенном преобразовании характери- стическое уравнение матрицы А не изменяется '), то матрица !)Ь)а ф имеет своими характеристическими числами остальные и†1 харак- теристических чисел (Л„ ..., Л„) матрицы А. Применяя аналогичйое преобразование к системе последних п — 1 уравнений (13) и т.
д., мы в конце концов с помощью неособенного линейного преобразования приведем исходную систему дифферен- циальных уравнений к зилу йа„ пт — Л,л, + Ь„за+ ... г Ь„г„ Лтзт -)- ... + Ь,'„ „, й-а (17) Наконец, сделаем последнее преобразовавие переменных ла НьУа (и) О; а=1, ..., и). Тогда система (!7) заменится системой (6), в которой недиагональные коэффициенты Ь1а=л~ |Ьта (1(Ь) могут быть сделаны сколь угодно малыми по модулю, если выбрать число и)О достаточно малым. Лемма доказана. й 39. Критерии асимптотической устойчивости линейных систем В предыдущих двух параграфах было устзновлено, что в стационарном случае нулевое решение пронзпольной ') Характеристические уравнения матриц А и (У |А(7 (см.
примечание 2 к стр. 221) совпадают, так как (У '(А — ЛЕ) с)=*0 'А(У вЂ” ЛЕ, и поэтому йет(()' 1А()†ЛЕ) = бе!ау ' йе1(А — ЛЕ) йе1(у= йе!(А — ЛЕ) (Š— единичная матрица). а ю! критнрии»снмптотичзской гстойчивости 225 (нелинейной) системы дифференциальных уравнений в отклонениях асимптотически устойчиво, если все корни характеристического уравнения, составленного длз мзтрицы коэффициентов линейного приближения, имеют отрицательные вешественные чзсти.
Поэтому приобретают большую практическую значимость необходимые и достаточные условия для того, чтобы все корни алгебраического уравнения с вещественными коэффициентами г(Л)=а»Л" +а!Л" '+...+а„,Л+а„=О (оа .»О) (1) и.нели отрицательные вещественные части. Обозначим через Л» (й=1, ..., и) вещественные, а через г, + гэ; () =1, ..., ) — комплексные корни уравнения (1) и предположим, что в комплексной плоскости все эти корни лежат слева от мнимой оси, т. е. что Л»(0, г1«. 0 (я=1, ..., д; э=1, ..., 2 ); (2) тогда 1(Л)=аа ~ (Л вЂ” Л») Д(Л вЂ” г — Ыт)(Л вЂ” гт+Ь~)= »=1 1=1 е г =, П(Л Л„) П (' — 2гхЛ+ гга.+в»).
(З) 'гак как, согласно неравенствам (2), каждый множитель в последней части равенства (3) имеет положительные коэффициенты, то и в уравнении (1) все коэффициенты положительны. Положительность всех коэффициентов — необходимое (ири аа .»0), но отнюдь не достаточное условие для того, чтобы все корни уравнения (1) были раслоложени слева от мнимой оси. В 1875 г. уже известный читателю английский механик Раус дал алгоритм, с помощью которого по коэффициентам многочлена К(Л) можно узнат!ь является ли он «устойчивым», т.
е. имеют ли все его корни отрицательные вещественные чзсти. В 1895 г. немецкий математик Гурвиц независимо от Ч 7 вь р. гаатвахер 226 эстойчнвость вавновнсня н двнжвння 1гл. ч Рауса установил тот же критерии в видоизмененной форме с помощью определителей («определителей Гурвицаь) а, а, а,, а, а, а, Ь,=ам (4) (Здесь всюду следует положить ар — — 0 при р>л.) У с л о в и е Р а у с а — Г у р в и ц а '). Для того чтобы все корни уравнения (1) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы имела место неравенства Ь,>0, А,>О, ..., А.>О.
(5) Если коэффициенты уравнения (1) заданы как числа, то условия (5) легко проверяются. Рели же коэффициенты уравнения (1) содержат буквенные параметры, то вычисление определителей Ьь при большом уг уже вызывает затруднение. Поэтому представляют интерес другие условия, установленные в 1914 г. французскими математиками Льенаром н Шипаром. В этих условиях число детерминантных', неравенств примерно вдвое меньше, чем в условиях (5) Рауса — Гурвица.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
