Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Р») =В, (Р«,М«)=Р„, (Р,М»)=Ру, («1(у д(х) = «11» («(4» Мх) '11в (!4т) ') См. Л авда у Л, н Пятигорский Ля Механика, М.— Л,, !940, стр, 151, ") Здесь и далее в этом примере суммирование проводится по всем точкам системА Пиклнческой перестановкой букв х, у, а получаем аналогичные соотношения 102 твлвненип движения в потенпиальном поле 1гл. и Шесть законов сохранения (! 3) не являются независим ымн. Из соотношений (14') и (14"), следует, что если имеют л1есто интегралы (15) то имеют место и интегралы (16) Ру сь Рь сф~ М,=сь. Конечно, все зто верно для пошекциального силового поля.
В непотенциальном силовом поле из равенств Х=О Ел=О Еу=О (17) не следуют равенства )'=О, У=О, Е =0'). (18) ') Интегралы сохранения (15) имеют место лишь при выполнении равенств (!7). Аналогично интегралы (16) имеют место лишь при наличии равенств (!8). ГЛАВА ГН ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ ф 16. Принцип Гамильтона Рассмотрим произвольную голономную систему с независимыми координатами ан ..., аэ и функцией Лагранжа г.(1 й~ М Интеграл м называется действием (по Галисльтону) за промежуток времени (1„1,), а выражение й аг — элеменгпарнгпм действиемм ').
Так как функция ь имеет вид с=с(г, ао а.) то для вычисления действия (1) необходимо задать функции а„= а; (1) (1=1, ..., и) в интервале времени гэ(га.:;си Лругими словами действие Ф' есть Функционал, зависящий от двилсеньгя системы. Если мы произвольно зададим функции а,=йэ(1)(1=1, ... ..., и), то получим некоторое кинематически возможное (т. е.
допускаемое связями) движение. В расширенном (и+ 1)- мерном координатном пространстве, где координатами являются величины йип и вРема 1, зто движение изобРзжаетса некотоРой кривой. Мы будем рассматривать всевозможные такие кривые— ') Лля натуральных систем й = Т вЂ” П имеет размерность энергии. Поэтому размерность действия есть энергия Х вреняьнснла х длина Х время. 104 !гл. ш влгилционныв п»ннципы «пути», проходящие через две заданные точки пространства М«(1«, Ф) н Мг(1ь 9)) (см. рис. 29 для п=2), т. е. все возможные движения, переводящие систему из данного начального положения (91), которое она занимала в момент времени 1„ в данное конечное положение (о1), которое она ззнимает в момент времени 1» При атом заранее фиксируется начальный и конечный моменты времени 1» и 1ь начальное и конечное положения системы. В остальном движения проневольны.
Если система иатуральная и несвободная, то рассматриваемые здесь движения подчиняются лишь ч г ! г одному ограничению: при й движении системы наложен« ные на точки системы связи не должны нарушаться. Это условие выполняется автоматически, когда мы задаем движение в независимых координатах, полагая уг = Ь =%(1) (1=1, ..., и). Ряс. 29. Допустим, что среди рассматриваемых путей имеется так называемый «прямой» путь, т. е. путь, по которому может двигаться система при заданной функции 1.
(т. е. в данном силовом поле). 1(ля прямого пути функции у; = 9; (1) (1 = 1, ..., и) удовлетворяют уравнениям Лагранжа (2) Все остальные пути, проходящие через точки М, и Мь будем называть «окольными» путями. (На рис. 29 прямой путь изображен сплошной линией, а окольные пути пунктирными линиями.) Мы докажем, что действие Ф" ил«ест для прямого пути энстремалвное (точнее, стационарное) значение 195 ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА по сравнению с онольнымп путллггг. В этом и ааключается принцип Гамильтона '). Рассмотрим произвольное однопараметрическое семейство путей гуг — 9т(С, ) (Сэ~~Са Сб — 7~ ~т С вЂ” 1, ..., и), содержащее в себе при а=0 данный прямой путь; при аф О получаются окольные пути.
Пусть все эти пути имеют общее начало М, и общий конец Л4,: г)г(Сь. а)=97, д,(Си а)=О) ( — (~а~ 1; 1=1, ..., л). Действие К, вычисленное вдоль пути, принадлежащего этому семейству, представляет собой функцию параметра а и Ф'(а)= ~ С. (С,д;(С,а), рг(С,а)) асС. Вычислим аарггацггю действия Ю; т. е, дифференциал по а: и 2~ (д '9~+дд "') '= г( Сэ п гг гг л =2. д 9' +лт л~з (д дг д ) ддг дя~ П и = 1 Х (д — — ~ )89ггСС. (3) гз т г Здесь мы преобразовали интеграл при помощи интегрирования по частям, использовав для этого перестановочность ') Этот принцип содержится в работах У.
