Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Доказывается '), что если точка М, выбрана достаточно близко к М„ то через Мо и М, проходит один прямой путь. Но при достаточном удалении точки М, от Мо через М, и М, может ') См. Бобылев Д. Ко О начале Гамильтона или Остроградского и о начале наименьшего действия Лагранжа, Приложение к т. ЬХ! Зкн. Ак. наук, СПб, 1889. 112 идвиьционныи пгинципы !гл. ш проходить два прямых пути или даже целый пучок прямых путей. Такое положение М,* точки М, называют сопряженным кинетическим фокусом для М,. Установлено, что действие вдоль прямого пути МэМ, имеет наименьшее значение по сравнению с окольными путямгй если на дуге МэМ, нет сопряженного для М, кинетического фокуса М,*.
В П. Вторая форма принципа Гамильтона Остановимся еще на одной форме вариацнонного принципа Гамильтона. Вместо (и+ !)-мерного расширенного координатного пространства рассмотрим (2п+ 1)-мерное расширенное фазовое пространство, в котором координатами точки являютсн величины йь р! («= 1, ..., л) и Г. В этом пространстве рассмотрим прямой путь, проходящий через две точки В»(вг«, ро г,) и В«(в«о р,'., г,), а также всевозможные другие кривые, соединяющие эти точки («окольные» В! пути; см. рис. 32, и=1). Функции йй (Г) и р; (Г) (1 = / = 1, ..., и), задающие прямой I путь, удовлетворяют уравнениям т / Гамильтона ! / д«)! дгт' д) др;' да вр! дН дг дйй — — — («=1, ..., и), (1) р» Введем в рассмотрение функцию от 4п+ 1 независимых переменных Вэ (г, дь рь «)г, р!), определяемую равенством ') т! и Рис.
32 Уа= ~', Р!д! — гг(г,АР!). (2) ! ! С помощью этой функции канонические уравнения Гамильтона (!), как легко видеть, могут бить записаны в форме Лагранжа: — — — — =О, — —.— — =О («=1, ..., я'!. (3) !( дй" дй* «1 дй* дй" дс д!)! д!у! ' дт др! др! ') В правую часть рэвенства (2) величины р; фактически не входят. Поэтому функция В* в данном случае от этих величин ие дй» зависит и —.=О (1=1, ..., п).
др! ОСНОВНОЙ ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ 118 в сн Так как прямой путь характеризуется уравнениями (3) типа Лагранжа, то как было установлено ранее, прямой путь в расширенном фазовом пространстве выделяется среди окольных путей тем, что для него интеграл 5*(с, ыъ А, рй дт сс имеет стационарное значение (4) л в ~5 ос=в ~ ('~ рсдс-н) ос=о. сс ср !=! (5) й 18. Основной интегральный инвариант механики (интегральный инвариант Пуанкаре — Картана) Выведем формулу для вариации действия 3)6' в общем случае, когда начальные и конечные моменты времени, так же как и начальные и конечные координаты, не фиксированы, в являются функциями параметра ш (а = Гв (а) !)св = ус! (а) (!=1...,, и).
) (1) с! = С! (а)„су,' = су! (а) С первого взгляда может показаться, что вторая форма (5) для принципа Гамильтона ничем не отличается от первой ЕЮ'= О, поскольку, согласно формуле (8) на стр. 85, выражение й* совпадает с функцией А. Однако это не всегда так, Это справедливо лишь длЯ движений системы, т, е. дла таких пУтей йс = дс(т), рв=рс(с) (1=1, ..., и), у которых функции дс(т) и р! (с) связаны соотношениями р;= — — (1=1, ..., и). дс' (6) оу! Однако прн второй форме принципа Гамильтона (в отличие от первой!) я сравнению лопускаются в качестве окольных путей произвольные кривые (2и+ 1)-мсркого расширенного фазового лросшрансюва, проходящие через точки В, и В,.
Для этих путей соотношения (6) могут не выполняться, н потому в общем случае для них Ев~(.. Если же в формуле (5) ограничиться только теми окольными путями, для которых имеют место равенства (6), то вторая форма принципа Гамильтона переходит в первую Ввс = О, Заметим еще, что в отличие от точек М, и М, в первой форме принципа Гамильтона точки В, н В, не могут быть выбраны произвольно, так как через две произвольные точки расширенного фазового пространства а общем случае прямой путь провести нельзя.
Точки В, и В, выбираются на том прямом пути, для которого формулируется йринцип Гамильтона. 114 влгилцнонныа пвинципы !гл. !и б В атом случае, дифференцируя интеграл %'= ~ Е Ш по паи раметру а и интегрируя по частям, находим !! М! В%У=В ~ ЕЙ= ы ы! и дЕ дЕ =Е!В!! — ЕаВ!а+ ) ~, ~д — Вч!+ д Ц!) Ж= ы г-! л а = Е!ВЕ!+,~, Р[ [ВЧуЪ - г, — ЕоВЕа — ~~, Р[ [ВМ - ы+ а=! 1=1 Ф! в +~ ~~дЕ ддЕ ы [Во![ =!~-гЕ (Е, в)~ Ва (1=1, ..., гг, Л=О, 1), (3) Гд С другой стороны, для вариаций конечных координат !)1=4[[1!(в), а) имеем формулы или М=[ВЕ!Ь-и+ИВЕ! (1=! " и) Отсюда [Вг)!)г и — — Вф — ЦВЕ! (1=1, ..., л).
