Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 30
Текст из файла (страница 30)
') Зтот предел существует в силу того, что Е(с)-непрерыв- иав монотонно убывающая неотрицательная функция. АСИМПТОТИЧВСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ йОЗ вы> Так как вся траектория лежит в а-окрестности, то при всех а и 1 выполняются неравенства ! д!'>! ч, я, ! ~)~'> ! (а. В силу леммы Больцано — Вейерштрасса из бесконечных огра. ниченных последовательностей у<О и ((О> можно выбрать схо> > дящиеся подпоследовательности д)А> и >уы>, Пусть 11ш ~ф= уп 1!ш >)>Ы>=>)у 1=1, ..., л; (7) ь с0 а при этом !7> !<а, !Ча!С К 1=1, ..., ж Но тогда, в силу непрерывности Е(1), Е(ф, ф>") = 1пл Е(д',А>, >)1А>) =Е ) О. По предположению точка О)У, 171) не совпадает с началом координат, где Е О.
Примем точку (о>', ~)г), 1=1„..., л, за начальную точку движения при 1=1М Так как эта точка не совпадает с точкой О, т. ж не является положением равновесия, то при движении системы хотя бы одна из обобщенных скоростей )> будет отлична от нуля и потому — ч.О. Но тогда при лЕ лт некотором 1=1> будет выполняться неравенство Е<.
Е . Рассмотрим, далее, движение системы, начинающееся при 1=1я из точки (>7>>А>, ф>ы>). В силу (7) значения р)А> и 17<а> при достаточно больших и будут сколь угодно близки к значениям ф и ф соответственно. Следовательно, при достаточно больших >г будут сколь угодно близки и значбния фазовых координат при с=1, у движений, начинающихся при 1=1, из начальных точек (о>">, д'.А>) и (оУ, >)>') (решения систем дифференциальных уравнений являются непрерывными >рункциямн начальных данных). Поэтому для движения, начавшегося при Т =1, из точки (д>Ы>, 17>а), при 1 1, будет выполняться неравенство Е(1>)(Е, так как полная энергии Е представляет собой непрерывную функцию фазовых координат.
Но в силу единственности решений уравнений Лагранжа, состояние в момент 1=1, системы, вышедшей при 1=та из 204 устОйчиВОСть РАВнОВесия и дВижения )гл. 7 начальной точки (41ь1, ф)ю), 1 1, ..., и, совпадает' ) с состоянием в момент та+1, системы, вышедшей при из начальной точки (ф", 4'), 1= 1, ..., и; поэтому интересующее нас значение энергии Е(1ь+т,) должно удовлетворять неравенству ЕЯ,+1г)с. Е, а это невозможно, так как Е(1)РЕ при любом Е)Сь. Итак, мы пришли к противоречию, допустин, что Е„~ О, следовательно, Е„=О и 11ш Е(1)=0.
(8) Так как в силу неравенства (6) равенство Е= 0 имеет место только з точке О, то нз равенства (8) вытекает, что при 1-ь со точка, изображающая систему в пространстве состояний, стремится к началу координат, т. е. имеют место соотношения (1). Теорема доказана. 1 ., ! В примере 3 на стр. 191 Š— юх'+ — сх' и 2 2 дŠ— ~ илх+ схл =(юх+ сх)л — 2УХь (О, ш поскольку У) О. Система определенно-лисснпатизная, и положение равновесйя является изолированным, что следует из уравнения движении при подстановке решения х сопьн В силу теоремы полажение равновесия асимптотнчесхи устойчиво, Исследование движения склерономной определенно-дисснпативиой системы з окрестности ее асимптотически устойчивого положения равновесия будет дано в э 46.
Ляпунов доказал теорему, которая обобщает теорему Лагранжа. Он обратил внимание на то, что при доказательстве теоремы Лагранжа можно вместо энергии Е взять любую непрерывную (с непрерывными частными производными первого порядка) ргункцию )г(дь, ~)ь), имеющую ') Так как в уравнения движения (3) время Г явно не входит, то выбор начала отсчета времени не играет роли. Поьтому, если вместо д',.", д)м за начальное состояние принять 41Ы, д)Ы, 1 = 1, ..., и, то в дальнейшем система будет проходить те же состояния, что и в исходном движении, но в иные моменты времени.
АСИМПТОТИЧВСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 205 в состоянии равновесия строаСсй лини иум и не волрастаюисую при любом движении системы. Вычислим производную по времени от функции сс, использовав при этом уравнения движения (3): т а~ма дйс с+ддс аЬт ды . дтт с-.с В частности, из этой формулы следует, что в начале координат О пространства состояний функция Ь" обращается в нуль, так как точка О соответствует состоянию равновесия, в котором все с)с =О и все сгс= Ос= О.
Если функция Ът не возрастает при любом движении, то — = Ь"сста, ~СА) и: О. В этом случае функция сс в состоянии равновесия О имеет максимум. Если >ке этот максимум строгий, то в окрестности точки О (за исключением самой точки О) У" (О и при движении системы в пределах этой окрестности функция строго убывает. Теперь можно почти дословно повторить доказательство теоремы Лагранжа, используя вместо Е функцию К В случае асимптотической устойчивости (например, для диссипативной системы) доказательство будет даже более простым, если аь' потребовать, чтобы производная — имела в положении раааа новесия строгий экстремум противоположного типа по отношению к экстремуму функции \1 ').
