Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Но тогда, согласно равенству (7), С снова будет квадратичной функцией относительно скоростей ф! и вместо равенств (б) будем иметь !) 1.а= Тм ! 1= Т! — У! Ао= То — П. (11) Подставляя выражение (10) для У в формулу (6), полу. чаем я б)! = ~ дд 1 л~~ Пас)а+ П) = о ! а=! ') Коэффициенты в выражениях для А и Т связаны между собой. Действительно, прн обычном потенциале с!=а!, а при обобщенном потенциале с!=а! — В! (! =1, ..., Л). В обоих случаях с,» а!а (1, А=1, ..., и), с,=а,— П и 1.а=То — положительно то, согласно формулам (8), в этом случае все частные производные второго порядка от У по обобщенным скоростям должны быть тождественно равны нулю, т. е.
обобщенный лотеащиал У линейно лалпспт от обобщенных скоростей У= ~ч; П,д, +П= У, +П, 1=! ВО гвлвнвния движения в потвнцилльном поля ггл. и Формулы (12) показывают, что в случае„ногда линейная часть )г! обобщенного потенциала не зависит явно от времени «~ — =О (1=1, ..., п)~, обобщенные силы (4! скла- Г дП! ] д« дП дываются ив потенциальных сил — (1=1, ..., и) и д«Н гироскопических сил («г= ~ Т!»ч"» (!'=1, ..., л), »-! (15) где Ты= Тю=д д . (1 А=1 " и) (13') дП! дП» ду» д()! Важность рассмотрения обобщенного потенциала подтверждается следующим примером. Пример. На точечный злектрнческий заряд в злектромагиитном поле действует сила Лоренца Р=с (Е+ — Х Н~(, (14) где е — скорость точки, е — заряд, с †-величина скорости света, а Е и Н вЂ” напряженности электрического н магнитного нолей, Век- торы Е н Н выражаются через скалярный потенциал е и вектор- ный А с помощью формул') 1 дА Е= — я!лбе — — —, Н=го1А, с д«' (15) Найдем обобщенный потенциал )г для силы Лоренца Р.
Из формул (14) и (15) находим сдА с Р= — епгаб е — — — + — (о х го! А)= с дг сдА с с дг = — е дгаб ч — — — + — ((оу) А + о х го! А] = с дА с = — с пгад ч — — — + — я!ад (оА), с иг с (15) ') См., например, Ландау Л, Д, н Лифшиц Е. Мч Теория поля, М.-Л., 1948, стр. 55. 81 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ч н) где скорость е в выражении йгаб (оА) считается вектором, не завиляв«им ог точки поля ').
Отсюда, выбирая в качестве независимых координа~ декартовы координаты точки х, у, х и налагая Р = еу — — (оА), (17) с К= еч — — (хЛх+«Л«+ лЛ,), имеем: е йЛх дтс й д)с д)с с йс дх йг дХ дх Аналогичные фоРмУлы имеют место длЯ Е'«и Р». Таким обРа- зом, обобсценяый лосаеяциал силы Лоренца (14) олределяеслся формулой (17). Для функции Лагранжа Е имеем выражение Е = Т вЂ” Ъ' = — мое — еу+ — (еА). 1, е 2 (18) Классические системы, в которых силы имеют обычный потенциал П(1, суг) илн обобщенный потенциал Ъ'(г, суо су,), мы будем называть натуральными. Для таких систем функ- ция Лагранжа Е является функцией второй стенени от обоб- щеннык скоростей, т. е.
представляется выражением (4), где Е, — положительно определенная квадратичная форма отно- сительно обобщенных скоростей. В качестве примера ненатуральной системы можно рассмотреть движение материальной точки в релятивистской теории при отсут- ствии снаового поля. В этом случае движение точки определяется уравненяями Лагранжа, в которых ое Осе '---'(' — ) с«,) дА дА дА ') Здесь для выражения (оч) А = о — -1- о — +о хдх -' ду хое ислользуется известная формула векторного анализа (О1Г)А+ и Х ГО«А = йтаб(ОА), в которой о рассматривается как постоянный вектор.