(4) Совершенно аналогично [ВЧ![! и=Вы! — ФгВЕе (1=1, ..., л). (5) Подставляя выражения (4) и (б) для !ВЧгЬ=с! и [ВЧЬ-ы в выражение (2) для В%", выражая, как обычно, !)! через р, и замечая, что л ч~', р д! — Е= Н, ! ! основной интагяальный инвланант 118 а па получаем следующую формулу для вариации действия 6%' в общем случае: л 1, л ~1+ ~ 1р (дУ. д дУ.) ! 1 !а ! где ~ ~ч ', р1Ьу! — Н 81~~ = 1=1 л а = у,' р1 8!у! — Н! 8У! — ~~', рУ 82! + На йта ! 1 В частном случзе, когда для любого а соответствующий путь является прямым, т. е.
когда гу1=д1(г,а) (1=1...„и)— семейство прямых путей, интеграл в правой части равенства (6) равен нулю при любом а и формула для вариации действия принимает следуюший простой вид: 8~'= [ ~Л'„! р! йт! — Н 8!~а) 1-1 Вместо расширенного координатного (и+ 1)-мерного пространства возьмем расширенное фазовое(2и+1)-мерное пространство, в котором координатами точки будут величины 1у1, рг (1=1, ..., и) и й В этом пространстве возьмем произвольную замкнутую кривую Са с уравнениями ,у1=ру(а), р1=ру(а), у=у,(а) (8) (1=1, ..., И! 0~ а(У). Здесь при а=0 и а=у имеем одну и ту же точку кривой См Из каждой точки кривой Са, как из начальной, проведем соответствующий прямой путь. Такой путь однозначно определяется (после задания начальной точки) из системы канонических уравнений Гамильтона.
Получим замкнутую трубку прямых путей (см. рис. 83, и= 1) гу! = !у1(г, а), р! =р,(У, а) (У = 1, ..., и; 0 ~ а ~ У), (9) где у! (1, О) ж <у! (Г, у), р! (1„0) ж р! (Г, у) (1 = 1, ..., и). 116 !гл. пт влнилыиоинын пниниипы Иа этой трубке произвольно выберем вторую замкнутую кривую Сь охватывающую трубку и имеющую с каждой образующей лишь одну общую точку. Уравнения кривой С, можно ззписать в виде') Сс д.
— стст (а) р — р) (сс) 1= ~! (а). (10) / Рассмотрим дейстl « вне В' вдоль образующей / трубки от кривой Са до кривой СС! СС Са! Ю' = ~ С'. ССС. С, !«! Тогда при любом а, согласно формуле (7), 31«т= 'нУ'(и) Вц= ~ф л Рис. 33. = (;У', рс йсус — Н311,'. «=1 Интегрируя это равенство почленно по к в пределах от а=О до а=1, получаем С л О= йУ(1) — 13'(О) = ~ [ ~ р, арс — Н31~ = а С л С л = ~ [~ рсйо! — Н,31,~ — ~ ['У'р,"371 — Н,31,~= С-! а =с~ [~ рс 3сус — Н311 — $ [~ р,йсус — НМ~, « ~«С=! л л !~ [~ райс)с — Н31~= $ [ Кт рс 3с1с — И31).
(11) с«с ! С, ') Каждому значению л из интервала О~л(С соответствует определенаая «образующая« трубки (прямой путь), а иа втой образующей имеется только одна точка кривой Се Понтону каждому значению л отвечает только одна точка кривой С„ т. е, координзтй точки кризой С, являются функциями параметра л.
основной интвгглльный ннвлгилнт 111 а 181 Таким образом, установлено, что криволинейный интеграл л 1= ~ ~ ~~Г' рг 31!г Н3!], (12) взятый вдоль произвольного замкнутого контура, не меняет своего значения при произвольном смещении (с деформацией) этого контура вдоль трубки прямых путей, т. е. является интегральным пнеариантом. Интеграл 1 мы будем называть интегральным инварггантом Пуанкаре — Картина. Докажем теперь обратное предложение. Пусть известна, что прямые пути определяются системой дифференциальных уравнений первого порядка Я,= —, Р;= — е — (1=1, ..., л), (14) дН дН дрг ' т. е.
докажем, что уравнения (13) являются каноническими уравнениями Гамильтона с той функцией Н, которая входит в выражение под знаком интеграла !. Для доказательства введем вспомогательную переменную (параметр) р, дополнив систему (13) еще одним уравнением: дг! д4 др .
др Ф вЂ” — — — — и др (15) О, ''' 1), Р, "' Р» 1 Здесь г.=к(1, дн рг) — произвольная функция от точки расширенного фазового пространства. Интегрируя систему Такое предположение является естественным, поскольку движение системы должно определяться однозначно по нзчальным данным ф, р! (1=1, ..., л). Пусть, кроме того, дано, что интеграл Пуанкаре — Картана (12) является интегральным инвариантом по отношению к прямым путям, определяемым системой уравнений (13), т. е. что для любой трубки этих путей интеграл Пуанкаре — Картана, вычисленный вдоль охватывающего трубку замкнутого контура, не изменяет своей величины при произвольном смешении точек контура вдоль образующих трубки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
