Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 20
Текст из файла (страница 20)
а 22! УниВеРсАльный интегРАльный ннзьгню!т ! 37 Вместо фазового пространства рассмотрим отдельно и фазовых плоскостей (!7г, р,) (1= 1, ..., и). Спроектируем произвольный замкнутый контур Р, расположенный в фазовом пространстве, на эти плоскости (рис. 87). Получим контуры Р, (1=1, ..., и). Тогда для любого 1 где Я! — площадь области, ограниченной контуром Р; в плоскости (!7!, р;) (1= П ..., и). Направление обхода контура Р индуцирует направление обхода на проекции РР В формуле (2) перед Я! берется знак плюс, если контур Р! обходится по часовой стрелке (т. е.
в направлении кратчайшего поворота оси р, к оси д!), и знак минус — в противном случае. Тогда Таким образом, при движении системы меняются контуры Р и Рв изменяются и площзди Ю!, но алгебраическая сумма (3) этих площадей остается неизменной. Это н есть геометрическая интерпретация инвариантностн интеграла Пуанкаре. В выражение для 7! не входит гт'. Следовательно, интеграл Пуанкаре 1, является инвариантом для любой гамильтоновой системы. Поэтому интеграл 1, называется универсальным интегральным инвариантом. Нетрудно доказать и следующее положение.
Если для некоторой системы дифференг1иальных уравнений "Р! О (1 гуь Рь) Р (1 Ыь) (1 1 и) (4) интеграл 1, является пнвариантом, то система (4) является гампльтоновой. 138 ВАРИАЦИОИНЫВ ПРИИЦИПЫ !гл. и! Действительно, в этом случае = "- 1, = ~ 'У' ~ — '' 8,1!+ р, — ' й,) = 1 ! л л = ~ у' фья1,. + р,й ~ф = ~ '~ (ф 811,.
— ф йр,.~ = 1 1 1 1 л = е),~ (Р1 з!11 — гч йр1). 1=! Отсюда следует, что выражение, стоящее под знаком интеграла, является полным виртуальным дифференциалом некоторой функции — Н(1, «1», р„)'): Х 1Р1811 — ййрг)= — 8НЮ ч рь)* 1=! т. е. О,= а —, Р,= — — !1=1, ..., и), дН дН др! ' дя1 что н требовалось доказать. Отметим еще следующие термины: интеграл Пуанкаре— Картана 1 и интеграл Пуанкаре 1! называются ащносительнилн интегральными нивариантами первого порядка.
Термин относительный» означает, что область интегрирования представляет собой замкнутый контур; первый порядок означает, что в вмражение, Стоящее под знаком интеграла, дифференциалм входят линейно. Ззметим, чта Относительный интегральный инвариант первого порядка 1, при помаши формулы Стокса может быть представлен в виде абсолютного интегрального ннварианта второго порядка Ъ! 1дН дН ') Здесь аН= т ! —.-ад1-~- — Ьр! . А~! '!дд1 др; 1' 1 ! гдв инуеграл в правой чаСти бррртся по повирхйасти 8, ограниченной замкнутым контуром Й. с!Та формула в применении к интегралу 1, дает л 1,= ~ ~ ~ Зргйй.
г=! Известно, что в фазовом 2л-мерном пространстве существуют следующие универсальные относительные интегральные инварианты 1за, нечетных порядков и абсолютные интегральные инварианты 1зь четных порядков, )г = ~! лУ;р! ЬЭ! = 1з = ~ ~ ~~~,ЬР Ьэь 1,=ф) ~~ргзйаоьаал=,,У! = ~ ~ » ~ У'ар! Ьйарьа!)ь, 1зл-~ — ф~ф )~~рггьй! "ЬР! Ьй = 1,„= ~ ... ~ Ьр„вй, ... Ьр, Ьй о 1947 г. китайский ученый Ли Хуа-чжун доказал единственность этих универсальных интегральных инвариантов. Он показал, что всякий другой универсальный интегральный инвариант отличается портоянным иножителен от одного из перечисленных интегралов '). Нам в дальнейшем понадобится теорема Ли Хуа-чжуиа для иитегральиого инварианта первого порядка; поэтому мы формулируем эту теорему для произвольного и и докажем ее для п=1.
Т е о р е и а Л и Х у а - ч ж у н в. Если Г=~ ~~ »А!(1, !уь, рь)з!7!+В!с!1, уь, рз)йр!» ! — универсальный относительный интегральный инваиант, то (6) Р Г=с)„ где с — постоянная, а 1, — интеграл Пуанкаре. Локавзтельство. Пусть Г =$ А(С, й р) Ь!7+В!1, !1, р) ар ') Н ма-Сй л па 1.ее, !птзг!лп!з о! Наш)йоп зуз!еюз апй арр11- са!!она !о где !персу о! салоп!са! !гааз!огщзйопз, Ргос. Коу, 6ос.