В справед- ливости этой формулы легко убеждаемся, сравнивая между собой проекции на оси х, у, л левой н правой частей равенства. Дей- ствительно, для оси х дЛх дАх дАх Г дЛу ддх т х+о х ) х 1, Г У х1 дх ' ду ' де «( дх ду Г дЛх дЛх 1 дЛх дЛ дА д .«+„ дл дх/ х д.к "дх ' дх д.к Аналогичные формулы имеют место для проекций на оси у н л. 82 кяавнвния движения в потвнциальном полз 1гл. и где о'=Х'+рз+»', а с — величина скорости света. Здесь А уже ие является функцией второй степени относительно скоростей х, у, д и' !'/а Если в выражении для фуикпяи А разложить (1 — — „) в ряд О по степеням — и отбросить члены второго и более высокого нос О / оа!'/з 1 о* рядна относительно †, т.
е. положить ~1 — †) сь 1 — — — , то с ' са/ 2 с' получится чкзассическоеъ выражение функции Лагранжа для изоляроваиной материальной точки, а ииеяио: с = — то'+ сопя!. 1 2 В этой и следукяцей глзвах мы будем вести изложение для систем общего типа'), движение которых определяется уравнениями Лагранжа (2) с произвольной функцией 1. = Е (1, дп /)/).
Мы будем лишь предполагать„что гессиан функции 1. относительно обобщенных скоростей не равен тождественно нулю '): бе1 ~ —,"-~ — )" ~ 0. (19) Уравнения (2) в развернутом виде могут быть записаны так; л .~~ фа+(яв)=0, (20) а=! где через (вя) мы обозначили сумму членов, не содержащих обобщенных ускорений д/ (1=1, ..., и). г)оскольку опРЕделитель системы линейных (относительно ча) УРавнений (20) отличен от нуля !см.
неравенство (19)), то систему (20) можно разрешить относительно обобщенных ускорений и записать в виде 1)! О/ (1 9» фа) (1 1 «) ') Те положения, которые справедливы только для натуральных систем, будут специально оговорены. дЧ. 5/Т ') для натуральных систем — = . .
= а а 1/, а = 5р, ар„ 5д, ад, =1, ..., л) и потому по доказанному в $7 (стр. 54 — 55) неравен- ство (!З) выполяяатся, кьноннчзскиз гаавнения гамильтона % м1 Поэтому сделанный в и 7 вывод об однозначном определении движения системы путем задания начальных данных й), Щ (1=1, ..., и) справедлив не только для натуральных систем, но и для рассматриваемых здесь систем более общего типа. ф 12. Канонические уравнения Гамильтона Лагранж показал, как выписываются дифференциальные уравнения движения системы, если известен кинетический потенциал (функция Лагранжа) Е=Е(1, ао о,).
Будем называть переменные 1, ап д, (1=1, ..., п), через которые выражается функция Лагранжа, переменнымп Лагранжа. Система значений этих переменных характеризует момент времени и соответствующее состояние системы, т. е. положение системы и скорости ее точек. Как уже было отмечено в конце предыдущего параграфа, задание функции Лагранжа и начального состояния однозначно определяет движение системы. Гамильтон предложил в качестве основных переменных, характеризующих состояние системы, взять величины 1, оо р, (1=1, ..., л), где р~ (1= 1, ..., и) — обобщенные импульсы, определяемые равенствами дЕ р,= — (1 1, ..., и), дА Переменные 1, ао р; (1=1, ..., л) будем называть переменными Га мильтона.
Поскольку якобиан правых частей равенств (1) по переменным ф, является отличным от нуля гессианом функции Е (см. условие (19) на стр. 82), то уравнения (1) могут быть разрешены относительно о, (1 =1, ..., и): Таким образом, переменные Гамильтона могут быть выражены через переменные Лагранжа и наоборот и состояние системы можно характеризовать как системой значений переменных Лагранжа, так н системой значений переменных Гамильтона.
84 тнлвнеиия движвиия в потвнцилльном полн 1гл. и р;= ~ атл~уа+с, (7=1, ..., л). Решая эту систему линейных уравнений относительно Ц '), получаем для дт снова линейные выражения Чт= ~~ Ь1лРа+Ьт (7=1, ..., л), (4) а=-1 где Ьы и Ьт — фУнкции от Г, 7„..., пл. Если в натуральной системе силы ь)1 (1=1, ..., л) имеют обычный потенциал П(Г, тут), то нз равенства 7.= 7 — П следует '); дТ ддт ' (б) Заметим, что любая функция от переменных Лагранжа Р=Р(г ь А) после подстановки в нее вместообобщенных скоростей дт выражений (2) нли (4) превращается в некоторую функцию Р(7, дн рт) от переменных Гамильтона. Функцию Р(г, дт.
р,) будем называть союзным выражением для функции Р((, до 1)т). П р и м е р. Для свободной материальной точки декартовы яоординаты х, у, с являются неаависимымн и а потенциальном поле П»П(т, х, у, л) функция Лагранжа имеет внд Ь= — п~ (Х'+до+ ат) — П(Г, х, у, л). ') Кая было установлено в 4 7, бет(а1а)"а 1 фо, ') При силах, имеющих обобщенный потенциал, формулы (5) неверны. В ном случае (см. равенства (7) и (10) на стр, 73 — 79) д7' рт= — — —.— — Пт (7=1, ..., п).
дрт В случае натуральной системы 1.— квадратичная функция (см. стр. 77 — 79) относительно обобщенных скоростей и, согласно равенствам (1), обобщенные импульсы линейно выражаются через обобщенные скорости: кАиоиические уРАВнения глмильтонА 86 а 1з) Лскартозым координатам соответствуют импульсы дЕ Рх= — „,=®нд, РУ=Я~Р Рг=в~а (6) йх Если мы отсюда определим Х, р, а н полученные выражения под- ставим в 7., то получим союзнос выражение для 6 1 6= — (Р' + р';+ Р') — П (Г, х, у, з).
(7) Бели вместо П(Г, х, у, з) имеем обобщенный потенциал )г= пут+ ПАР+ П Е+ П, где П„Пз, П„П вЂ” функции от г, х, у, з, то из равенства 6= 2 ю(х~+у'+ з') — Пуа — Пзу — П,а — П ! находим дб Р„= — = м,с — П„Р, = юр — П, рз юа — П (6') дх д ! и союзное выражение 7. имеет зид 6= — (Рх+Р'„+Раз) — 9 (П, + П. + Пг) — П. (7') Гамильтон ввел в рассмотрение функцию Н(г, дп Рг), определяемую равенством (8) н показал, что с помощью этой функции уравнения движения могут быть записаны в виде следующей системы 2л обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка; и )г 6гт' лрг дЛ ст др; ' г)г дсг — — — ()=1, ..., л).
(9) 86 РРАвнениЯ дзижениЯ з пОтенциАльнОм пОле !Гл. и Эти уравнения называются каноническими уравнениями или уравнениями Гамильтона '). Функция Н(Ц ог, р!), определяемая равенством (8), называется функцией Гамильтона. Вывод канонических уравнений Гамильтона будет опираться на следующую математическую теорему.
Теорема Дон кина'). Пусть дана некоторая функция Х(х„..., х„), гессиан которой отличен от нуля: бе1 (-д-~ — ) ~ О, (10) и пусть имеется преобразование переменных, «порождаемое» функцией Х(хг, ..., х„): у =,1 (1=1, .;., и). дХ (11) Тогда существует преобразование, обратное преобразованию (11), которое также порождается некоторой функцией У(уг, ..., у„): — (1=1, ..., ); ду (12) У! при этом порождающая функция ?' обратного преобразования связана с порождающей функцией Х прямого преобразования формулой ') л г'= Р', х!у; Х. (18) 1-1 Если функция Х содержит параметры а„..., а, т. е.
Х=Х(х„..., х„; а„..., а ), то )' гпакже содсржип! эти параметры, т. е. г'= 1'(у,...,, у„; а„..., а ) и — — — (у' 1, ..., т). ду дХ (14) дл! д«! Д о к а з а т е л ь с т в о. Гессиан функции Х совпадает с якобианом правых частей в уравнениях (11). Поэтому условие (10) показывает, что нз уравнений (11) можно выразить ') Впервые зти урааиеиия з общем виде были получены анганйскнм мдтематиком»'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
