Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Отсюда видно, что интеграл (7) задает величину потоки вихря через поверхность. Теорема о сохранении циркуляции скорости переходит в теорему о сохранении п о т о к а в и х р я: каждой ограниченной жидкой поверхности соотастлстаусси оирсдслеккия лсличстки потока вихря через эту иоасрхностль '). Лаиженне жидкости с заданным полем скоростей определяется лифференциальными уравнениями †. = и(Г, х, у, с), — =о (Г, х, у, г), †. = т(т, х, у, л).
(9) По отношению к интегральным кривым систелсы (9) интеграл (5) является интегральным инвариантом. Поставим вопрос, какие другие системы дифференциальных уравнений вида Нх ду дс дс Р (ф х, у, г) О (т, х, у, г) )7(Г, х, у, с) ()(ф х, )5 л) наряду с системой (9) облалают тем же свойством, т, е, для каких еще систем интеграл (5) является интегральным инвариантомр Для того чтобы ответить на этот вопрос, введем на траекториях системы (10) параметр р и приравняем, как это делалось в предыдущсм параграфе, отношения (1О) произведению я(Г, х, у, л) др, где я — произвольная функция. Рассмотрим трубку интегральных кривых системы (10) и охватывающий эту трубку замкнутый контур С, лля которого 9=сонат=с. Заметим, что значение интеграла (5) вдоль контура С не зависит от величийы )с=с.
Обозначая буквой д дифференцирование по 1с и проводя те же рассуждении, что и на стр, 119, мы получим, опираясь на ') Отсюда, в чзстностн, следует, что в жидком объеме идеальной жидкости вихри не могут ни исчезать, ни появлятьоя (осли, конечно, силы имею~ потенциал и ииеет место соотношение г =У(р)) ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ В !ф и система (10) примет вид дх ау дг дт Ь ! ( О (13) Интегральные кривые системы (13) носят название вихревых линий. Таким образом, с>тстелта д!тфференциольных уривнений эил.- ревых линий является единственной сиса>смой с д«=0> ио формулы (8): 0 = д 1~ и Вх + о Ву + сс Ьг — Е Вт = = ~ с!и Вх + до Ьу+ дю Вг — дЕ Вт — Ви ах — Вн ду — Ьн> дг + (ди дЕт + ВЕ дт >~ ~ — ( ау+ >! дг+ ~ — + — ) йт ~ Вх+ [ч] Ву+ ~ де дх) ди до дю дЕ -(- [в] Вг + ~ — дŠ— йх — иу — — йг+ — дт~ ЬЕ ое от де дт где коэффициенты при Ьу и Вг получаются из коэффициента при Вх циклической перестановкой.
Заменим дх, ду, дг, йт знаменателями дробей (!0), умноженными на а(т,х, у, г)йт. Так как при любом выборе функции я (е„х, у, «) выражение, стоящее под знаком интеграла, должно быть полным дифференциалом, то оно должно тождественно равняться нулю. Поэтому выражения, стоящие в квадратных скобках, равны нулю (после замены в них дифференциалов дх, ду, дг, дт пропорциональными величинами Р, !е, 12, ()), т. е. имеют место равенства: ,е — >се( Ч- — )с=>, ~ >' ди дЕ "— ' +[д + — )'=' ~ до дЕ и (де+ д ) +(де+ д ) +[дт ' д ) Соотношение (12) является следствием равенств (11), если УфО, и равенств (11) и (Р), если (>'=О.
Равенства (1!) совместно с уравнениями (10) определяют все дифференциальные системы, по отношению к которым интеграл (5) является интегральным инвариантом. Среди этих систем будем искать те, для которых (>'=О, т. е. де=О. То~да из (11) найдем: Р !',) Р Ь >! ч' ПВ [Гл.
и! НАРИАЦИОННЫН ПРИНЦИПЫ отношению гс которой интеграл (5) язлягтся интсгра льным инга иантом '). з этого положения вытекает важное следствие. Возьмем в пространстве (х, у, г, т) произвольную трубку нихревых линий и два охватывающих ее контура С, и С, (рис. 34). В силу инвариантности интеграла (5) относительно вихревйх линий и эх+ о ау+ т Эг — Е Ы = ф и эх+ и ау+ ю Эг — Е ай 1 с, Зададкм произвольно величину «)О и переместим любую точку пространства (х, у, г, т) в точку (х', у', г', т+т), где х', у', г' — координаты в момент !+« той частицы жидкости, которая в момент 1 имела координаты х, у, г.
Прн таком сдвиге вдоль траекторий частиц жидкости вихревые линии перейдут в некоторые новые линии, которые мы назовеи «перемещенными линиями». Взятая нами трубка вихревых линий перейдет в трубку перемещенных линий, а контуры С, н С, — в нонтуры с)» и т)» (см. рис. 34)'). Так как сдвиг осуществлялся движением частиц жидкости, то при сдвиге интеграл (5) не меняет своего значения: КК но тогда х Рт Р» Рис.
34. Можно считать, что т), и Т)« — два произвольных контура, охватывающих трубку перемешеннйх линий. Поэтому равенство (14) выражает инзариангность интеграла (5) по отношению к «перемещенным линиям». При агом вдоль каждой перемещенной ливии, как и вдоль вихревой, от=О. Следовательно, перемещенные линии обладают теми свойствами, которыми, как было показано ранее, могут обладать только вихревые линни.
Значит, перемещенные липин являются вихревыми линиями. При этом время смещения т нвляется произвольным. Таким образом, любая вихревая линия при движении образующих ее частиц жидкости остается все время вихревой. Мы пришли к теореме Гельмгольца, которую можно сформулировать и так! аихрслая линия есть жидкая линия. ') Интеграл (5) является интегральным инвариантом и для других систем (например, для системы (9)), у которых а»тп'О.
') Рассматриваемые здесь трубки вихревых линий расположены з четырехмерном пространстве (х, у, г, т), но па рис. 34 ось т не пзображсна, Ь в11 ОБОЕ!ПЕЬПГО-КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ 127 Попутно мы получили, что с каждой вихревой трубкой связана определенная яннтенснвносгьм определяемая интегралом в ах+ о ау+ в Ьг — ЕЪГ. Веанчяиа этой интенсивности не меняется прн движении жидкости. Всгн буден брать трубку вихревых линий для олного н того же момента времени г (м 0), то интенсивность (15) представляет собой циркуляцию скорости вдоль контура С и ах+о ау+ маг, Е 20. Обобщенно-консервативные системы.
Уравнения Уяттекерв. Уравнения Якоби. Принцип наименьшего действия Мопертюи — Лагранжа Рассмотрим обобщенно-консервативную систему, т. е. произвольную (быть может, и ненатуральную) систему, для которой функция Н не зависит явно от времени. Для нее имеет место обобщенный интеграл энергии Н(оо рь)=й. Этот интеграл аналогичен интегралу сохранения импульса р,=с, который имеет место в случае, когда р, является дг) циклической координатой, т. е. когда — = О. дд, = Исходя из аналогии между переменной времени 1 и циклической координатой, следует ожидать, что с помощью интеграла энергии (1) удастся понизить порядок системы дифференциальных уравнений движения на две единицы. С этой целью рассмотрим обычное (т.
е. нерасшнренное) 2п-мерное фазовое пространство, в котором координатами точки являются величины рн рг (1= 1, ..., п). Ограничимся рассмотрением только тех точек фазового пространства, координаты которыхудовлетворнют уравнению(1) с фиксированным значением постоянно)1 йы Другимн словами, мы ограничиваемся рассмотрением лишь тех состояний системы, которым соответствует заданная величина полной энергии Н(я ч) ваииационныв пяинципы ~гл. ш (4) Тогда основной интегральный инвариант у представится в виде '= ~,~ Р*.ду (2) о ! поскольку, в силу равенства (1), Нй(=й, ~ 31=6. Теперь разрешим уравнение (1) относительно одного из импульсов, например р;. р — К(~уо ° ° д,. Р "° Р, Уоо) (3) и полученное выражение подставим вместо р, в интеграл (2); тогда Ю У= Ц~~~' р,~у, Кйу,~. у =- 2 Но интегральный инвариант (4) снова имеет вид интеграла Пуанкаре — Картана, если считать, что основными координата- мн и импульсами являются величины д и Р (у=2, ..., и), а переменная д, играет роль переменной времени (вместо функции Н имеем функцию К).
Поэтому (см. 2 18) движе- ние обобщенно-консервативной системы должно удовлетворять следующей гамильтоновой системе дифференциальных уравне- ний порядка 2п — 2: — — — = — (У= 2, ..., и). (5) аду дК ар дК ду, дру ' ду, дд. Эти уравнения были получены Уиттекером и носят название уравнений Уитлгекера. Проинтегрировав систему уравнений Унттекера, мы най- дем величины гУу и Ру (У'=2, ..., и) кзк фУнкции от пеРе- менной д, и 2л — 2 произвольных постоянных е„..., ео„,; кроме того, интегралы уравнений Уиттекера будут содер- жать произвольную постоянную Уоо, т.
е. будут иметь вид с7у=9у(Ч» уго е~ ..., еоо.о)~ ру=фуйн уго, ен .. ° еоо-о) (у'=2, ..., и). (6) После этого, подставив выражение (6) в формулу (3), най- дем аналогичное выражение для Р,=ф,(дн Уго, е„..., ео„о). (6') $20! ОБОБщвнНО-консгрватизныз систБмы 129 Таким образом определяются все траектории в фззовом пространстве т. е. геометрическая картина движения. Зав"с"м сть когрдннат от времени Г мы получим из уравао, дтт' нения — ' = — при помощи квадратуры дт др, 1= ) +Ст„,! (' да~ ар, дН прн этом в частной производной — все переменные вырадр, жены через еп с помощью равенств (6) и (6'). Гамильтонова система уравнений Уиттекера (5) может быть заменена эквивалентной системой уравнений типа Лагранжа: др др — —,— — =О (1=2, ..., л), (8) ~д, ад, ад!= где ф= — ), а функция Р (аналог функции Лагранжа) свядот дд, вана с функцией К (аналогом функции Гамильтона) равенством ') Р Р йт " Ч Ч " Чл) — ~~~артЧ! К (9) 1=2 Обратим внимание на то, что система (8) содержит не и, а п — ! уравнений втсрого порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
