Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Тогдз мы докажем, что между функцией Н и функциями ф, Р, имеют место зависимости 116 !гл. ш влвнационныв пвннципы (15), мы находим выражения для уо р~ и т в виде функций от переменной р и от произвольных начальных данных Е4 р~ (1=1, ..., л) и 1, (при р=О): %=Рюш~ 'Ь Рг га) Рь=фгЬ; И~ р3, св) (1=1„..., л).
(16) 1=Х(Р1 р) рг, 10) Мы получили параметрические уравнения для семейства всех прямых путей. Так как нам нужны только те прямые пути, которые образуют данную трубку, то мы должны выбирать начальную точку Л(а(л', р), 1а) на кривой См т. е. в уравнения (16) вместо о), рт и га следует подставить от (а), рг (а), га (а). Сделав зто, мы найдем параметрические уравнения для пря- мых путей, образующих данную трубку, д;=~7~(р, а), р;=р;(р., з), г=г(р„а) (17) (1=1, ..., л; 0(а«а;Р); здесь значение з выделяет определенный прямой путь («образующую» трубки), а значение параметра р фиксирует определенную точку на атом прямом пути.
Полагая р =сопа1, мы на каждой образующей получаем точку, а на трубке — замкнутую кривую. Будем считать, что в интеграле (12) вместо ди р, и 1 подставлены их выражения (17). Тогда интеграл 1 будет представлять собой функцию параметра р и при каждом фиксированном значении 1ь будет криволинейным интегралом вдоль соответствующей замкнутой кривой р= сопа1. В силу инвариантности Я=О, где буква Ы означает дифференцирование по параметру р. Проводя дифференцирование под знаком интеграла, находим: ОснОВБОЙ интвГРАльный инВАРиАнт 119 3 !а! Написав йд!у! и 3А!г вместо г16!у! и г!й! и проинтегрировав по частям вдоль замкнутого контура, получим '): и О=$~ У (дР!8|,.— йр,аЦ,) — дН81+йидст т=! =ф'~!' )(ар!+~~'де) йд, +( — дуг+»" 11) ар+ ! ! +1,— дн+дн и) йе), или, в силу (15), разделив почленно на !тр.= — -, и =ЙХ ~('+Г)' +(-~г+д"-) '1+ +( ""+фйс),, (18) Выражение, стоящее под знаком интеграла, должно быть полным дифференциалом при произвольном множителе и, а зто возможно только тогда, когда выражение в фигурных скобках равно нулю, Приравняв вто выражение нулю, получим дН дН 3= д ь)! Д ( 1 ° и )1 й Р! что и требовалось доказать а): Из доказанного следует, что пнвариаклгность интеграла Прамваре — Кар!мпла лгозгсет бывгь пололсела в основу В Операпии д н Ь можно переставить местами, тая кая они представляют собой дифференцирование по различным независимым переменным и и и.
далее, при интегрировании по частям проинтегрнрованная часть пропадает (равна нулю), тая как конечная точка пути интегрирования совпадает с начальной. Поэтому дая любых двух фунапий и и о при интегрировании по замкнутому контуру !~ пап= †!~ и Ьи. дН дН ') Мы получаем еще тождество — = — которое явлвется вг дг ' следствием канонических уравнений Гамильтона (см, равенство (201 на стр.
88). 12О 1гл, ш вляилционныв пвинципы лгеханакп, так как из этой инвариантности вытекзет, что движение системы подчиняется каноническим уравнениям Гамильтона. 3 а м е ч а н и е. При доказательстве мы ввели вспомогательную переменную н и использовали то обстоятельство, что интеграл ! не меняет своего значении при переходе от одной кривой семейства Н= сопят к другой кривой того же семейства, Из-за произвольности функции к!!, дг, йт) семейство кривых Н = сопят по существу явзяется произвольным семейством непересекающихся замкнутых кривых, охватывающих данную трубку прямых путей.
Если мы не ввели бы параметр щ а принвли бы в качестве параметра время Г, то, повторяя те же рассуждения, мы только частично испальзовалн бы ннвариантность интеграла ! (толыго для кривых из одновременных состояний г = сопле) н не могли бы прийти к нужному результату. Рассмотрим теперь подробнее структуру интеграла Пуанкаре — Картана. В интеграле Пуанкаре — Картана !12) время ! входит на правах координаты туп а роль соответствующего импульса играет величина — Н, т. е.
