Главная » Просмотр файлов » Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике

Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 18

Файл №1119866 Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике) 18 страницаФ.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866) страница 182019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Отсюда видно, что интеграл (7) задает величину потоки вихря через поверхность. Теорема о сохранении циркуляции скорости переходит в теорему о сохранении п о т о к а в и х р я: каждой ограниченной жидкой поверхности соотастлстаусси оирсдслеккия лсличстки потока вихря через эту иоасрхностль '). Лаиженне жидкости с заданным полем скоростей определяется лифференциальными уравнениями †. = и(Г, х, у, с), — =о (Г, х, у, г), †. = т(т, х, у, л).

(9) По отношению к интегральным кривым систелсы (9) интеграл (5) является интегральным инвариантом. Поставим вопрос, какие другие системы дифференциальных уравнений вида Нх ду дс дс Р (ф х, у, г) О (т, х, у, г) )7(Г, х, у, с) ()(ф х, )5 л) наряду с системой (9) облалают тем же свойством, т, е, для каких еще систем интеграл (5) является интегральным инвариантомр Для того чтобы ответить на этот вопрос, введем на траекториях системы (10) параметр р и приравняем, как это делалось в предыдущсм параграфе, отношения (1О) произведению я(Г, х, у, л) др, где я — произвольная функция. Рассмотрим трубку интегральных кривых системы (10) и охватывающий эту трубку замкнутый контур С, лля которого 9=сонат=с. Заметим, что значение интеграла (5) вдоль контура С не зависит от величийы )с=с.

Обозначая буквой д дифференцирование по 1с и проводя те же рассуждении, что и на стр, 119, мы получим, опираясь на ') Отсюда, в чзстностн, следует, что в жидком объеме идеальной жидкости вихри не могут ни исчезать, ни появлятьоя (осли, конечно, силы имею~ потенциал и ииеет место соотношение г =У(р)) ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ В !ф и система (10) примет вид дх ау дг дт Ь ! ( О (13) Интегральные кривые системы (13) носят название вихревых линий. Таким образом, с>тстелта д!тфференциольных уривнений эил.- ревых линий является единственной сиса>смой с д«=0> ио формулы (8): 0 = д 1~ и Вх + о Ву + сс Ьг — Е Вт = = ~ с!и Вх + до Ьу+ дю Вг — дЕ Вт — Ви ах — Вн ду — Ьн> дг + (ди дЕт + ВЕ дт >~ ~ — ( ау+ >! дг+ ~ — + — ) йт ~ Вх+ [ч] Ву+ ~ де дх) ди до дю дЕ -(- [в] Вг + ~ — дŠ— йх — иу — — йг+ — дт~ ЬЕ ое от де дт где коэффициенты при Ьу и Вг получаются из коэффициента при Вх циклической перестановкой.

Заменим дх, ду, дг, йт знаменателями дробей (!0), умноженными на а(т,х, у, г)йт. Так как при любом выборе функции я (е„х, у, «) выражение, стоящее под знаком интеграла, должно быть полным дифференциалом, то оно должно тождественно равняться нулю. Поэтому выражения, стоящие в квадратных скобках, равны нулю (после замены в них дифференциалов дх, ду, дг, дт пропорциональными величинами Р, !е, 12, ()), т. е. имеют место равенства: ,е — >се( Ч- — )с=>, ~ >' ди дЕ "— ' +[д + — )'=' ~ до дЕ и (де+ д ) +(де+ д ) +[дт ' д ) Соотношение (12) является следствием равенств (11), если УфО, и равенств (11) и (Р), если (>'=О.

Равенства (1!) совместно с уравнениями (10) определяют все дифференциальные системы, по отношению к которым интеграл (5) является интегральным инвариантом. Среди этих систем будем искать те, для которых (>'=О, т. е. де=О. То~да из (11) найдем: Р !',) Р Ь >! ч' ПВ [Гл.

и! НАРИАЦИОННЫН ПРИНЦИПЫ отношению гс которой интеграл (5) язлягтся интсгра льным инга иантом '). з этого положения вытекает важное следствие. Возьмем в пространстве (х, у, г, т) произвольную трубку нихревых линий и два охватывающих ее контура С, и С, (рис. 34). В силу инвариантности интеграла (5) относительно вихревйх линий и эх+ о ау+ т Эг — Е Ы = ф и эх+ и ау+ ю Эг — Е ай 1 с, Зададкм произвольно величину «)О и переместим любую точку пространства (х, у, г, т) в точку (х', у', г', т+т), где х', у', г' — координаты в момент !+« той частицы жидкости, которая в момент 1 имела координаты х, у, г.

Прн таком сдвиге вдоль траекторий частиц жидкости вихревые линии перейдут в некоторые новые линии, которые мы назовеи «перемещенными линиями». Взятая нами трубка вихревых линий перейдет в трубку перемещенных линий, а контуры С, н С, — в нонтуры с)» и т)» (см. рис. 34)'). Так как сдвиг осуществлялся движением частиц жидкости, то при сдвиге интеграл (5) не меняет своего значения: КК но тогда х Рт Р» Рис.

34. Можно считать, что т), и Т)« — два произвольных контура, охватывающих трубку перемешеннйх линий. Поэтому равенство (14) выражает инзариангность интеграла (5) по отношению к «перемещенным линиям». При агом вдоль каждой перемещенной ливии, как и вдоль вихревой, от=О. Следовательно, перемещенные линии обладают теми свойствами, которыми, как было показано ранее, могут обладать только вихревые линни.

