Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 14
Текст из файла (страница 14)
ь) Автономной системой ны здесь называем систему диффереяняальных травненнй, не содержащую «лншннхь неизвестных функций, которые должны были бы быть опрелелены предварительно ла йнтегряровлняя данной системы уравнения. цикличвскнв коояпннлты $34! )с=Я(1, ун фн с,). Тогда уравнения Рауса для нецикличсских координат — — — — м а (1=),...,т) и д)с дЛ дт дч1 д)! (8) образуют искомую автономную систему, а циклические координаты д„определяются из соответствующих уравнений Рауса (11) предыдущего параграфа с помощью квадратур ча= ) д— па+с ° Г дД са (9) При этом предварительно в — все д; и г); заменяются д)с де„ функциями от 2ла + ! аргументов 1, с; и с,: (1= 1, ..., тл), получаемыми в результате интегрирования системы (8).
Пример. В примере, рассмотренном в конце $ 12, ). = Т вЂ” П = — гя [Га + (г" + да) ф') — П (г), ч — циклическая координата и ре = т (г' + да) ф = сопя! = с . Составим функцию Рауса: Л = р,ф — а = — ) — г'+ ( ' (- а ) чу+ и !г) = 1, 1 Р', 2 2т г'+ да = — — тр'+ — — т+ П (г) = е' = — — ~г*+ — ' „. -)- и (~). порядка типа уравнений Лагранжа. Лействятельно, ваменив обобщенные импульсы р„, соответствующие циклическим координатам ую через постоянные с„(а = т+ 1, ..., л), мы функцию Рауса запишем в виде функции от 1, ун !)! и с, (1=1, ..., гл; а=т+1, ..., л): 96 уРлвнения движения в потннцилльнОм пОлн !гл.
н Определение движения сводится к интегрированию одного дифференциального уравнения второго порядка д дЛ д)г — — — — =0 дт дд дг которое в развернутом виде выглядит так: е« жг = —,, — П' (г). т Заметим, что это уравнение относительного движения груза вдоль рейки, поскольку в правой части стоит нентробежвая сила с' в(г+ ) — =жгу«(г =р ), Циклические координаты иногда называют игнорируемыми или скрытыми координатами. Это название объясняется тем, что при интегрировании системы уравнений (3) или (8) мы как бы забываем о существовании циклических координат, считая р„постоянными параметрами. В разобранном примере игнорирование циклической координзты привело к игнорированию вращательного движения рейки и мы получили дифференцнзльное уравнение для относительного движения вдоль рейки.
Само название «циклическая координата» связано с тем, что во многих задачах механики угол у, характеризующий движение по замкнутым траекториям (циклам), не входит явно в выражение для ь и потому является циклической координатой. Отметим некоторую анзлогию между голономной системой, имеющей циклическую координату, и обобщенно-кон- дН сервативной системой. )!,ля первой системы — = О, для до второй — =О. Йля первой имеет место интеграл р„=сола(, для второй системы имеет место интеграл гт'=сопзй Корни втой аналогии будут обнаружены в дальнейшем при рассмотрении основного интегрального инварианта мехзники.
В заключение заметим, что более глубокое исследовзние движения систем с циклическими координатами будет проведено в гл. ЧН. 07 $161 СКОБКИ ПУАССОНА ф 1б. Скобки Пуассона В этом параграфе будут рассмотрены некоторые свойства интегралов гамильтоновой системы уравнений движения. Некоторая функция у(Г, дн р,) называется инлтегралол уравнений движения — — — — — (1=1 ... л) д11 дтт' дрт дтт' дт др ~ дт д41 (1) если для любого движения данной системы эта функция сохраняет постоянное значение с '): у(т, ~тт, р)=с. (2) Иногда интегралом называют само соотношение (2). Лля обобщенно-консервативной системы интегралом является функция Н(уь р1). Если д„— циклические координаты, то интегралом будет р„. Очевидно, что если функции ут, ..., Л являются интегралами уравнений движения, то произвольная функция от этих интегралов р(л ".
А) будет также интегралом. Поэтому в дальнейшем нас будут интересовать только независимые интегралы. Если известна <полная» система интегралов, состоящая из 2п независимых интегралов у„..., 1„(л — число степеней свободы системы), то, разрешая соотношения Уя(Г, ди рт)=ся (1=1, ...„2л) . (3) относительно дт и ри получаем конечные уравнения движения ~ух=от(Г, с„..., сея), р,=фт((, ст, ..., с,„), (4) содержащие 2л произвольных постоянных си ..., се»т Такии образом, если известны 2л независимых интегралов, то известны все движения системы. Если нам известны 1 независимых интегралов ут, ..., ут, где l(2л, то мы имеем лишь частичное представление о движениях системы, и чем больше 1, тем более полным является это представление. ') Это значение с может меняться, когда мы переходии от одного движения системы к другому, 4 Ф.
Р. Гяятмахер 98 гвавнзния движения в потзнпиальном полз ~гл. и Поэтому мы всегда заинтересованы в нахождении возможно большего числа независимых интегралов. Мы познакомимся здесь с методом нахождения интегралов уравнений движения, предложенным Пуассоном и Якоби. Пусть г(г, ~уь р;) — интеграл уравнений (!). Тогда при подстановке вместо уь р,- (1=1, ..., л) любого решения гамильтоновой системы (1) функция г превращается в постоянную с, ж е., согласно уравнениям (1) я ~ =ч (б) Пуассон ввел специальное обозначение — скобки Луассова — для следующего выражения, составленного из частных производных двух произвольных функций ч (г, тв р~) и ф((, йн рг): дт дФ (6) 1 При помощи скобок Пуассона равенство (5) — необходимое и достаточное условие для того, чтобы функция )'(1, дь р;) была интегралом уравнений (1) — записывается так: д —,+(УРУ)-6.
