Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Тогда среди ЗИ функций хм ун хо ... ..., х „у „л от и аргументов д„..., ол (( рассматривается как параметр) имеется р независимых, через которые могут быть выражены все остальные декартовы координаты точек системы. Мы пришли к противоречию, так как минимальное число независимых координат системы рвано числу степеней свободы и, а Р ( л. Неравенство (7) установлено '). Свойство коэффициентов квадратичной формы Т„ выражаемое неравенством (7), очень сугцественно и будет нами неоднократно использоваться в дальнейшем. Заметим, что поскольку всегда Тэ ) О (Тз — кинетическая энергия при «замороженных» связях!), то из неравенства (7) следует, что и 1 квадратичная форма Т, = — у аэлд,ф» является положиел-! тельно определенной, т. е. Т, =.=О, причем Тэ — — О только тогда, когда все фэ ((= 1, ..., п) равны нулю.
Поэтому 66 дняяиязнцияльныв явязнзння движения )гя. ~ для коэффициентов аы имеют место детерминантные неравен- ства Сильвестра '): ан а„... агя ав1 аяе ... атя ~птт ~1я~)О )пег пяе~ >О. (11) пы пяя ... пяя Подставив выражение (1) для кинетической энергии в уравнения Лагранжа дед д тт дТ дТ дт ддг дуг получим я ~ а,яре+(яя)=();(1, пр гя) (1=1, ..., л), (13) е=! ф,=й;(8, уы ря) (1=1... л). (14) Но тогда, как известно из теории дифференциальных уравнений, при некоторых предположениях относительно правых частей 0и которые в механике всегда предполагаются выполненными е), существует одно и только одно решение уравнений Лагранжа при произвольных наперед заданных начальных данных рг, Чг для 1=1е (1=1, ..., и).
Таким образом, движение голономной системы однозначно определяется заданием начального положения (от) и начальных сКоростей ®). ') См., например, Рая т и а хе р Ф. Р., Теория матриц, М., 1953, стр. 248. ") Например, при сущесгвованни непрерывных частных производных первого порядка у функций 0т (1=1, ..., я).
Здесь через (яя) обозначена сумма членов, не содержащих вторых производных от координат по времени. Правые части также не содержат вторых производных, так кзк представляют собой в общем случае функции от величин 1, ур у (/=1,, л). Поскольку г)е1(атя),"» ~ и-' О, то уравнения (13) можно разрешить относительно вторых производных и представить в виде теОРемл ОБ изменении полной энеРГии 57 $8. Теорема об изменении полной энергии. Потенциальные, гироскопические и диссипативные силы Если обобщенные силы не зависят от обобщенных скоростей Я;=Я;(( ц " М (1=1 " л) (1) н существует функция П(1, цп ...„ав) такая, что Я~ — а — (1 1, ..., и), дП (2) то силы ф называются потенцп льнылгп„а функция П вЂ” потенцпалолг спл или потенциальной энергией.
Равенства (2), определяющие потенциал П, можно записать так'): ЕА= ~Х', Я;Зцч= — ЕП. Я,=4(Ц Цт Ф~) (ю'=1, ..., Л). (4) Тогда дП Яч= — — + Я~ де~ (б) и уравнения Лагранжа принимают вид и дт дт дП вЂ” — — — = — — + Я (1= 1,;.. п). (6) дт ддг де~ даг Введем в рассмотрение полную энергию Е, равную сумме кинетической и потенциальной энергий Е 7+П, (7) ') При вычислении виртуального дифференциала ЬП время Г %1 дП ПРЕДВаРИтЕЛЬИО фИКСИРУЕтСЯ.
ПОВГОМУ аП= ьг - — адв .йл даг ч ! Рассмотрим теперь общин случай, когда помимо потенциаль- ных сил, определяемых потенциалом П, на сне~ему действуют еще непотенциальные силы 58 диллееенпилльные телвнення движения !гл. ! и вычислим производную —. Для этого сначала найдем ИЕ дт ' л в=! вт дТ . дТ д дТ . дТ =. 1 —.-'+ Х ~ —.—.—,—.) '+-.-- ! =1 т=! Замечая, что Т= Т,+ Т,+ Т, и используя уравнения Лагранжа (б), получаем ') ИТ 4 -„,-= — „(,+Т,)+ —, + ~ ~,— — а,) рт= дТ дП дг дву! в ! ИТ д дТ дП дП мт =2 — — д (Тт+2Та)+ да+ д д! лу, ьв! де д! д! дт в=! Отсюда с учетом равенства (7) окончательно находим л дЕ жт дТ дП вЂ” = у Отца-+ — (Тт-)-2та) — — + —.
()О) ! ! Стоящее в правой части выражение л т,* О!дЧ! (И) в=! ') Дла однородной функции Т(хо ..., хл) и-й степени имеет л ъч ду место формула Эйлера у — хт=жу. Применнв вту формулу л~т дх! в=! к линейной форме Т, и квадратичной форме Т„ находим: — в)т= 2Тв ~ — ' ту!= Тв дТл дТ, . 1 —. ! !=! Справедливость атил тождеств следует также непосредственно на выражений для Т, и То приведенных на стр. 53. а а! твогвма ОБ изменении пОлнОЙ энаггии б9 где ЗА — элементарная работа непотенциальных сил ф, представляет собой мощность непотенциальных сил Я! (1= 1, ..., и), Слагаемое в правой части 4! — (Т, + 2 Ть) —— дТ (12) отлично от нуля лишь для реономной системы (для склеро- дТ помпой системы Т, = Ть — — 0 и — =О).
Последнее же слад! гаемое отлично от нуля только тогда, когда потенциальная энергия П зависит явно от времени. Формула (10) определяет изменение полной энергии при движении произвольной голономной системы. Рассмотрим частные случаи. а) Система сялерономная. Тогда и ! ! б) Система снлерономная, и потенциальная энергия не зависит явно от времени. Тогда дЕ (14) ! ! Для такой системы производная от полной энергии по времени равна мощности непотенциальных сил.
в) Система консервативная, т. ес 1) система склерономная; 2) все силы потенциальные и 3) потенциальная энергия П не зависит явно от времени. Для консервативной системы, согласно равенству (10), д~~ — 0 (16) т. е. при любом движении системы Е = сопз1= й. (16) Полная энергия консервативной сне!немы не изменяется при движении системы. Равенство (16), не содержащее ф! и включающее произвольную постоянную й, определяет первый интеграл уравнЕ- ний движения. Оно называЕтся интегралом энергии. 60 днффзевнцнлльныв твлвнвння двнжзння (тл.
! Непотенциальные силы называются гироскопическими, если их мощность равна нулю: л ~'„Ц«Ф! = О, ! ! (1 7) и диссипативными, если нх мощность ') отрицательна или равна нулю: л ;); ()!)!~О. (16) э=! ') В случае склерономной системы Ф я ~ Р„дг„= ~",О! деь .=1 " ; ! атвуда после почленного деления на дт находим Х Р.е.= Х (г!«)! «=! ! ! (а) Поэтому равенство (17) выражает условие тнрослопнчлости н ~Ч~~ Р„в„=п, ! а равенство (18) — условие диссипативности М ~ Р,о„~О. В случае реономной системы равенство (а) может пе иметь дг„ места.
В этом случае аг„= д㫠— —" дт и иэ равенства дс Ф л и л дг,! ц следует ~ Р„ ~е„ вЂ вЂ ' = у !д!«)!. дс ! ! э-! ~~«Р„аг„= ~> ()! Зл! Если потенциальная энергия не зависит явно от 1, то из дЕ равенств (14) и (17) следует — =О н, таким образом, для дс склерономной систелты лри гироскопических ттлах также имеет место интеграл энергии Е= сопзб ТБОРамл ОБ измвнвнии пОлнОЙ днвРГии 61 $ а! Если же на такую систему действуют диссипативные силы, то при движении системы с)Е й! ~0' т. е. полная энергия убывает во время движения !). В этом случае саму систему мы будем называть оиссипитивнои. В соотношениях (17) и (18) обобщенные силы Я! в общем случае Бависят от обобщенных скоростей.
Рассмотрим важные частные случаи, в которых эта вависимость линейна и однородна. 1'. Пусть с11= ~ Т!л!)А (1=1, ..., и) А=1 (19) и матРица коэффициентов Т!л ЯвлЯетсЯ кососимметРической: Ты= — Ты (! й=1 " л)') (20) Тогда силы (19) являются гироскопическими. Лействительно, в этом случае ~„(М = ~ Т!А«)!ЧА= .~~ ТИЧ!+,.~~ (Т!ь+Тл!)'7А=0.
«=1 1- ! !(л Примеры. 1. Нориолисовы силы инерции для склерономной системы являются гироскопическими силами. Действительно, кориолисова сила инерции, прикладываемая к точке Р„ системы, определяется формулой Г,= — 2т,(т Х о„). Здесь т„— масса точки Р„, и„— се скорость в рассматриваемой иеииерцйальной системе осей координат, а т — угловая скорость ') При диссипативных силах происходит рассеивание (диссипация) энергии.
Отсюда и термин «диссипативяые силы» ") У кососимиетрической матрицы !)т;А!) всегда ти =0 (! =1,, > и). Последнее равенство покавывает, что кососимметричность матРицы коэффициентов Ты ЯвлЯетсЯ не только достаточным, но и необходимым условием для того, чтобы приложенные к склерономной системе силы (19) были гироскопическими. 62 диееееенцнлльные тнлвнения движения !гл. ! вращения атой системы относительно некоторой инерциальной системы координат (т= 1, ..., /тт). Но тогда л ~ гт,о„=О.
ч ! Если твердое тело обладает динамической симметрией, / — момент инерции относительно оси симметрии, ю,— угловая скорость тчистого вращения», направленная по оси сймметрни, а ю,— угловая скорость прецессионного движения, то момент ь,=/(ю! Х ю,) называется гпросколическим. Таким образом, силы, создающие гироскопический момент, являются гироскопическими /).
2'. Пусть я Ят= — Ч', Ьгл/л (/=1, .", л) (21) где матрица коэффициентов Ь;„является симметрической Ьы=Ьщ (/=1, ..., л), (21') я и пусть квадратичная форма ~~~ Ьга!/г!)л положительна: ел ! л ч ' ,ьт„ ), ), о. (22) Тогда для склерономной системы мощность сил равна — Ь; Ч!О„~ О (23) ! 1 и силы (/! являются диссипативными. В этом случае квадратичная форма л ! ът я=2 а, ь!~М» 1,ь - ! (24) ') Отсюла и поонсхожденне термина юироскопнческие силы». 2. Пусть на твердое тело с неподвижной точкой О действуют силы с главным моментом /л=/(ю, Х юа), где / — скалЯР, и пУсть ю=ы, +ма — угловая скорость тела. Тогда приложенные к телу силы являются гироскопическими, так как их мощность равна нулю: ь ю=О. 6З электгомехАнические АБАлОГии а э! называется дисеипативной функцией Релен.
Легко видеть, что обобщенные силы (21) получаются из диссипативной функции Релея с помощью формул д' (25) дд! Если система склерономна и потенциальная энергия не зависит явно от времени, то в силу равенств (14), (23) и (25) ае вг ! ! — т ()!ф!= — 2)с. (26) !=! Последняя формула указывает на физический смысл функции Релея: удвоеннан функции Релен равна скорости убывании полной энергии. Если функция Релея (24) является положительно определенной квздратичной формой от обобщенных скоростей, то говорят о полной дпссипацил энергии. В этом случае систему мы будем называть определенно-диссипативной. У такой системы, согласно формуле (26), полная энергия строго убывает. В качестве примера рассмотрим приложенные к точкам системы силы сопротивления среды, пропорциональные первым степеням скоростей точек: р, = — ро„(н= (, ..., 7!Г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
