Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Возможные и виртуальные перемещения. Идеальные связи Пусть на материальную систему наложены !( конечных связей У,(Г, г„)=0 (а=1, ..., !() (1) и я дифференциальных ') )~~уь,о„+О =0 ф=1...„д). (2) Заменим конечные связи вытека!ощими из них дифференциальными: и Х!; — "о„+ — "=0 (а=1, ..., г(). дУ„ду'„ (3) ~=1 ') В уравнениях дифференциальных связей мы вместо г„лишен е„.
16 дифэвявициальныв талвизиия движвиия !гл. ! Систему векторов е„будем называть возможными скоростями для некоторого момента времени ! и для иекоторого возможного в этот момент положения системы, если векторы яч„ удовлетворяют 1+я линейным уравнениям (2) и (3). Таким образом, возможные скорости — вто скорости, допускаемые связями. Лля каждого возможиого положения системы в момент времени 1 существует бесчисленное миожество систем возможных скоростей. При действительиом движеиии системы в момент г реализуется одна из этих систем скоростей.
Систему бесконечно малых перемещений й'„=е„Ш (ч = 1, ..., Ж), (4) где яг„(ч = 1, ..., Ф) — возможиые скорости, будем иазывать возможными бесконечно малыми аеремеи!ениями или для сокращения просто возлчожными перемещениями. Умножив уравнения (2) и (3) почлеиио иа аг, получим уравнения, определяющие возможные перемещения: н Х вЂ” ', — "Ыг + — "-И=О ду„ду„ дг, " дс 1=! Я ~ 11,4г„+ П Ж = О ! (а= 1, ..., ач), а = 1, ..., и). й'„=ч„аг и с(г„=е,чтг (ч=1, ..., чч). Как Игг так и !а'г, удовлетворяют урааиеииям (б)„а разности йг,=Х'г„— !(г„(ч=1, ..., Л9 (6) удовлетворяют однородным соотиошеииям: и ~~~ — Вг„=О (а=1, ..., а), ъ=- ! Ф Х(!Лг,=О (Р=1, .", а).
(у) ч=! Возьмем две системы возможных перемещений для одного и того же момента времени и для одиого и того же положеиия системы: % т1 возможньщ и внятглльныв пнаемвщвння 17 Разности Ьг,=с~г, — Ю„будем называть виртуальныма перемещениями. Всякая системз векторов Зге удовлетворяющая уравнениям (7), представляет собой систему виртуальных перемеьцений. Уравнения (7) для виртуальных перемещений отличаются от уравнений (5), определяющих возможные перемещения, отсутствием членов — '- Ж и П аг. Поэтому ду« дг говорят, что виртуальные перемещения совпадают с возможными перемещениями при «замороженных» связях. Действительно, при «замораживании» время 1, входящее в уравнения конечных связей, фиксируется, т.
е. связь кзк бы застывает в той конфигурации, которую она имела в момент г. Тогда при дифференцировании функций У. члены — ачтт не ду. дг появляются и первые Ы уравнений (5) совпадают с соответствуюьцими уравнениями (7). Для дифференциальной связи «замораживание» означает придание ей стационарного характера, т. е. отбрасывание й в левой части уравнений связи и фиксирование г, явно входящего в коэффициенты 7 „.
После этого и последние я уравнений (5) совпадают с соответствующими уравнениями (7). Можно еще сказать, что виртуальные перемещения предстзвляют собой перемещения точек системы из одного возможного положения системы в момент 1 в другое бесконечно близкое, возможное для того же самого момента времени 1 положение системы, Лрп стационарных связях виртуальные перемещения совпадают е возможными. П р и м е р ы. 1. Точка движется по неподвижной поверхности 0 (рнс. 1). Ы этом случае любой вектор о, построенный из точки Р и насательиый к поверхности в атой точке, будет представлять сабо; возможную скорость.
Соответствующее возможное перемещение де=оде также лежит в плоскости, касательной к поверхности в точке Р. Разность аг= ьгг — дг двух касательных векторов в свою очередь представляет собой вектор, касающийся поверхности в гоя же то«к«. Таким образом, любой вектор, построенный из 18 диеоевенцилльные телвнения движения !гл, ! Аналогично для другого возможного перемещения «'г = и,' «г+ и «! н виртуальное перемещение вг = »гг — «г = (о', — е,) «т Рнс. 2. представляет собой, в отличие от «г, вектор, лежащий в плоскости, касательной к поверхности в точке Р (рис.
3). Вектор Ьг представляет собой возможное переме«г щение для *остановленной» поверхности 3. о"г В декартовых координатах вектор йг„ характеризуется тремя проекциями иа оси йхе Зу„, ез, (ч= = 1, ..., М), и уравнения (7), определяющие виртуальные перемещения, могут быть записаны в следующем виде: ~~„(~ о.к» + « у„ + — ~~») = (~= ~, ...» ог), »=! ,Я (Аа» Ьс»+ В» Зу„+ С, йх») = О ф =1, ..., д). »=! (7') Если зги «+ л уравнений независимы, то среди ЗА! виртуальных приращений координат 6хи Ьуе Ьх„будет точки Р и лежащий в касательной плоскости, можно рассматривать как некоторое «г и как некоторое аг. В данном примере связь стапионарна и виртуальные перемещения совпадают с возможными. 2.
Связь представляется поверхностью Я, коюорая само движется (как твердое тело) с некоторой скоростью а относи- тельно исходной системы коор- И В этом случае возможная скорость и получается из произвольного вектора по касательного к поверхности, прибавлением к нему скорости и: о= о»+ и. Поэтому «г = е «г = и, «(+ и «е Ф т1 воэможныв н визтклльныи пазвмещения 18 и =ЗМ вЂ” Ы вЂ” »г независимых.
Число п называется числом степеней свободы данной системы материальных точек. Пусть в точках Р„системы приложены соответственно силы Р„(»=1, „)У) '). Ясли бы связи отсутствовали, то, согласно второму вакону Ньютона, между массами т„, ускорениями тп„и силами Р, имели бы место соотношения тл„яа>„=Р„ 1 (»=1, ..., М). При наличии связей ускорения яп„= — Р„ могут оказаться (в данный момент времени 1, в данном положении точек системы г„и при заданных скоростях е„) несовместимыми со свявями. Действительно, продифференцировав почленно равенства (3) и (2) по времени, мы получим аналитическое выражение для ограничении, накладываемых связями на ускорения тп„ точек системы '): (8) Ускорения тп„= — Р„могут не удовлетворять этим соот- 1 ношениям.
Тогда материально осуществленные связи действуют нз материальные точки системы Р„с некоторыми дополнительными силами )с„(»=1, ..., Ю); эти силы воздействия связей зс„носят название рваиг(пй связей' ). Возникающие реакции таковы, что ускорения, определяемые из уравнений лт„тп,=Р„+зс„(»= !л ..., М), (8) уже допускаются связями.
В отличие от реакций ес„(»= 1, ..., Л~ заранее ааданные силы Р, (»=1, ..., И) называются активными силами. ') Под Р, мы понимаем равнодействующую всех сиз, приаожениых непосредственно к материальной точке Р„(»=1...,, Ж), а) Левые части в соотношепинх (а) линейно зависят от ускорений ти„. Эти левые части, как легко усмотреть после выполнения дифферейпировання, зависят еще и от д г„в, (»= 1, ..., Ф). ') при наличии нескольких связей (л+й) 1) к„есть равнодействующая всех реакций связей дзя точки Р„(» = 1, ..., г»). 20 диеевквнцнальныв хвавнвния дзижвния [гл. 1 Активные силы обычно задаются как известные функции от времени, положения и скоростей точек системы' ): Это равенство можно переписать и в развернутом виде: " ',()с„„вх„+Кеду„+ Тс„,йз„) = О.
(11') ') В общем случае правые части в равенствах (10) зависят помимо С ог всех г„и е„(н 1, ..., Аг). ') В случае свободной системы задача определения реакций отпадает и остается только задача определения движения системы. Р„=Р„((, г, е„) (»=1...,, Аг). (10) Основная задача динамики несвободной системы состоит в следующем. Заданы активные силы Р„=Р„(ь, г, е„), и даны совместимые со связями начальные положения г,' и начальные скорости е, 'точек системы (» =1, ..., И).
Требуется определить движение системы и реакции связей (» =1, ..., Аг) Я). Если относительно характера связей ничего неизвестно, кроме определяющих уравнений (1) и (2), и„ следовательно, ничего неизвестно относительно вызываемых этими связями реакций ьс,, то сформулированная выше задача является неопределенной, так как число подлежащих определению скалярных величин хн у„, ви Я,„, ((„г )с„ большие числа имеющихся скалярных соотношений — уравнений т„х„=Р„„+ Я„„, т р„=Р, +Я„, т,Х„=Р„в+Я„, и уравнений связей (1) и (2) 16АГ» >ЗИ+й+й). Для того чтобы основная задача динамики стала определенной, необходимо иметь какие-то дополнительные 6М вЂ” '(ЗАг+ + й+ й) = ЗФ вЂ” й — д= л независимых соотношений между искомыми величинами. Эти соотношения мы получим, если ограничимся важным классом идеальных связей.