дг" Отметим следующие свойства скобок Пуассона: Лля любых функций ~р(1, ~уь р,), ф(1, дь р,), у(С, ~уь рг): (т" 'т) = (т' т)' 2'. (ср ф) = с (и ф) (с — постоянная); 8 ° ('~ -~ т' у) = ('~ у) -~ ' (СУ У) У)+ ((1 УЮ+(()(Р) И = ' б'. лг(т'т)=(аг 'г')+(т лг). Тождества 1; 2, 3; 5' получаются непосредственно из определения (6) скобок Пуассона. Тождество 4ч, которое называют шождесглвол Луассола, устанавливается при помощи специальных соображений. Пусть Х и г" — дифференциальные операторы первого СКОБКИ ПУАССОНА порядка над функцией У(хт, ху= ~х„—, дУ дхт, ' а-! ..., хм): У'=С~ "д а=! (8) где Хгя 1'а (тт = 1, ..., лт) — функции от переменных хн ..., х . Тогда «коммутатор» Е=ХУ вЂ” УХ также будет оператором первого порядка ') Лу=Х(уу) — у(Ху) = '~ (Х(уа) — у(Х„)) дУ .
(8) а=! Вернемся к скобкам Пуассона (рт). Эти скобки можно рассматривать как результат применения линейного оператора Ф вида (8) к функции т от переменных !у„рт (1=1, ..., и): ам!( др дя +д~. дрт~ т=! (10) ') Непосредственные вычисления показывают, что в правой части равенства (9) асс чаены сояержащие частные производные второго порядка от функции у, взаимно уничтожаются. 4' Этот дифференциальный оператор первого порядка вполне определяется функцией р.
Аналогичные операторы гя, Х определяются функциями Ф и )т. Перейдем теперь непосредственно к установлению тождества Пуассона 4'. После раскрытия сложных скобок любой член в левой части 4' будет содержать в качестве множителя чзстную производную второго порядка от одной из функций т», Ф, у. Но ((рФ)Д не содержит частных производных второго порядка от у, а сумма ((Ф у) ~)+((х Й Ф) =(Ф (р х)) — (р (Ф х)) =(Рб) — 4з1Р) к представляет собой дифференциальный оператор первого порядка относительно уу Таким образом, в левую часть тождества Пуассона не входят частные производные второго порядка от уу а значит, в силу симметрии„отсутствуют и частные производные второго порядка от р и Ф. Лругими словами, все члены в левой части 4' взаимно уничтожаются, что и требовалось доказать.
100 уРАВнения дВижения В потенциАльном пОле 1гл. и Покажем теперь основную теорему. Теорема Якоби — Пуассона. Если Г и я — интегралы уравнений движения, то (Уд) — - также интеграл этих уравнений. Доказательство. Требуется доказать, что для функции (уй) выполняется соотношение (7): д, +((Уй)Н)=0, д (уй) (11) когда такое же соотношение имеет место для каждой из функций у; в: ,— '„+(У.Ч) =0, ',~+(й УУ) =0. (12) 1(ействительно, согласно б' дг (ХФ= (,~ й')+(У дг')= — ((У О) Й вЂ” ~Х (КУУ)) = = ((Н.г) й')+ ((й ру) г ).
Поэтому, используя тождество Пуассона, получаем ''~"-~-((Уй) И) =((~й) и)+((до) 1)+((Оа) й) =0, что и требовалось доказать. )(оказанная теорема дает автоматическое правило, позволяющее из двух интегралов 1'(1, а1, р;), е.(К, 1)и р1) при помощи алгебраических операций и операции дифференцирования получить третий интеграл: Ваяв скобки Пуассона, например, от ~ н (Уй), мы снова получим интеграл и т. д.
Однако не следует забывать, что новый интеграл может оказаться илн тождественно равным нулю или функцией от предыдущих известных нам интегралов. Таким образом, только при специальном выборе независимых интегралов г1... „ 11 (/(2Л) можно быть уверенным, что при помощи скобок Пуассона можно получить недостающие (до полной системы) интегралы у1 „..., Л,л. $ !3! СКОБКИ ПУАССОНА В качестве прииера') рассмотрим интегралы количеств движения и моментов количеств движения для свободной и изолированной от внешних воздействий системы материальных точек'): Рх ~'.~Р» Ру = ~н~ру Р« =~~ Р» Мх = ~ ах = ~~~~,(УР« — ару) Му = ~ я'у = ~ (арх — хр») М =~в»=~~Р,(хр — урх), р =ах, р„=«яй, р,=ад где Функции Р, Р, Р„М, М„М являются ингегралаии, т, е.
имеют место «интегралы сохранения» Рх=гн Р =см Р =с„М»=г„М„=с„М =сн (1д) если система изолирована. Прн наличии же внешнего силового поая с главным эекторолт А'(Х, ); Е) и главным моментом ЕО(«.х, У и «*. ) любой из этих интегралов имеет место, если соответствующая из величин Х, )", 2, Л, У и Л» равна нулю. Составим скобки Пуассона для величин, связанных с одной точкой: (Рхру) = О (Рх ау) = ~ =Рл, дтях дя«у дтя» дгя (в в,) = —" —." — —" — '- = хр — ур = а . да др, др, да Заметим, что скобки Пуассона, в которых одна величина (и или в) относится к одной точке, а вторая к другой, всегда равны нулю; поэтому (Рхру)=~0 ру)=О (Р» Му) = Я (Р» л'з) = Я Рх = Р. (Мх Му) — 4. (а.х ау) ях ~ ໠— М» (14') (Ру Рл) =О, (Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
