Главная » Просмотр файлов » Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике

Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 16

Файл №1119866 Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике) 16 страницаФ.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866) страница 162019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Доказывается '), что если точка М, выбрана достаточно близко к М„ то через Мо и М, проходит один прямой путь. Но при достаточном удалении точки М, от Мо через М, и М, может ') См. Бобылев Д. Ко О начале Гамильтона или Остроградского и о начале наименьшего действия Лагранжа, Приложение к т. ЬХ! Зкн. Ак. наук, СПб, 1889. 112 идвиьционныи пгинципы !гл. ш проходить два прямых пути или даже целый пучок прямых путей. Такое положение М,* точки М, называют сопряженным кинетическим фокусом для М,. Установлено, что действие вдоль прямого пути МэМ, имеет наименьшее значение по сравнению с окольными путямгй если на дуге МэМ, нет сопряженного для М, кинетического фокуса М,*.

В П. Вторая форма принципа Гамильтона Остановимся еще на одной форме вариацнонного принципа Гамильтона. Вместо (и+ !)-мерного расширенного координатного пространства рассмотрим (2п+ 1)-мерное расширенное фазовое пространство, в котором координатами точки являютсн величины йь р! («= 1, ..., л) и Г. В этом пространстве рассмотрим прямой путь, проходящий через две точки В»(вг«, ро г,) и В«(в«о р,'., г,), а также всевозможные другие кривые, соединяющие эти точки («окольные» В! пути; см. рис. 32, и=1). Функции йй (Г) и р; (Г) (1 = / = 1, ..., и), задающие прямой I путь, удовлетворяют уравнениям т / Гамильтона ! / д«)! дгт' д) др;' да вр! дН дг дйй — — — («=1, ..., и), (1) р» Введем в рассмотрение функцию от 4п+ 1 независимых переменных Вэ (г, дь рь «)г, р!), определяемую равенством ') т! и Рис.

32 Уа= ~', Р!д! — гг(г,АР!). (2) ! ! С помощью этой функции канонические уравнения Гамильтона (!), как легко видеть, могут бить записаны в форме Лагранжа: — — — — =О, — —.— — =О («=1, ..., я'!. (3) !( дй" дй* «1 дй* дй" дс д!)! д!у! ' дт др! др! ') В правую часть рэвенства (2) величины р; фактически не входят. Поэтому функция В* в данном случае от этих величин ие дй» зависит и —.=О (1=1, ..., п).

др! ОСНОВНОЙ ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ 118 в сн Так как прямой путь характеризуется уравнениями (3) типа Лагранжа, то как было установлено ранее, прямой путь в расширенном фазовом пространстве выделяется среди окольных путей тем, что для него интеграл 5*(с, ыъ А, рй дт сс имеет стационарное значение (4) л в ~5 ос=в ~ ('~ рсдс-н) ос=о. сс ср !=! (5) й 18. Основной интегральный инвариант механики (интегральный инвариант Пуанкаре — Картана) Выведем формулу для вариации действия 3)6' в общем случае, когда начальные и конечные моменты времени, так же как и начальные и конечные координаты, не фиксированы, в являются функциями параметра ш (а = Гв (а) !)св = ус! (а) (!=1...,, и).

) (1) с! = С! (а)„су,' = су! (а) С первого взгляда может показаться, что вторая форма (5) для принципа Гамильтона ничем не отличается от первой ЕЮ'= О, поскольку, согласно формуле (8) на стр. 85, выражение й* совпадает с функцией А. Однако это не всегда так, Это справедливо лишь длЯ движений системы, т, е. дла таких пУтей йс = дс(т), рв=рс(с) (1=1, ..., и), у которых функции дс(т) и р! (с) связаны соотношениями р;= — — (1=1, ..., и). дс' (6) оу! Однако прн второй форме принципа Гамильтона (в отличие от первой!) я сравнению лопускаются в качестве окольных путей произвольные кривые (2и+ 1)-мсркого расширенного фазового лросшрансюва, проходящие через точки В, и В,.

Для этих путей соотношения (6) могут не выполняться, н потому в общем случае для них Ев~(.. Если же в формуле (5) ограничиться только теми окольными путями, для которых имеют место равенства (6), то вторая форма принципа Гамильтона переходит в первую Ввс = О, Заметим еще, что в отличие от точек М, и М, в первой форме принципа Гамильтона точки В, н В, не могут быть выбраны произвольно, так как через две произвольные точки расширенного фазового пространства а общем случае прямой путь провести нельзя.

Точки В, и В, выбираются на том прямом пути, для которого формулируется йринцип Гамильтона. 114 влгилцнонныа пвинципы !гл. !и б В атом случае, дифференцируя интеграл %'= ~ Е Ш по паи раметру а и интегрируя по частям, находим !! М! В%У=В ~ ЕЙ= ы ы! и дЕ дЕ =Е!В!! — ЕаВ!а+ ) ~, ~д — Вч!+ д Ц!) Ж= ы г-! л а = Е!ВЕ!+,~, Р[ [ВЧуЪ - г, — ЕоВЕа — ~~, Р[ [ВМ - ы+ а=! 1=1 Ф! в +~ ~~дЕ ддЕ ы [Во![ =!~-гЕ (Е, в)~ Ва (1=1, ..., гг, Л=О, 1), (3) Гд С другой стороны, для вариаций конечных координат !)1=4[[1!(в), а) имеем формулы или М=[ВЕ!Ь-и+ИВЕ! (1=! " и) Отсюда [Вг)!)г и — — Вф — ЦВЕ! (1=1, ..., л).

