Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Величины П, будем называть обоояссяныма спламп, соотввлтствуюявп.нн исевдояоорднната.н нл (з=1, ..., п). С другой стороны, подставляя в равенства (2) выраження (6) для Ц, мы получаем а ю! твлвнвння лппвля з ! Введем в рассмотрение чвнергию ускоренийъ — и! г ° — (г(! ч! ич и!)' (16) Замечая, что на основании формул (12) е„=д " (!=1, ..., И; а=1, ..., и), (17) мы уравнения (15) можем записать так: дб ~.— =П, (а=1, ..., и).
я (18) Уравнения (18) были впервые получены Аппелем и носят название уравнений Аллалл. Эти и=ЗА! — лг — 8 дифференциальных уравнений совместно с 8 уравнениями связей ~~~ ~А !7,+А =б (р=1 г= ! (19) и с л дифференциальными соотношениями в,= ~ у„.!)! ! ! (20) образуют систему дифференциальных уравнений, определяющих движение неголономной системы. Запив.ем уравнения Аппеля в развернутом виде, для чего в формулу (1б) подставим вместо Р„выражения (12).
Тогда получим л ~', л й +(чв)=П (в=1, ..., л), (21) л ! Так как йв, — совершенно произвольные множители, то отсюда следует: Ф ~~ т„р„е„=П (з= 1, ..., л). (1б) У2 диеввэанци»льныз та»знания движения ~гл. г где П.=П(1,,уп й,), и,,=и,(1, д,.)= '~~ т„е„,е, (22) ! (р, з=1, ..., и). Через (»») в уравнениях (21) обозначены члены, не содержашие псевДоУскоРенин йл (а=1, ..., и).
Можно доказать, что определитель, составленный из коэффициентов изи не равен тождественно нулю: (23) бе( (и,) и, 1 -„о 0 '). Тогда уравнения (21) можно разрешить относительно псевдоускоренин тл=Н,(1, дь и) (е=1, ..., и). (24) С другой стороны, соотношения (19) и (20) также можно представить в виде, разрешенном относительно д, (1 = 1„, т) (см. формулы (6)). Таким образом, движение неголономнои системы определяется системой и+ т дифференциальных уравнения первого порядка относительно неизвестных функпии аь Ен ..., й„, причем эти уравнения разрешены относительно производных.
Тогда задание начальных данных д,', ..., а~, 1с,', ..., й„' однозначно определяет движение системы. Но с помощью этих начальных данных формулами (1) и (6) задаются совместимые со связями произвольное начальное положение и произвольные начальные скорости, Поэтому задание начального положения системы и начальных скоростей, не протяеоречащгьх конечным и дпфференииальным связям, однозначно определяет деижение неголономной тгстемы.
3 а и е ч а н и е 1. Если в частном случае в качестве псевдоскоростеп взяты и независимых обобщенных скоростей, например рп ..., у, то для определения соответствующих ') В отдельных точках этот определитель может равняться иупю. Эти особые точки исключаются из рассмотрения. Обоснование неравенства (23) аналогично обоснованию неравенства бещаг»)а» 1фо иа стр. 54 — 5о, 78 увлвнвния Аппвля в 1о) обобщеиных сил Я;, „Я нужно в равенстве (7) выразить йо„,г, ..., 37 через Ьуг, ..., 8(г„: (25) г=! В этом случае энергию ускореиий (7 можно представить в виде функции В(т„()п ..., ую, ()„..., г)ю О„..., чл„) и уравнения Аппеля принимают вид д0 др (26) Замечание 2.
Уравнения Аппеля можно, в частности, применить и к голономиой системе. В этом случае все скорости дт будут независимыми, ()з= Я (1=1, ..., и) и уравнения (26) представляют собой другую запись уравнений Лагранжа второго рода'). Примеры. 1. При помощи уравнений Аппеля определим движение системы, описанной в примере й 3 (см. стр. 28), Это позволит читателю сопоставить два метода отыскания двяжения неголономной системы — с помощью множителей Лзгранжа и с помощью уравиений Аппеля — и убедиться з вреимущестзах второго, Введем в качестве независимых координат координаты центра стержня х, у и угол е, образованный отрезком М,М, с горйзонтальвой осью х (ряс. 28).