64!пооягйя, зег. А, ю 1.Х11, 1947, р. 237 — 247. ь зз1 уииэеРсальиый иитвгРАльиый инВАРиАнт 139 140 1гл. и1 ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ вЂ” универсальный интегральный инвариант. Интегрирование ведется по замкнутому контуру в фазовой плоскости (Ч, р). Пусть, далее, дана какая-либо гамильтоноза система дифференциальных уравнений с функцией Н(1, Ч, Р): дЧ дН др дН Ж др' дг дч' Обшее решение этой системы имеет вид Ч=ЧЮ Чм Ра) Р=Р6. Ча* Ра) (8) где Ч„Р,— начальные значениЯ Ч, Р пРи с=та.
Пусть Ч=Ча(и) Р=ра(и) (9) [0(а(р Ча(0)=йа(7) Ра(0)=р (7)] — уравнения замкнутого контура Г7а в фазовой плоскости (рис. 38). Точки, которые в момент 1=1а находились на контуре Оа, в произвольный другой момент времени т образуют контур Р. Параметрические уравнения этого контура получаются из равенств (8), если туда вместо Ч, и Р, подставить их выражения (9). Сделав это, получим: Ч=Ч(1,а), р=р(т;а) (О~и~)). (10) Подстзвляя эти функции вместо Ч Рис.
38. и р в интеграл Г, мы получим Г как функцию параметра б Из инвариантдр ности Г следует, что — =О. дифференцируя под знаком интегрзла и интегрируя по частям' ), находим дд Г дА дВ и и 0 = — = <у — 3Ч+ — бр+ А — 8Ч+  — 8р = дг $ да дг дг дт ') См. примечание 1 к стр 119. В процессе преобразования мы дА дА дВ дВ полагаем аА = — ад 1- — ар, ЬВ= — аЧ+ — ар и затем исполь- ду др ' 81 ор зуев урааивииа (тд а 221 гниввясальный интягяальный инвариант 141 = ~ — вгу — вА — + — йр — й — = е аА ау ар 3 ту аг аг Ж где дА дВ г — — —— др дгу Последний интеграл равен нулю прн любом значении переменной у, рассматриваемой как параметр, и при произвольном контуре интегрирования.
Поэтому выражение, стоящее под знаком интеграла, должно быть гюлным дифференциалом относительно переменных гу и р. Отсюда или после элементарных преобразований дЛ дУУ дУ дУУ д2 — — 0 др дя +да др + дг Так как функцию Н можно выбрать совершенно произвольно, то дЕ дя дХ д —, =д,— — — й- — б, т. е. Л = — — — = сопау = с. дА дВ =ар а,у = Тогда д (А — ср) аУУ ар =да и, следовательно, сугцествует функция Ф (г, гу, р), такая, что ') (А — ср) йгу+ В йр = — йгу + — йр = 6Ф. дФ дФ дд др ') Здесь время С рассматривается как иарамстр.
142 1гл. ш вллилционныз пгинпипы Но тогда А йд+ Вар= «Р Ъд+ 6Ф и потому 1' = ~ А йд + В йР = с ~ Р лд = с1о что и требовалось доказать. При л .ь 1 идея доказательства сохраняется, хотя само доказательство становится более сложным. 2 23. Инвариантность объема в фазовом пространстве. Теорема Лиувилля Рассмотрим «полный» абсолютный интегрзльный инвариант Инвариантность этого интеграла овначает ннвариантность фазового объема в 2п-мерном фазовом пространстве и устанавливается следующим образом ').
Запишем конечные уравнения движения, получающиеся после интегрирования уравнений Гамильтона, в следующем виде; ~1 «л «) ~1 о Р«л) ~1 1 ) Р) где дл, 14 — начальные значения дл, Р„при1=1« 1л=!, ... ..., и). Выберем в фазовом пространстве некоторый объем лл и примем каждую точку из этого объема за начальную 1йри Тогда преобразование (2) к моменту времени переводит обьем Ул в объем Х При этом 1= ~ ° ° ° ~ 1 ад~ йР~ ° ° . Глдл лРи Х где ') В дальнейшем (сн, Э 31) ннлариантносгь фазового объема будет усталоллеял, исходя ил общих свойств движения гамильтонолых систем.
143 теОРемА лнупилля % лз1 Подсчитаем производную от якобнана У: яя )лт,, =,~~~ !11!1-11 1 -1 где у1 — определитель, получаемый из якобиана дифференци- рованием 1-й строки. Учитывая теперь, что 3дх1! = Здрав~ =О, 1' при 1ф/ 2' при любом 1 3' при любом 1 находим: !У1~, ы.=~ — -! для 1=и+1, ..., 21к дР1 Р~ 1-11 ') В доказательстве на стр. 186 — 186, упомянутом в предыдущем примечании, не требуется каких-либо предположений об оеобых точках. т. е. 1 является якобианом, составленным из частных производных от 1уу, ру по начальным данным 1)т, р1 (е,у= 1,..., и).
Без нарушения общности, мы можем счнтатть что якобиан, стоящий в равенстве 13) под знаком интеграла, положителен, и опустить анак абсолютной величины. При 1 =1е этот якобнан равен 1, поскольку при этом значении г все уь= ол и ре=рь. При изменении 1 якобиан изменяется непрерывно, не обращаясь в нуль, так как особые точки, в которых этот якобиан мог бы обратиться в нуль, исключаются из рассмотрения, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