Значит, перемещенные липин являются вихревыми линиями. При этом время смещения т нвляется произвольным. Таким образом, любая вихревая линия при движении образующих ее частиц жидкости остается все время вихревой. Мы пришли к теореме Гельмгольца, которую можно сформулировать и так! аихрслая линия есть жидкая линия. ') Интеграл (5) является интегральным инвариантом и для других систем (например, для системы (9)), у которых а»тп'О.

') Рассматриваемые здесь трубки вихревых линий расположены з четырехмерном пространстве (х, у, г, т), но па рис. 34 ось т не пзображсна, Ь в11 ОБОЕ!ПЕЬПГО-КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ 127 Попутно мы получили, что с каждой вихревой трубкой связана определенная яннтенснвносгьм определяемая интегралом в ах+ о ау+ в Ьг — ЕЪГ. Веанчяиа этой интенсивности не меняется прн движении жидкости. Всгн буден брать трубку вихревых линий для олного н того же момента времени г (м 0), то интенсивность (15) представляет собой циркуляцию скорости вдоль контура С и ах+о ау+ маг, Е 20. Обобщенно-консервативные системы.

Уравнения Уяттекерв. Уравнения Якоби. Принцип наименьшего действия Мопертюи — Лагранжа Рассмотрим обобщенно-консервативную систему, т. е. произвольную (быть может, и ненатуральную) систему, для которой функция Н не зависит явно от времени. Для нее имеет место обобщенный интеграл энергии Н(оо рь)=й. Этот интеграл аналогичен интегралу сохранения импульса р,=с, который имеет место в случае, когда р, является дг) циклической координатой, т. е. когда — = О. дд, = Исходя из аналогии между переменной времени 1 и циклической координатой, следует ожидать, что с помощью интеграла энергии (1) удастся понизить порядок системы дифференциальных уравнений движения на две единицы. С этой целью рассмотрим обычное (т.

е. нерасшнренное) 2п-мерное фазовое пространство, в котором координатами точки являются величины рн рг (1= 1, ..., п). Ограничимся рассмотрением только тех точек фазового пространства, координаты которыхудовлетворнют уравнению(1) с фиксированным значением постоянно)1 йы Другимн словами, мы ограничиваемся рассмотрением лишь тех состояний системы, которым соответствует заданная величина полной энергии Н(я ч) ваииационныв пяинципы ~гл. ш (4) Тогда основной интегральный инвариант у представится в виде '= ~,~ Р*.ду (2) о ! поскольку, в силу равенства (1), Нй(=й, ~ 31=6. Теперь разрешим уравнение (1) относительно одного из импульсов, например р;. р — К(~уо ° ° д,. Р "° Р, Уоо) (3) и полученное выражение подставим вместо р, в интеграл (2); тогда Ю У= Ц~~~' р,~у, Кйу,~. у =- 2 Но интегральный инвариант (4) снова имеет вид интеграла Пуанкаре — Картана, если считать, что основными координата- мн и импульсами являются величины д и Р (у=2, ..., и), а переменная д, играет роль переменной времени (вместо функции Н имеем функцию К).

Поэтому (см. 2 18) движе- ние обобщенно-консервативной системы должно удовлетворять следующей гамильтоновой системе дифференциальных уравне- ний порядка 2п — 2: — — — = — (У= 2, ..., и). (5) аду дК ар дК ду, дру ' ду, дд. Эти уравнения были получены Уиттекером и носят название уравнений Уитлгекера. Проинтегрировав систему уравнений Унттекера, мы най- дем величины гУу и Ру (У'=2, ..., и) кзк фУнкции от пеРе- менной д, и 2л — 2 произвольных постоянных е„..., ео„,; кроме того, интегралы уравнений Уиттекера будут содер- жать произвольную постоянную Уоо, т.

е. будут иметь вид с7у=9у(Ч» уго е~ ..., еоо.о)~ ру=фуйн уго, ен .. ° еоо-о) (у'=2, ..., и). (6) После этого, подставив выражение (6) в формулу (3), най- дем аналогичное выражение для Р,=ф,(дн Уго, е„..., ео„о). (6') $20! ОБОБщвнНО-консгрватизныз систБмы 129 Таким образом определяются все траектории в фззовом пространстве т. е. геометрическая картина движения. Зав"с"м сть когрдннат от времени Г мы получим из уравао, дтт' нения — ' = — при помощи квадратуры дт др, 1= ) +Ст„,! (' да~ ар, дН прн этом в частной производной — все переменные вырадр, жены через еп с помощью равенств (6) и (6'). Гамильтонова система уравнений Уиттекера (5) может быть заменена эквивалентной системой уравнений типа Лагранжа: др др — —,— — =О (1=2, ..., л), (8) ~д, ад, ад!= где ф= — ), а функция Р (аналог функции Лагранжа) свядот дд, вана с функцией К (аналогом функции Гамильтона) равенством ') Р Р йт " Ч Ч " Чл) — ~~~артЧ! К (9) 1=2 Обратим внимание на то, что система (8) содержит не и, а п — ! уравнений втсрого порядка.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
12,73 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее