Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Гамильтоном в 1884 г. ') Р11!1олорй. Тгаоя,, !854. Переход от переменных х; к переменным уг (1=1, ..., й), о котором идет речь в теореме Донкнна, часто называют преобразованием Лежандра. ') Предполагается, что з левой части формулы (13) асе х! выражены через уг, т. е. что 1' 1'(у„..., рл). $ !т! КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА в- переменные х„..., хл через у„..., у„: хг .11(у!..., ул) (1=1..., «). (16) Пусть функция 1'(ун ...,ул) определяется формулой(13), в которой переменные хг заменены выражениями (15). Тогда л л л «-! * ! А=! Но, согласно равенствам (11), две суммы, стоящие в правой части этого равенства, взаимно уничтожаются и, следовательно, имеют место формулы (12).
Пусть теперь Х содержит помимо переменных х„..., хл еще параметры а„..., а . Тогда эти параметры фигурируют в прямом преобразовании (11), а следовательно, я в обратном: ХГ=Г1(У1, ..., У„; ан ..., ам) (1=1, ..., Л). Функция У определяется равенством (13), в котором хг заменены на уг(у„..., у„; а„..., а ); поэтому') л —,".= —,' ~~;Уг — Х) = 1 ! л л =Х . Х-.. дхт т~ч дХ дхг дХ дХ 1-! 1 ! Теорема Донкина доказана полностью. Используем теорему Лонкина для перехода от переменных Лагранжа к переменным Гамильтона, заменяя в теореме функцию Х на С, переменные х„..., хл — на д„..., 1)ю пара- МЕТРЫ а„..., а — На 1У„..., О„, 1, ПЕРЕМЕННЫЕ Ут,...,Ул— на р„..., рл и, наконец (с учетом примечания 3 на стр.
86), л л фуНКцнЮ т = '~', Хтут — Х вЂ” На Гт'= ~Ч ', р1д1 — 1.. ТОГда 1 ! 1 1 дУ ') Прн вычисаеняи производной — величины у„..., ул расдлу Снетрнваютсв вав постоянные, 88 гвлвнания движвния в потвнцилльном пола 1гл. и по теореме Донкина (гессиан функции Е относительно >7> (1=1, ..., и) не равен нулю!) из формул (1) следует: дН дЕ дН >)= —, — = — — (>=1, ..., н), (16) дЕ дН ду (17) Равенства (16) и (! 7) представляют собой тождества, являющиеся следствием связи (1) между обобщенными скоростями н обобщенными импульсами.
Но уравнения Лагранжа могут быть, в силу (1), записаны так: — — (=, ...,.). д,в; 'дЕ >и д>)> (18) Эти уравнения совместно с равенствами (16) и приводят нас к каноническим уравнениям Гамильтона — — — — — (1=1, ..., и). (19) д)> дН ир> дН де др> ' дг ду> Помимо уравнений Гамильтона мы получили тождество (17), которое будет использовано в дальнеишем. Из уравнений (!9) следует тождество > 1 Назовем систему обобщенно-консервативной, если функция Гамильтона Н не зависит явно от г, т. е, если Н= Н(>7>, р>). В атом случае -- = О ) и, следовательно, в силу тожде- дН ства (20), — =О, т. е.
нри движении системы дН дт Н(>уи р>) = сопя( = )>, (21) ') Из равенства (17) следует, что для обобщенно-ковсерватив- дЕ иоа системы и — =>О> т. е. С ие входит явно и а функцию Лада гракжа Е. кАноничискиз угазниния гАмильтонА 89 а !а! н дй — - !) — Е = дд! э=! л — п мч дЕэ.
ст дЕ, . э!+ с ' !)! — Еэ — Е! — Еь. Н= ~) р,ф — Е= ! ! Но по теореме Эйлера об однородных функциях') Х--; = дЕ,. 'Ю дЕ, д~-' У! = 2Еь ~~ дл. 'э'! = Еп г=! ь 1 Поэтому окончательно для произвольной натуральной системы Н= Еэ — Еь. (23) Пусть Т= Т,+ Тг+ Тэ, Если силы имеют обычный потен- циал П=П(Е, ~у;) или обобщенный потенциал Ъ'= 1г!+П, то Е,= Тэ, Еь= Т, — П, и поэтому Н= Т, — Т, -!- П. (24) Если система склерономна, то Т= Т„Т,=О, и потому Н= т-~-П.
(25) Таким образом, для гмлерономной натуральной системы функция Гамильтона Н предапавляет собой полную энергию '), выраженную через переменные Гамильтона. Рассмотрим теперь консервативную систему, т, е. нату- ральную склерономную голономную систему с не зависящим явно от времени обычным потенциалои снл. ') Си. примечание на стр, 58. '! При наличии обобщенного потенциала Ь'= тс, + П мы попрежпеыу наэыэаен полной энергией величину Т+ П, е пе Т+ К где гг — произвольная постоянная. Функцию Н будем называть обобщенной полной энергией, а соотношение (2 1 ), не содержзщее д или р и включаюшее произвольную постоянную гэ, — обобщенным интегралом энергии. Пля того чтобы пояснить эту терминологию, рассмотрим натуральную систему. Тогда Е является квадратичной функцией (см. равенство (4), $ 11) Е= Еэ+ Ег+ Еь 90 УРАВнениЯ дВижениЯ В потенциАльнОм поле 1гл.
и В этом случае время г не входит явно в выражение (25) для полной энергии Н и потому, согласно равенству (21), имеет место закон сохранения энергии Т+ П = й. (26) Консервативная система является частным случаем обобщенно-консервативной, и в этом частном случае обобщенный интеграл энергии переходит в обычный. Если система склерономна и силы имеют обобщенный потенциал !Г= 1', + П, в котором П не зависит явно от !дП времени 1 ( — =О), то снова функция Н определяется (дг формулой (25) и не зависит явно от й Поэтому и в этом случае система является обобщенно-консервативной и имеет место интеграл энергии (26) ').
П р и м е р. Горизонтальная рейка вращается около вертикальной оси, а вдоль рейки движется груз массы и. Сила, действующая на груз, имеет потенциал П(г), гле г — расстояние груза до осн вращения. Обозначим через в угол поворота рейки, а через (=гнпп — ее момент инерции опюсятельно вертикальной осн вращения. Тогда г и ч — независимые координаты системы и Т = — )та + — и (Г' + г'фт) = — и (г' + (г' + па) а'!. 1,, 1,, 1 2 2 2 Отсюда дТ дТ р = — = ил р = —.
= и (г'+ ня) т, г)г' ' т дф Поскольку система консервативна, то У)=Т+П= ---(Рт+ а )+П(г). рВ Канонические уравнения в данном случае имеют вид р пт от и ' ат и(г'-(- вм) ' ы ( +Р) и() о а интеграл энергии записывается так: рт р„'+ а т, +2иП(г) й, (Л,=2ий). ') См. примечание 2 на стр. 89. 91 $ 1д! УРАВНЕНИЯ РАУСА В 1 3. Уравнен ии Рауси Раус предложил взять в качестве основных переменных, характеризующих состояние системы в момент времени часть переменных Лагранжа и часть переменных Гамильтона.
Переменными Рауса являются величины 1, 91, фн ~уо р„(1=1, ..., ги; а=гл+1, ..., и) (1) ,Напустим, что гессиан функции (. относительно обобщенных скоростей ф„(«малый гесснан») отличен от нуля'): Тогда, применив доказанную в предыдущем параграфе теорему Панкина, получим преобразование, обратное преобразованию (2), а ииенно ()„= — (а = ги + 1, ..., и), д)1 ф«« (4) ') В общем случае это неравенство не следует нз неравенства (!9) на стр.
82, а является дополнительным условием. Для натуральной же системы неравенство (3) вытекает нз того, что я 1 А«= 2 7, а««4«ч« — положительно определенная квадратичная о =1 форма. В этом случае главный минор, составленный яз коэффициентов квадратичной формы: дЧ. 1л бе1 ~ — ) = бе1 (а„-)„"~ должен быть положителен, (здесь ги — произвольное фиксированное число, меньшее и).
Лля того чтобы от переменных Лагранжа перейти к этим переменным, нужно все (), выразить через величины р, (а=лт + 1, ..., и), используя для этой цели соотношения 92 кзлвнзния движения в потенциальном пола 1гл. и где )с=г((1, )и д„фи р„) — функция Раус«, определяемая равенством п Й У> Рацп (5) а-и+1 д1~ дЕ дЛ дЕ дд; дд; ' дд; дд; (1=1, ..., т), (6) д1с дЕ дд„дд, («=тт1 " «) (7) дЛ дЕ дг дг ' Уравнения Лагранжа для координат ц; в соответствии с равенствами (6) перепншутся так: — — — =О (1= 1, ....
т). д дЛ дЛ т дд, дц, (9) Уравнения Лагранжа для координат д„ др„дŠ— — («= +1, ..., ) т дц„ совместно с формулами (4) и (7) дают .~" =д,г" = д («= + 1 '' ' ' «)' (16) дд„дл др„дЛ Уравнения (9) и (10) иди дР Мдд, дд; (1=1, ..., т), (11) («=и+1, ..., «) Ла С% др„дЯ дра дв два образуют систему уравнений Рауга. Она состоит из т дифференциальных уравнений второго порядка типа Лагранжа н здесь знак означает, что все д„выражены через р„. Прн этом переменные 1, ц« ~у„, д~ (1 = 1, ..., т; «= т+ 1, ..., «) рассматриваются как параметры и потому, в салу той же теоремы Йонкина, 93 а и1 цикличвскив коогдинлты 2 (и — т) дифференциальных уравнений первого порядка типа Гамильтона, причем функция Рауса в первых уравнениях играет роль функции Лагранжа, а во вторых — функции Гамильтона ').
8 14. Циклические координаты Координата д„ называется циклической, если она не входй дит явно в функцию Лагранжа А, т. е. если — =О. д>)„ При выводе уравнений Гамильтона и уравнений Рауса были установлены равенства дй дН дН до д>у, дв ' Иэ этих равенств следует, что частные проиаводные —, дй д>)„' дН дй д>)„д>)„ — и — могут обращаться в нуль только одновременно. Поэтому циклическая координата может быть также определена как координата, не входящая явно в функцию Гамильтона Н или в функцию Рауса Н.
Все эти определения эквивалентны. Обобщенный импульс, соответствующий циклической координате у во время двизкения сохраняет постоянное значение. Действительно, иэ канонических уравнений следует: дра дН д1 дв,, т. е. р„=сопя(=е Допустим теперь, что имеется г = и — т циклических координат у, (а= т+ 1, ..., и). Циклические координаты >у„ не входят явно в Н, а соответствующие этим координатам >) Если мц хотим сохранить связь между обобщенными импульсами и функцией Лагранжа, то следует считать, что в первых уравнениях (11) роль функции Лагранжа играет функция — Н, поскольку> согласно формулам (6): дй д( — И) д' дй й> я> 94 ьяьвнвння движения в потенциальном пола 1гл.
п импульсы р, могут быть заменены постоянными се Тогда' ) Н Н(1, аь рь с ). (2) Выпишем канонические уравнения для нециклических координат — — — — —;!= 1, ..., т). (3) Ьг, дн Ерт дН ЕГ дрт ' дт дцт Из структуры (2) функции Н следует, что уравнения (3) представляют собой систему из 2т дифференциальных уравнений первого порядка с 2т неизвестными функциями дь р, (1=1, ..., т). Проинтегрировав эту систему, найдем ат = р, (1, с„, ст, от), (1=1, ...
т), ~ (4) р~ — — ф;(Ф, с„сн с)) где ст, с~ (1=1, ..., т) — новые 2т произвольных постоянных. После подстановки выражений (4) в Н мы можем определить д„ из уравнений — — ( = + 1, ..., ) йу«дН (5) ас дс, при помощи квадратур Таким образом, по существу все свелось к интегрированию системы (3), порядок которой 2т меньше порядка исходной системы 2п на 2г единиц, где г=п — тп — число циклических координат, т. е. наличие г циклическттх координат дало возможность понизить порядок системгк на 2г единиц. Система уравнений (3) гамильтонова. Покажем, как при помощи уравнений Рауса можно получить автономную систему') из тп дифференциальных уравнений второго ') Индекс 1 пробегает значения 1, ..., и, а индекс а †значения %+ 1~ ..., и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