Заметим еще, что при формулировке критерия устойчивости можно поменять местами слова «минимум» и «максимум», так как замена функции у' на функцию — у возвращает нас к прежней формулировке. Таким образом, можно считать доказанной следующую теорему: Теорема. Если дано положение равновесия снлерономной системы, находясиейся под двйствивл сил, не лависясаих явно от врелени, и сусиествует непрерывная ') Прн доказательстве теоремы об устойчивости диссипатианоп асЕ системы производная — не имела а положении равновесия строгого асс максимума.
В связи с этим нам пришлось специально оговорить, что ноложенне равновесия налнетсн изолированным. 206 кстойчнвость влвновисня н движения 1гл. и лместе с частными производными первого порядка функция 1г(дл, г)л), имеюиьая з данном состоянии равновесия стпрогий экстремум, з то время как произзодная 1' от 1г по времени (зьтисленная з силу уравнений движения) имеет з этом же состоянии экстремум противоположного типа, то рассматрилаемое положение равновесия устойчиво. Если при этом экстремум произлодной также является строгим, то положение равновесия асимптотпически устойчиво. Функцию ~'(цл, йь), о которой идет речь в теореме, принято называть йдунгсцией Ляпунова. Е 66.
Условная устойчивость. Общая постановка вопроса. Устойчивость движения или произвольного процесса. Теорема Ляпунова В неравенствах (1) и (2) на стр. 190, определявших устойчивость положения равновесия, фигурировали зсе отклонения ц и есе обобщенные скорости дь Однако во многих вопросах мы встречаемся с условной устоичизостью, когда указанные неравенства выполняются для некоторых из 2п величин д„..., ал, йп ..., ап или в более обшей постановке для некоторых функций кь ..., хм от этих величин: При этом предполагается, что все функции (1) обращаются в нуль при дь= О, Чь=О (4=1...,, п), т.е. ут(0, ..., О)= О, и удовлетворяют автономной ') системе обыкновенных диф- ференциальных уравнений первого порядках) г Хт(кь ., ялп 1) (1=1 ...
„т) (2) ') См, примечание к стр. 94. ') При исследовании условной устойчивости склерономных систем функции Х~ (1=1, ..., гл) ие аавислт явно от т. Мы вписали Г в качестве аргумента в правых частях, имея в виду иссклерономпыс системы н дальнейшие обобщения. гсловнля кстойчивость 207 $ Зб! где Х,(хв ..., х„, 1) (1=1, ..., т) — непрерывные функции в области ~хс!:я;дь 1~1б (1=1, ..., т) (3) (1б — фиксированный начальный момент времени), Состоянию равновесия отвечает нулевое решение х;=0 (1 = 1, ..., и) системы дифференциальных уравнений (2). Наличие такого решения предполагает, что правые части уравнений (2) удовлетворяют условию Хс(0, ..., О, 1)=0 (1=1, ..., т). (4) С математической точки зрения речь идет об устойчивости нулевого решения системы дифференциальных уравнений (2), причем этз устойчивость определяется так: для любого б)0 сушестзует такое Ь= Ь(а) >О, что при любом )хс(1)(<"а (1=1, ..., сл), (б) коль скоро ~ хс (1б) ) ( Ь (1 = 1...,, т), (6) Для геометрической интерпретации неравенств (5) и (6) используются б- и Ь-окрестности начала координат в т-мерном пространстве (х„ ..., х ).
В случае асимптотической устойчивости дополнительно требуется сушествование такого Ьб)0, что 1пп х,(1)=0 (1=1, ..., т), (7) С а если только |хс(1б)~<" Ьб (1= 1, ..., т). (8) Если исследуется устойчивость положения равновесия (не условная!), то з качестве х„..., х можно взять величины с)„..., су„, су, ..., с)„или с7г, ..., о„, р„..., рсг В первом случае уравнения(2) представляют собой уравнения Лагранжа, записанные в виде системы 2п дифференциальных уравнений пеРвого поРЯдка с неизвестнымн фУнкциЯми 4с„..., с)сг Во втором случае уравнениями (2) являются канонические уравнения Гамильтона длс дН дрс дН вЂ” — — — — (1=1 ..., л).
(9) 208 устОЙчиВОсть РАВИОВВсия и движения 1гл. ч Рассмотрим два важных частных случая системы уравнений (2), которые часто встречаются в приложениях. 1'. Стационарный случай, когдз 1 не входит явно в правые части Х; уравнений (2), т. е, когда — '=О (1 1, ..., т). 2'. Периодический случай, когда правые части Хь имеют период т относительно переменной Й Хь(х„..., хля 1+я)=Х,(хп ..., х, 1) (1=1, ..., т). В этих случаях устойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений (2) определяется с помощью теоремы, являющейся непосредственным обобщением теоремы, приведенной в конце $ 35. Т е о р е м а Л я п у н о в а. Если в сгпационарнолг или в периодическом случае су1цествует непрерывная вместе с частныли производными первого порядка в области (3) функция \г(хп ....
х, 1), которая при любом 1, рассматриваемом как параметр, имеет в точке х, хм О строгий экстремум, в то время ьак в той же точке снова при любом 1 ее производная по л %1 д1г дгг времени (г (х1... х,1) = р — Хь+ — - имеет экстрел~ь дх1 1 мул противоположного типа, то нулевое решение системы (2) устойчиво.
Если при этом экстремулг производной 1Г' также является строгим, то нулевое решение системы (2) асимптотически устойчиво. При этом предполагается, что в стационарном случае функция Ъ' не зависит явно от 1, а в периодическом зта функция периодична относительно 1 е периодом т (т — период правых частей уравнений (2)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