Гамильтона, опубликованных з 1834 — 1835 гг. (см. сборник лВариационные принципы механикнм М., 1959, стр. 239). При этом Гамильтон предполагал, что исходная система склсрономпа (он исходил из представления кинетической энергии Г з аиде каадрзтнчной формы от обобщенных скоростей). Для общего случая пестзциопарвых связей этот принцип был сформулирозан н обосноаан М.
В. Остроградским з 1848 г, (там же, стр. 770 †7, 829), В салан с этим данный принцип иногда пззыпавт принципом Гамильтона — Остроградского, 1ОБ 1гл. ш вхгилцнонныв пяннципы операции варьирования 6 и операции дифференцирования по д времени -„: д д д Ц; = 3 — „т о, ((,а) = — — ~у, (1гх) да = =АЫ (~') 1=Ай Прямой и все окольные пути проходят через фиксированные начальную и конечную точки в расширенном координатном пространстве.
Поэтому при 1=1« и при 1=(, вариации 39;=О и проинтегрированная часть обращается в нуль. Из равенства (3) видно, что для прямого цути, т. е. при а = О, выражение, стоящее под знаком преобразованного интеграла, в силу уравнений Лагранжа, равно нулю. Поэтому для прямого пути ВВ'=О. (4) Это и есть математическое выражение принципа Гамильтона.
Имеет место и обратное утверждение: если для некоторого пути 31хг=О, то этот путь является прямым. Лействительно, вследствие произвольности вариаций 39; (1=1,..., и) (они на концах равны нулю, в остальных же точках пути совершенно произвольны) из условия ЬФ'=О, в силу равенства (3), следуют равенства (2), т. е. уравнения Лагранжа для прямого пути. Поскольку из принципа Гамильтонз вытекают уравнения Лагранжа в независимых координатах (и наоборот), то принцип Гамильтона может быть положен в основу динамики голономных систем ').
Прямые пути, т. е. «истинные» движения при заданной функции А, могут быть охарактеризованы как при помощи дифференциальных уравнений движения в форме Лагранжа, так и при помощи вариацнонного принципа Гамильтона. Однако между дифференциальными уравнениями движения и вариационными принципами имеется одно принципиальное различие. ') Приведенная выше формулировка вринцнпа Гамильтона предполагает (в случае натуральной системы) существование потенциала снл.
Более общая формулировка принципа, охватывахвцая и случай ненотенциальных сил, будет дана ниже (формула (9) иа стр. 1091. 107 пьинцип Глмилътонл а 1в1 6$ (.(г, д1, д,)й(=б. сс Для обоснования принципа Гамильтона были использованы уравнения Лагранжа в независимых координатах. Сами же зги урааненяя в случае натуральной системы были получены нз общего уравнения динамики м (р„— т„г'„) аг„= о. 1 Покажем, как принцип Гамильтона может быть непосредственно обоснован с помощью общего уравнения динамики (5). Тогда уравнения Лагранжа сразу получаются из принципа Гамильтона. Если в выражениях для г„ г„=г„(г, бй (ч=1, ..., Л) вместо аг подставить функции о1(е, а), то г„станет сложной функцией от Г н и.
Продиффсрснцируем се по а, т. е, вычислим вариации и а ~1 д "ао ( =1, ..., с)). жл дг„ л'е дуг 1=! (6) Зтн формулы совпадают с формулами (8) на стр. 44, определяющими виртуальные перемещения точек голономной системы. Таким Дифференциальные уравнения движения выражают некоторую зависимость, связывающую между собой момент времени 1, положение системы, скорости. н ускорения ее точек в этот момент. Если эта зависимость выполняется в каждой точке некоторого пути, то этот путь является прямым. Вариационный же принцип характеризует весь прямой путь в целом. Он формулирует экстремальное (стационарное) свойство некоторого функционала, выделяющее прямой путь среди других кннематически возможных путей. Вариацнонные принципы имеют более обозримую н компактную форму н часто используются в качестве фундамента для новых (неклассических) областей механики.
3 а м е ч а н и е. Дифференциальные уравнения (2) представляют собой необходимые н достаточные условия для того, чтобы равнялась нулю первая вариация ьФ; где интеграл Чг имеет вид (1). В вариационном исчислении уравненг(я (2) называются дифференциальными уравнениями Зйлери для вариационной задачи 109 пгинпип гамильтона Проинтегрируем обе части этого уравнения по Г в пределах от г г, до е=тд тч ~ (ЬГ-)- ЬА) отт — ~ ~~~~ ~жоао,ЬГ„~ =О.
(8) та 1 г (ам о)=г„", г„(то «)=г„' (о=!, ..., Ф). Позтому Ьг„=О прн С=то и при С=со Второй член в равенстве (8) равен нулю, н зто равенство принимает внд оа (ЬТ+ ЬА) М ='О. то (9) Рассмотрим тот случай, когда силы имеют потенциал и = и (г, аут). В атом случае ЬА — ЬП, где ьп — виртуальный дифференциал (вариация) функции п (г, а)1) '), и равенство (9) записывается так: оа оа (ьт — ьп) да = ~ ьу. а = О, оо откуда е, ь(р-ь 1 еа= 1 ь).да=О. оо то Таким образом, основное уравнение динамики (5) привело нас к принципу Гамильтона ЬФ'=О, а отсюда, как былоо указано выше, сразу получаются уравнения Лагранжа д дб да'. — —; — — =О (1=1, ... л), и ') То есть ЬП= —. ьа)ю у ди дот о О Здесь [ )т т' означает разность между значениями (при и с=то) выражения, стоящего в квадратных скобках.
Но прн о=го и т = т, радиус-вектор г„ не варьируется, поскольку начальное й конечное положения системы заранее фиксированы: 11О 1ГЛ. гн ВАРИАЦИОННЫЯ ПРИНЦИПЫ В случае непотенпиальных сил О! для получения уравнений Лагранжа следует исходить из равенства (9) [вместо равенства (4)[. г, Применяя к интегралу ~ ЬТт формулу (3) [с заменой фуикпии Е го функпней Т(г, в)г, о)!)) и используя выражение для элементарной л работы активных сил ЬА= ~ !)гадь мы найдел! в ! г! л Ь, !дг-[-~— — дг Д вЂ”.) вест=0. о в ! (10) Отсюда, в силу произвольности величин Ье! (1=1, ..., и), должны быть равны нулю выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла (10), т. е.
для прямого г пути должны выполняться уравнения Лагранжа ддТ дТ М дд! дл! (! = 1, ..., и). (1 1) ,в ).вв Е = — = — (фв+ з!и' р ра). Е(ля прямого пути в! дЕ дЕ. дй — — — — = О и —. = соня! Йдф дч дф (ф — Циклическая координата), ф — з!и р соз Р~Р=О, т. е. з!и' о й = з!и ' ео йз. у Выясним, является ли значение действия для прямого пути наггменьтггм по сравнению с окольными путями. Рассмотрим в качестве при- мера движение несвободной мапо териальной точки, вынужденРис.
31. ной двигаться по сййере при от- сутствии силового поля (движение по инерции на сфере). Пусть масса точки т = 1. В сферических координатах (рис. 31) ПРИНПИП ГАМИЛЬТОНА а !о! Без нарушения общности можем считать, что для прямого пути начальная скорость по направлена по меридиану (ф=сопа1), т. е. фо=О; тогда ф = О, ф = сопз1 и пт = Ятфо = сопя!. Таким образом, прямой путь представляет собой равномерное движение по дуге большого круга. При этом с, ~ок 1" ор 2 (и по) о~— 1 Г о =по (и — по) с(1+ — ~ (и — по) сЫ.= 1 г о го ~по ) (тт — по)с(с=по(аок аор). то Длина дуги большого круга аор меньше длины а,к любой другой кривой на сфере, соединяющей те же точки М, и Мн Поэтому ~ кр ( 1ок' Однако это справедливо лишь тогда, когда а„р — — с тМоМт ( (кгс.
Если а„р)к)с, то Ю„р уже не всегда будет меньше В',„, а наименьшее значение действия %' будет достигаться на дополнительной дуге большого круга„ которая в этом случае будет представлять собой кратчайшее расстояние между Мо и Мн Если будем двигать точку М, по дуге большого круга, увеличивая эту дугу, то критической точкой Мо (до втой точки )уг„р бУдет минимУмом, а после пеРехода точки М, через Мо уже не будет таковым) является точка, диаметрально противоположная точке М,. Аналогично обстоит дело и в общем случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