Тогда л, = х — — сгв т, х, = х + — соз ч, 2 ' 2 Рис. 28. у, =у — — ил оп у,=у+ — з)п т 2 " 2 Уравнение дифференциальной связи в новых координатах принимает вид Х Р созе а1пт ' ') Однако уравнения Аппеля з псевдокоордияатах примени- тельно к голономной системе уже дают иные формы уравнений движения. Энергия ускорений Ц как легко проверить, выразится следующим образом: РРа» (фа+уз+ фт+УП дт ~ ат + П~бт+р~Р 1 1 4 Введем псевдоскорость а, полагая Х ассар, у=аврор; у= й'+ — ртф'+ ..., тогда где невыпвсанные члены не содержат ускорений. Определнм обоб- щенные силы, Для этого напншем ВА = П За + Ф Вр = — 2рр ду = — 2л зш а Ьж Отсюда П= — 2яяпа, Ф=О.
Составнм уравнения Аппеля дРР ==П, дй В данном случае этн уравнения не содержат коордннат х, у н имеют внд й* — лзРпр, р=б. Интегрируя, получаем да 1 и .. й — = — % = — — з!п р, й = — соз а+ Т. дт а — а а Найдем х н у: т р — = — х=- йсозт=.эчсоэ Р+ — созн пр а а а а ду 1..1 — = — у= — яяпт=-т созазрпт+ — арпа. а а ат а Отсюда — + 2 —, оса а~ зш а+ з, — с<в р) соз т + з, 2аа 74 дивонввнцилльнын квлвннния движнния ргл. 1 УРАВНННИЯ АПППЛЯ 75 Ь !л1 Подставляя «1 + Р вместо у, получаем конечные уравнения движе- ння, содержащие пять произвольных постоянных: «, Р, 7, Ь и а: х =,— («1+ ь) + [ — + — соз («т + 5)1 юп («е + 5) + ь, у = — [ — + — сов («1 + Р) ~ соа («т + Р) + а, 7 = «Ф+ 5 2. Покажем, каким образом из уравнений Аппеля могут быть получены динамические уравиеиив Эйлера для твердого тела с за- крепленной точкой О.
Пусть р, д, г — проекции угловой скорости е на главные оси инерции 0$, От), ОС Они, как известно, прелставляют собой линей- ные комбииапии обобщенных скоростей ф, Ь, у, где ф, Ь, « — углы Эйлера (см. стр, 42 — 43)'). Поэтому мы можем принять р, 9> г за трн псевдоскорости. Вычислим энергию ускорений "): 2(l= ~ ти' Лш = ~ (в Х г+ е Х и)' лю = ~ (в Х г)' «ю + 2 ~ (в Х г) (е Х в) Ню + ... = = ~ (в х т)' Фи+ 2« ~ (г х (е х РЯ бы+ ...
= = ~ (в Х г)' йл+ 2а [е Х ~ г Х и йл1+... (27) с(е Ье Ь;, «Ь Заметим, что в«« — = — + е Х е .—. Здесь — и «т «т «с ' л'т означают соответственно дифференцирование в неподвижной системе осей н в системе осей, неизменно связанных с телом '). Поэтому р, 9, г — проекции углового ускорения в на осн 0$, ОЧ, ОС Тогда по аналогии с выражением для кинетической энергии') 27 ~ (е Х г)'Ляг=Ар +Вр'+Сг' ') Выражения для р, 9, г мы получаем, проектируя почленно на оси координат векторное равенство е = е + еэ + е, где «В ф, «З«=а, «,,«=.7.
') Мы здссь используем известное тождество г Х (е Х в) + е Х (в Х г) + и Х (г Х е) *= 0; последнее слагаемое в левой части равно нулю, так как в= е Х г. Невыписанные члены в формуле (27) не содержат углового ускорения в, ') См., например, Л ой ця пский Л, Г. н Лур ь е А. И«Курс теоретической механики, 1954, т. 1, ф 73.
') См. С у с л о в Г. К,, Теоретическая механика, М. — Л,, 1944, $259. 76 диенвлвнцилльныв кллвнвния движвния (гл. т (А, В и С вЂ” моменты инерции относительно главных осей инерции 06, Оч и Оь) мы можем написать (е Х г)'гггл= Аута+Вд'+Сгй С другой стороны, кинетический момент 6= ~ г тс исгю имеет компоненты Ар, Вд, Сг. Поэтому окончательно получаем следующее выражение для 2Ег: 2и- Ай*+ В()'+ СР*+2 ((С вЂ” В) йгр+ + (А — С) гро + ( — А) рйй] + „,. С другой стороны, для элементарной работы внешних сил имеем ь А = ерш ж = е р сы + е д лт + ес г лг.
Поэтому уравнеяня Аппеля непосредственно дают уравнения Эйлера А — +(С вЂ” В) )г=ЕЬ ггр ос  — - + (А — С) гр = Е, гтл сгг ог. С вЂ” '+ ( — А) р(( = Е . ог — с. ГЛАВА П УРАВНЕНИЯ ЙВИЖЕНИЯ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ $11. Уравнения Лагранжа в случае потенциальнык сил. , Обобщенный потенциал, Ненатуральные системы Пусть обобщенные силы О; являются потенциальными, т. е.
пусть существует потенциал сил (потенциальная энергия) П =П(1, а;) (см. ф 8) и Ог= — — (1=1, ..., и). (1) Тогда уравнения Лагранжа 1 дт дт дп — — — — — — (1=1„..., и) дс да; дбн д>уг записываются в виде') — гд- — — — — О (1=1, ..., и), д д1. дь' дг дд> дйп где т'.= Т вЂ” П. Функция Т. называется функцией Лагранжа или квнетпнескпм потенциалом. Кинетический потенциал Т., так же как и кинетическая энергия Т, представляет собой Функцию второй степени относительно обобщенных скоростей: л.= г-з+ г.т+ ьз ') Поскольку потенциальная энергия П не зависит от обобщендй дТ И.
дТ дП нык скоростей, а А = Т вЂ” П, то —. =, а — = — —— дбг д>)> ' д>уг д>у> дуг (> =1> ..., и). 78 твлвнвния движвння в потвнцилльном полз !гл. и где я л 1 жт Ф Ев — ~ с дгг)а, Е! — тл сгтл!, Е =с . (Ф) 1,л.= ! ь=! Здесь коэффициенты сы, сн сз являются функциями от координат и„..., о„и времени г (1, я=1,..., л). Сопоставление формулы (3) с формулой (б) иа стр. 33 дает Т. = Т У.! = Т„у.а = т — и. (б) Заметим, что в случае, когда действующие на материальные точки активные силы гч„=Х„т+ У„)+л„й (т=1, ..., Ф) имеют потенциал П(б х„у„т,) в декартовых координатах х„, у„, л„ (ч 1,...,тт),т,е, ап ап ап Уч М вти силы и в независимых координатах о! (1=1, ..., и) имеют по- тенциал (обратное утверждение в общем случае неверно!) и этим потенциалом нвляется тот же потенциал П, но только выраженный через координаты дн ..., о» и время !.
Действительно, ()!ад!= 'у (Х„ьх„+У„ьу„+Х„ья,)= — ьп= — дуы — ьйн — Х жт дП ! ! ! ч ! ! 1 откуда и следуют равенства (1). (б) Тогда уравнения Лагранжа дт дт а ау ду аг аа! ао; — аг За; ал! ('=' "" ") снова записываются в виде (2), где теперь (Т) Рассмотрим теперь тот случай, когдз вместо обычного потенциала П (т, ов) существует обобгленный лоптекциал У(т, ол, йл), через который обобщенные силы Я! выражаются с помощью формул И дУ дУ Я. = — „— — — (1 = 1... „л).
аг аа! ай, % 1Ц УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА Из формул (6) следует: я доУ ланс д4~ д!)а уа+( а-1 (1=1, ..., Л), (8) где (во) обозначает сумму членов, не содержащих обобщенных ускорений 1)а (а=1, ..., и). Поскольку в механике мы рассматриваем только тот случай, когда обобщенные силы ()! не зависят явно от обобщенных ускорений, а зависят лишь от времени, координат и обобщенных скоростей ()! = ()!(1* с)а Ча) (1 = 1, ..., л), (9) где По (1= 1, ..., и) и П вЂ” функции от координат !7,,7„ и времени 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