(4) Совершенно аналогично [ВЧ![! и=Вы! — ФгВЕе (1=1, ..., л). (5) Подставляя выражения (4) и (б) для !ВЧгЬ=с! и [ВЧЬ-ы в выражение (2) для В%", выражая, как обычно, !)! через р, и замечая, что л ч~', р д! — Е= Н, ! ! основной интагяальный инвланант 118 а па получаем следующую формулу для вариации действия 6%' в общем случае: л 1, л ~1+ ~ 1р (дУ. д дУ.) ! 1 !а ! где ~ ~ч ', р1Ьу! — Н 81~~ = 1=1 л а = у,' р1 8!у! — Н! 8У! — ~~', рУ 82! + На йта ! 1 В частном случзе, когда для любого а соответствующий путь является прямым, т. е.

когда гу1=д1(г,а) (1=1...„и)— семейство прямых путей, интеграл в правой части равенства (6) равен нулю при любом а и формула для вариации действия принимает следуюший простой вид: 8~'= [ ~Л'„! р! йт! — Н 8!~а) 1-1 Вместо расширенного координатного (и+ 1)-мерного пространства возьмем расширенное фазовое(2и+1)-мерное пространство, в котором координатами точки будут величины 1у1, рг (1=1, ..., и) и й В этом пространстве возьмем произвольную замкнутую кривую Са с уравнениями ,у1=ру(а), р1=ру(а), у=у,(а) (8) (1=1, ..., И! 0~ а(У). Здесь при а=0 и а=у имеем одну и ту же точку кривой См Из каждой точки кривой Са, как из начальной, проведем соответствующий прямой путь. Такой путь однозначно определяется (после задания начальной точки) из системы канонических уравнений Гамильтона.

Получим замкнутую трубку прямых путей (см. рис. 83, и= 1) гу! = !у1(г, а), р! =р,(У, а) (У = 1, ..., и; 0 ~ а ~ У), (9) где у! (1, О) ж <у! (Г, у), р! (1„0) ж р! (Г, у) (1 = 1, ..., и). 116 !гл. пт влнилыиоинын пниниипы Иа этой трубке произвольно выберем вторую замкнутую кривую Сь охватывающую трубку и имеющую с каждой образующей лишь одну общую точку. Уравнения кривой С, можно ззписать в виде') Сс д.

— стст (а) р — р) (сс) 1= ~! (а). (10) / Рассмотрим дейстl « вне В' вдоль образующей / трубки от кривой Са до кривой СС! СС Са! Ю' = ~ С'. ССС. С, !«! Тогда при любом а, согласно формуле (7), 31«т= 'нУ'(и) Вц= ~ф л Рис. 33. = (;У', рс йсус — Н311,'. «=1 Интегрируя это равенство почленно по к в пределах от а=О до а=1, получаем С л О= йУ(1) — 13'(О) = ~ [ ~ р, арс — Н31~ = а С л С л = ~ [~ рсйо! — Н,31,~ — ~ ['У'р,"371 — Н,31,~= С-! а =с~ [~ рс 3сус — Н311 — $ [~ р,йсус — НМ~, « ~«С=! л л !~ [~ райс)с — Н31~= $ [ Кт рс 3с1с — И31).

(11) с«с ! С, ') Каждому значению л из интервала О~л(С соответствует определенаая «образующая« трубки (прямой путь), а иа втой образующей имеется только одна точка кривой Се Понтону каждому значению л отвечает только одна точка кривой С„ т. е, координзтй точки кризой С, являются функциями параметра л.

основной интвгглльный ннвлгилнт 111 а 181 Таким образом, установлено, что криволинейный интеграл л 1= ~ ~ ~~Г' рг 31!г Н3!], (12) взятый вдоль произвольного замкнутого контура, не меняет своего значения при произвольном смещении (с деформацией) этого контура вдоль трубки прямых путей, т. е. является интегральным пнеариантом. Интеграл 1 мы будем называть интегральным инварггантом Пуанкаре — Картина. Докажем теперь обратное предложение. Пусть известна, что прямые пути определяются системой дифференциальных уравнений первого порядка Я,= —, Р;= — е — (1=1, ..., л), (14) дН дН дрг ' т. е.

докажем, что уравнения (13) являются каноническими уравнениями Гамильтона с той функцией Н, которая входит в выражение под знаком интеграла !. Для доказательства введем вспомогательную переменную (параметр) р, дополнив систему (13) еще одним уравнением: дг! д4 др .

др Ф вЂ” — — — — и др (15) О, ''' 1), Р, "' Р» 1 Здесь г.=к(1, дн рг) — произвольная функция от точки расширенного фазового пространства. Интегрируя систему Такое предположение является естественным, поскольку движение системы должно определяться однозначно по нзчальным данным ф, р! (1=1, ..., л). Пусть, кроме того, дано, что интеграл Пуанкаре — Картана (12) является интегральным инвариантом по отношению к прямым путям, определяемым системой уравнений (13), т. е. что для любой трубки этих путей интеграл Пуанкаре — Картана, вычисленный вдоль охватывающего трубку замкнутого контура, не изменяет своей величины при произвольном смешении точек контура вдоль образующих трубки.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
12,73 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее