Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Поэтому раанодсйсввующая сил Р„ Р„ ..., Р„ направлена по нормали к кривой Р. Мй получили очень простой способ геометрического построения нормали к кривой Р, задаваемой уравнением (11). Рассмотрим частные случаи: а) Р— эллипс. В атом случае С, и С, — точки (фокусы эллипса), Рис. 13.
Рис. 14. уравнение (11) имеет внд «,+г,— 2а=о, Р,=!, Р,=1 и нормаль к эллипсу яалксвся биссскврисай угла между фокальными радиусами-аскворами (рнс. 13). б) Р— гипербола. Уравнение гиперболы: г, — г, — 2а = О, Р,=1, Р,= — 1, и из построения легко усмотреть (рис. 14), что касавельйая к гиперболе еюль бисссквриса угла между фомальными радиусами-в«ижорами (а нормаль является биссектрисой смежного угла).
а ь) пяинцнп вняттлльных пвявмвщений 37 в) 0 — парабола (рис. 15), С, — прямая (директриса), а С, — точка (фокус). Уравнение параболы: г,— г,=о. Как и в случае гиперболы, из построения следует, что касательная к параболе ялляеюся биссектрисой угла между фокальным радиусом-сектором г, и перпендикуляром гь, опущенным но директрису. Уравнение (1) для принципа виртуальных перемещений представляет собой частный случай общего уравнения динамики (см. уравнение (3) на стр. 251. Однако общее уравнение динамики можно рассматривать как уравнение, выра- и --гг е жающее принцип виртуальных Рвс. 15.
перемещений и характеризующее положение равновесия системы, которое получается если к активным силам г„дополнительно причислить фиктивные силы инерции — т„чо„(я=1, ..., гч). Таким образом, мы приходим к принципу Даламбера. П р и н ц и п Д а л а м б е р а. 77ри движении системы любое ее положение можно рассматривать как положение равновесия, если к актиеным силам, действующим на систеиу е этом положении, прибавить фиктивные силы инерции. Принцип Даламбера позволяет перенести приемы и методы решения статических задач на аадачи динамики.
В частности, он позволяет статическими методами определять динамические реакции. Действительно, в положении равновесия реакции А'„ отличаются только направлением от г, — т„чв„: г"„— т,ес,= — )с„(ч=1, ..., М). Но тогда т„чо„=г„+сг, (а=1, ..., М), т. е. определенные с помощью принципа Даламбера реакции А'„ являются искомыми динамическими реакциямн. Поэтому приведенную выше формулировку принципа Даламбера можно дополнить следующим положением: Рассматривая силы инерции а качестее дополнительных актиеных сил, приложенных к точкам системы, мы эаменяем данную динамическую эадачу новой 38 дивееэенииальные гвлвнения движения !гл, т статической задачей.
Статические реакции в новой задаче совпадают с искомыми реакциями в исходной динамической задаче. Применение статических методов к решению задач динамики пронллюстрнруем на следующих примерах. Примеры. 1, Тендер е водой движется с ускорением пт. Требуелтся определить форму и положение поверхности вода.
При отсутствии ускорения поверхность воды — горизонтальная плоскость, Данная плоскость в каждой своей точке перпендикулярна к направлению объемных сил веса, приложенных к воде. Это статическое положение может быть применено и к случаю ускоренного движения тендера, если к каждому элементу массы дтл приложить дополнительно фиктивную силу инерции Ы= — атем Поверхность воды будет плоскостью, перпендикулярной к равнодействующей двух объемных сил: вертикальной силы веса дтя и горизонтальной силы инерции — аянж (рис. !6). Поверкность воды Ю будет наклонена к горизонту под углом т, где ти т = — . К 2. Напишем дифференциальное уравнение вращения твердого тела относительно неподвижной оси и (рис. !7).
К каждому элементу массы дт приложим фиктивную силу инерции — дл1вт Рис. 16. Рис. !7. Вычислим главный момент сил инерции относительно оси вращения — ) дюрер= — т) ртдт= — Рай, где )а=)ртдт — момент инерции тела относительно оси вращения и, Обозначим через уа главный момент. внешних сил, прило- $41 ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 33 женных к телу, относительно оси и'). Тогда согласно принципу Даламбера тело может находиться в равновесии нод действием суммарного момента ьп — улч. Поэтому (см. стр. 321 этот суммарный момент должен равняться нулю.
Получаем: упт=й 3, Горизонтальный однородный лал равномерно лращасгпся с угловой скоростью и.. Перпендикулярно к оси вала на равных рассгпояниях от подшипников на лал эксцентрично насилием однородный диск. Требуется определить давления ни подшипники при вращении вала. Рассмотрим силы инерции йтиьг, соответствующие отдельнйм влементам йт диска (рис.
18). Это сходящиеся силы, направленные от оси вала. Равнодействующая этих сил равна д=ис ) гйт=М,а'гс, где Мг — масса диска, а го —— = ОС (Π— точка пересечения плоскости диска с осью вала, а С вЂ геометрическ центр диска). Применяем принцип Даламбера и определяем стати- Рис.
8. ческие давлении на подшипники, считан, что к оси вала приложены три силы '): 1) сила веса вала Мйп 2) сила веса диска М,й и 3) сила У=Мгимо. Давление Л( на каждый подшипник определяется формулой 2 (М+ Мг) й + 2 М1 гС. 1 1 Сила 1т' имеет максимальную величину ЛГть„= 2 (М+М,)й+ — М, ОС 1 1 в том положении диска, когда геометрический центр диска С расположен под точкой О. ') Главный момент внутренних сил равен нулю. ') Равнодействующая элементарных сил инерции для вала равна нулю н поэтому не учитывается.
40 ДИФФВРВНЦИЛЛЬНЫВ УРАВНВНИЯ ДВИЖВНИЯ (ГЛ. 1 $ б. Голономиыв системы. Независимые координаты. Обобщенные силы Пусть дана голономная система из (тт материальных точек Р, с радиусами-векторами г„=х„1 + Р„(†, '«„й') (ч = 1, , Ж), подчиненнзя конечным связям ,тл, (Т, г'„) = 0 (а = 1, ..., Ы), (1) или (в эквивалентной записи) ~,(1, .е„ун з„)= 0 (и=1, ..., И). (1') Мы будем предполагать, что Ы функций у'„от З)ч' аргументов х„, у„з„(т=1, ..., М) независимы'); 1 здесь рассматривается как параметр. Поэтому мы можем ич уравнений (1') выразить Ы координат как функции ЗМ вЂ” с(-остальных и времени т и рассматривать эти Зтч' — И координат как независимые величины, определяющие положение системы в момент времени й Однако не обязательно в качестве таких независимых координат брать декзртовы координаты.
Можно все ЗУт( декартовых координат выразить в виде функций от и = Зй( — т( НЕЗаВИСИМЫХ ПаРаМЕтРОВ дн ..., Ол И От й л,=Р.(( Рн -", Ь) У,=Ф,(( 0 "., Ь), 1 (2) з =у.(1 Ч °" р ) ( =1 ° ° ° от) Эти функции, будучи подставлены в уравнения свнзей (1'), обращают последние в тождества, Кроме того, мы будем предполагать, что любое положение системы, совместимое со связями в дзнный момент времени, может быть получено из равенств (2) при некоторых значениях величин пт, ...; пл.
Равенства (2) эквивалентны векторным равенствам г,=г„(1, рь ...„Чл) (т=1, ..., И). (2') ') 1, у, й — орты осей Ол, Оу, Ол инерпиальной системы координат. ') В противном случае, при наличии, например, зависимости вила Л=ц(Л " ул- т). одна из связей (в данном случае ул —— О) либо яротнворечила бы остальным [при Я (О, ..., О, т) чй О], либо была бы следствием остальных [при Я(0...,, О, т) шо[.
41 голономныв систамы Скалярные функции (2), а следовательно, и векторные функции (2') предполагаются непрерывными и дифференцируемыми. Минимальное число величин бгп с помошью котоРых формулами (2) можно охватить все возможные положения голономной системы, совпадает с числом степеней свободы этой системы л=ЗМ вЂ” Ы (см. стр. 19). Величины аь ..., гуя в формулах (2) или (2') (и — число степеней свободы) называются нвзависггмымгг «боби!енными коарданаталгп системы. Для каждого момента времени ! между возможными положениями системы и точками некоторой облзсти в и-мерном координатном пространстве (гуь ..., гу„) устанавливается взаимно-однозначное соответствие. Каждому положению системы в момент времени ! соответствует точка в пространстве (аь ..., а„), изображающзя это положение системы. Двггженгтю системы соответствует да~жение «толк!! в координатном пространстве (~у„..., гуа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
