Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 25
Текст из файла (страница 25)
определить решения системы дифференциальных уравнЕний у 1 й И ~ д ~ й И ~ д ( 1 1 ) ( 3 ) др~ ' дс до1 1 . ° ° ~ и ° Если в формулах (1) рассматривать р» н р» (Ут = 1, ..., л) как новые переменные, то, как было выяснено на стр. 139, формулы (1) определяют свободное уннвалентное каноническое преобразование.
Это преобразование переводит гамильтонову систему (2) в гамнльтонову систему с функцией Й=О [см. формулу (13) на стр. 158) 4 д —— О, дг — — О (л=1, ..., и), (4) а гамнльтонову систему (3) — в гамилътонову систему с функцией Н, которая будет равна Н, '): Щ дИ дру, дИ дс ор$ ' дт до — — — (б) Таким образом, новые переменные д» и Р» обладают следующим замечательным свойством: для невозмушенного дви- ') Это следует нз соотношения Й вЂ” (И+ И,)=0 — И. Левая д8 н правая части етого равенства равны — где 3 — производящая дг ' функция рассматриваемого свободного униаалентного канонического преобразоаания (см.
стр. 152). $ яй ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 173 жения они сохраняют постоянные значения, равные начальным значениям; для возмущенного же движения они представляют собой функции от времени и начальных значений: ~~О1(1,,~О, ра), р1М1 ~~, 4О, РО) (7 =1, ...,,), (6) «/ р ть г» д1»1 (г 40 ра) р~01 (/ 40 рО)1 (7) (1=1, ..., л).
Мы фактически покааали, что «возмущение в энергии» системы эквивалентно «возмущению начальных данных». Проиллюстрируем это на рис. 40. В расширенном фазовом пространстве в гиперпло- ! 1 м скости г= 0 возьмем фикси/ резанную точку М, и проведем из нее невозмущенный прямой путь, т. е. прямой путь (1) для системы (2). На рис.
40 этот путь изобрз/ / / / / / жен жирной линией М»1УО. Ч / / / / В гиперплоскости 1=0 смещение,начальной точки, зада- Ь л» ваемое функциями (6), изобразим тонкой линией МОМ,'. Из точки Мм этой кривой проведем невозмущенный прямой путь Мщу (на рис. 40 он изображен пунктирной Ряс. 40 определяемые как общее решение гамильтоновой системы (5), в которой функцией Гамильтона является «энергия возмущения» Оп Конечные уравнения для возмущенного движения в исходных координатах ди р, (1=1, ..., л) получаются при подстановке функций (6) в формулы для невозмущениого движения (1) вместо постоянных д» и р».
Нам удалось, используя теорию канонических преобразований, заменить интегрирование гамильтоновой системы (3) интегрированием гамильтоновых систем (2) и (6); из общих решений (1) и (6) этих систем суперпозицией получаем общее решение системы (3) 174 1гл. гг клноничяскив пгзозглзовлния линией). На этом пути возьмем точку Р с данным значением координаты времени б Это и будет положение системы в возмущенном движении в момент времени б При невозмушениом движении система в момент 1 занимала положение Я. Таким образом, возмущение сказалось в «сдвиге» ЯР.
Прямой путь з возмущенном движении изображен жирной линией М«Р. Таким образом, возмущенное движение можно рассматривать как «сложное» движение в фазовом пространстве: точка движется по невозмушенному прямому пути, но сам этот путь смещается (в общем случае деформируясь) из-за «возмущения» начальных данных. 9 29. Структура произвольного канонического преобразования В этом и з следующих параграфах этой главы мы приведем некоторые дополнительные сведения о канонических преобразованиях. 1(ля произвольного канонического преобразования можно установить формулы, определяющие это преобразование с помощью производящей функпии и валентности с, подобно тому как это было сделано в $ 25 для свободного канонического преобразования. Пусть, например, из 4л величин Ь Рн Ь Рг (1=1. "' л), связанных между собой каноническим преобразованием 7;=у;И ул Рл) Рг=ф (1 ул Р) (2) можно в качеСтве 2л независимых взять величины 9н '' ) й Ргм Рл Чо ° ° чт Рт+г ° '' > Рп (0~7, лам-л).
% яа! стРуктуРА кАнОническОГО НРВОЕРАЕОВАния 17б Тогда с помощью тождеств Х Рвйрв=3(;Е РаРв) — Х Цвйуг в-с+! — с+! Х р»34»=3( Х цф») — Х цМ» » ос+! яс+! »=и+! можно основное определяющее равенство (9) на стр. 149 записать в виде яс л ч", Р~,— ~ д»йд„— йч= ! » я!+! с Л = с ( ~~~'„рс Вдс — 'Я су 3р, — Нйс)) — 3У, (4) с-! в-с+! где У вЂ” с'+,а „'Ч,р» — е Х »=т+! в=с+! Поскольку все 4л величин (1) выражаются через 2л величин (3), то мы можем считать, что У есть функция от величин (3).
Тогда из тождества (4) легко находим — — евс, д — — — ейв д = сду дк = су» (6) дУ д0 дУ дУ (1 = 1, ..., д й'=1+ 1, ..., и; 7=1, ..., т; й=т+1, ..., и), Формулы (6) эквивалентны формулам (2) и определяют рассматриваемое каноническое преобразование с помощью валентности с и производящей функции У от независимых величин (3). Ниже мы докажем математическую лемму, согласно которой из 4л величин (1), связанных преобразованием (2), всегда можно выбрать 2л независимых так, чтобы среди выбранных величин не было ни одной паРы сопРЯженных йс, Рс илв 176 !гл. !ч кАноничзскив ПРБОБРАЗОБАния рг, р,').
Тогда при надлежащей перенумерацни координат д„ 9» (г, й=1, ..., и) н соответственной перенумерацнн импульсов ро р» (1, 5=1, ..., и) выбранные 2п независимых величин можно представить в виде (3). Поэтому для произвольного канонического преобразованпя имеют место формулы, которые могут отличаться опт формул (6) лишь нумерацией величин (1) ч). Подобно тому как это было сделано в 9 25 для свободного канонического преобразования, можно показать, что и для произвольного канонического преобразовзния определитель порядка и, составленный нз смешанных производных второго порядка от производящей функции Ц отличен от нуля а). Поэтому первые п уравнений (6) могут быть разрешены относительно величин чр «» (1= 1, ..., т; Ь= = пт+ 1, ..., и).
После подстановки полученных выражений в последние и уравнений (6) мы представим уравнения канонического преобразования (6) в виде (2). Сформулируем н докажем лемму, на которую мы опирались при получении структурных формул (6) дая пронзвольного канонического преобразования. Лемма. Если даны 2п независимых функций чо ..., дп, «„..., «„огл 2п независимых величин уо ..., рю р„..., р„, шо из ап величин дг, рг, дг, р! (1=1, ..., и) всегда можно выбрать 2п независимых шан, чгаобы средй них не было ни одной пары сопРЯженных (9», Р,) или (ды «»).
') В книге Голдстепна (Голдс тейп Г., Классическая механика, М., 1957, стр, 262) утверждается, что прв произвольном каноническом преобразоваяии в качестве системы 2п независимых величии всегда может быть взята одна нз четырех систем: йг н йг, 9! и Рб Р! н Ь р; н «! (1=1, ..., и). Ошибочность этого утвержденна можно усмотреть из простого примера канонического преобразования 9,= — ро «,=до 91=9» «т=р! (1=2, ..., и). ') Это положение приведено Каратеодори в его книге (Са га!Ьео до г у С., Чаг!ат!опагесЬпппд ппд рагг!е!1е1!!!!егепг!а!91е!спппКеп егз!еэ ОгдпппК, 2 йп(!., В. 1, 1956, 6 96), однако лемма, на котороз основано наше доказательство (см, виже), установлена Каратеодорн для частного случая, когда переход от переменных дг, р! к переменным йь р! (1= 1, ..., и) является каноническим преобразованием.
дгц тл ') Это условие можно записать так: де! ( д ) ~ О, дг;дгь )г,»= ! если через г„ ..., г„, г„ ..., г„ обознзчить соответственно величины (3) а том порядке, з каком онп были выписаны выше (см. (3)). а з91 СТРУКТУРА КАНОНИЧЕСКОГО НРЕОБРАВОВАНИЯ 177 Доказательство. Допустим противное, т. е. допустим, что любые 2л из рассматриваемых величин, среди которых нет ня одной пары сопряженных, всегда зависимы.
Тогда выберем я+ьт независимых из данных 4л величин таким образом, чтобы первые л не имели значка , а последние !т имели этот значок, причем выберем эти л + !т величин тзк, чтобы среди ннх не было сопряженных и чтобы число !1 имело наибольшее из всех возможных значений. Согласно допущению !т ( л. Поскольку, не изменяя ни условия, ни утверждения леммы, можно поменять ролями две сопряженные величины !7! и р! или !7! и Рь, а также сделзть произвольную перестановку индексов 1, ..., л как у величин !7н рь так и у величин й, Р!, то можно считать, что вмбранными являются следующие л+ !т величин: Р! "!7лй! "Фй Ф и).
(7) Ряд величин (7) назовем максимальным базисом. Очевидно> что В=У(Р! " !7л й " й) (7 = г(+ 1, ..., л), (8) 1!)=У.(ч! " !7л !7! " й) где у" — знак функциональной зависимости '), Пе нарушая общности, можно считать, что из величин Рь "!Рл Рн .!Рю не входящих в формулы (8), величины Рн " ! Рл гл!! °" ! Рь (а(л! Ь~!7) (0) являются функциямн от базисных величин (7), а каждая из величин (10) Рл«" !Рл Рь+! "!Рл независима по отношению к базису. Таким образом, Рь=ПР °" Рл Ф " й) Рь=У(!7 " Р ° Ф " М Покажем теперь, что величины !ул+„..., й, !уьь!, ..., й, сопряженные лнезависймым! величинам (1О), фактически не входят ') В разных формулах одной и той же буквой у обозначаются различные функциональные зависимости. 178 КАНОНИЧВСКИВ НРВОБРАЗОВАНИЯ [Гл.
!у в правые части формул (8). Действительно, пусть, например, дл (Л ) а) фактически входит в выражение для некоторого «у (у) гу): «у=у(". ~ «л~ ") Тогда система величин дь ..., «л ь «л+ь ..., «н, «ь ..., «ю «у экзизаленглна базису (7): («ь "~ «л-г «лы ". Чл «ь " ~ «л «1) ео оо(дь ..., дя, «ь ..., «л), (12) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