Связи называются идеальными, если сумма работ реакций зтих связей на любых виртуальных перемен(ениях всегда равна нулю, т. е. если и ~~ ', )с„йг„= О. % э1 зозможныв и вивткальныи пвзвмвшвння 21 Среди ЗЛс величин Вм„, Ьу„, Зя„имеется и независимых (и ЗЛг — с( — и — число степеней свободы данной системы). Поэтому в равенстве (11') можно выразить З)»1 — и зависимых приращений Зхе Зу„, Зз„через п независимых приращений и приравнять нулю коэффициенты при этих независимых приращениях. Тогда мы получим недостающие и соотношений, благодаря которым основная задача динамики несвободной системы становится определенной.
Естественность и практическая важность выделенного нами класса связей станут ясными после рассмотрения следующих примеров идеальных связей. Примеры. 1. Материальная точка вынуждена двигаться по неподвискной гладкой поверхности (рнс. 4). В этом случае любое возможное перемещение дг, как и любое виртуальное перемещение аг, лежит в пвоскости, касатеэьной Рнс. 4. Рнс. б. к поверхности в точке Р, а реакция гладкой поверхности направлена по нормали к поверхности в пой точке; поэтому всегда с«» дг = 0 или А» Ьг = О, 2. Материальная точка вынуждена лвигаться по подвижной или десрормируюисейся гладкой поверхности (рнс, 5). В этом случае возможная скорость материальной точки и, следовательно, бесконечно малое перемещение Иг = и дс уже не лежит в касательйой плоскости (см, пример 2 на стр. 18).
Виртуальное же перемещение аг, которое представляет собой бесковечно малое возможное перемещение лля «останозлеиной», илн «замороженной» поверхности, лежит в касательной плоскости. Поскольку реакция и а случае подвижной нли дсформнрующсйся гладкой поверхности 22 диооевенциальные уРАВнении ЛВижения ~гл, направлена по нормали к поверхности, то маг 0(в то время как )с дг ~ 0).
Таким образом, гладкая поверхносюь, как неподвижная, юак и подвижная или деформирующаяся, предспавляем собой идеальную связь. Пример 2 наглядно поясняет, почему при определении нестационарных идеальных связей необходимо приравнивать нулю работу сил реакций на т произвольных виртуальных, а не возможных перемешениях.
В дальнейших примерах мы встретимся уже только со стационарными связями '). 3, Две материальные точки соединены сюержнем неизменной длины с пренебрежимо малой массой (рис, 6). Обозначим через Р, н егв Рнс. б. реакции связи, прнложеннйе к ма- териальнын точкам Р, и Р,. Тогда согласно третьему закону Ньютона на стержень действуют силы )т',= — Я, и )тв= — ече. Обозначая через ю и ев массу стержня и ускорение его центра инерции, а через 1 и е — центральный момент инерции и угловое ускорение, будем иметь: ютв=йГ,+)тв, Ее вЕ, где Š— суммарный момент снл )те и Ме относительно центра инерции, Но, по условию, ю 0 и 1=0.
Следовательно, ЛГ,+йее=О и Е=О'), Из зтих равенств следует, что силы ет", и )т'„а значит, и Я, и )ее прямо противоположны, т. е. направлены вдоль стержня, Далее, наг, +Щге =)с,дг, + медее = Ив(дге — дг) =)сед(г, — ге). ') Из определения идеальных связей вытекает, что нестационарная связь является идеальной, если идеальныни являются все ее конфигурации в различные моменты времена, рассматриваемые как стационарные связи, в) Если движение стержня не плоскопараллельное, то скавяр- д нос равенство Ее=Е заменяется векторным — (Ею)=Е, где /— дт тензор инерции, а ю — угловая скорость. Из равенства 1=0 снова следует Е = О. Вл! возможные н внэтклльные певемещении 23 Пусть йл=с(г,— г,), Тогда с й, Вг, + й, Вг, = с (гл — гД д (г, — г,) = — вв (ю л — г,)' = О, иоскохьку (г, — г,)л = сапы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