энергия, взятая с противоположным знаком. Это — далеко идущая аналогия. Сделаем в интеграле ! замену переменных, введя новую переменную г, связанную со стзрымн переменными соотношением Н1т чвдт). (19) Из этого соотношения выразим р;. р1= — )1 1! Чг "° т л р "° рч) !20) Тогда основной интеграл ! в новых переменных запишется так: ! = $ «а!+ Райй+ ° ° ° + РлйУя — !Саут !21) Таким образом, и в новых переменных интеграл ! имеет внд интеграла Пуанкаре — Картана, но только теперь роль времени играет переменная 1у„ а вместо прежней энергии Н стоит импульс рь взятый с противоположным знаком, т. Е. К. Поэтому, согласно доказанному ранее, в новых переменных движение системы должно описываться следующей гамильтоновой а гвг ОснОВКОЙ интеГРАлъный инВАРиАнт 121 системой дифференциальных уравнений: дл дК ду, дт' 1 др дК вЂ” = — — (у'=2, ...
л). аЕ дК дл,= д" (22) Здесь независимой переменной является ог. Проиллюстрнруем это на примере линейного оспиллятора. Для него р' слэ 2ш 2 откуда р= )Гш Рг — 2с — ау'. Таким образом, в нашем случае К= — Уг т )г — 2э — сгу". Соответствующие канонические уравнения (22) запишутся так: дт -а/и ! да ну у' с ду — 2 — — от с Из второго уравнения а=сопят= — уг. Прн помощи квадратуры находим Й ду т=~ — а, .~/ 2л / с где ы = 1у †, а а в произвольная постоянная, или ш' му+ а = агс мп 1/ 2 —, гу т. е. - гоуг д=Аэш(от+а) (А= ~/ — ), Составим канонические уравнения, приняв за независимую перемен- ную гу. Для этого положим 122 1гл.
ш ВЛРИЛПИОННЫВ ПРИНПИПЫ % 19. Гндродииамнческая интерпретация основного интегрального инварнаита. Теоремы Томсона н Гельмгольца о циркуляции и вихрях Для конкретной интерпретации понятия об ннтегрзльном инва рианте рассмотрим движение идеальной жидкости под действием внешних сил с потенциалом П (Д х, у, з). Как известно из гидро- динамики '), уравнение движения частицы такой жидкости имеет вид 1 а= — дгабП вЂ” — агап р, Р где а в ускорение частицы, р и р — ее плотность и давление, а потенциал П отнесен к сдйнице массы. Примем, что Р и р связаны функциональным соотношением р =у(р) (это в частности имеет место при изотермическом протекании процесса). Тогда, положив й=п + '1 лр, ) Р мы запишем уравнение (1) в виде и= — дгаб П.
Последнее уравнение показывает, что движение частицы жидкости идентично движению материальной точки с массой ш=! в потенциальном поле П=П (Д х, у, л), Поэтому для движения частиц жидкости интегральным инвариантом будет интеграл Пуанкаре — Картана, который в данном случае имеет вид У~ ~ и Ьх+«Ьу+шда — Едт, (2) Е = — (и + «'+ ш') + П (г, х, у, з). (8) Такам образом, интеграл (2), взятый вдоль произвольно замкнутого контура в семимерпом пространстве (Г, х, у, л, и, «, тя), не меняет своей величины при произвольном смещейии точек йонтура в соответствии с движением жидкости. Это движение происходит ') См., например, К о ч и в Н. В., К и б е л ь И, А. и Р о з е Н. В., Теоретмческая гндромехаянка.
т, 1, М.— Л., 1948, стр. 48, где и, «, ш †компонен скорости частицы [они в данном случае (прн и = 1) представляют собой импульсы р;[, Š— знергия, определяемая формулой гидводинамичвская интввпввтлция !2З а!э! в соответствии с дифференциальными уравнениями, аоторые в силу формулы (1') имеют вид йх Иу а'г Й ' йт йт — =и, — =о — =ге, (4) «!и дП йо дП !де дП ат дх ' йт ду' дс дг' Для денного частного случая уравнения (4) представляют собой канонические уравнения Гамильтона. Если задано конкретное лвижение жидности, при лотаром поле скоростей известно, т.
е, если известны функции и (т, х, у, г), о(т, х, у, г), ге(ц х, у; г), то интеграл (2) можно рассматривать лан интеграл в расширенном лоординатном пространстве, т. е. в четырех- мерном пространстве е, х, у, г. Значение этого интеграла не ме- няется, если мы гочки контура интегрирования произвольно сме- стим вдоль путей движения частиц, т. е.
интеграл 1 ™ и (т, х, у, г) йх+о (т, х, у, г) ау+ с +те(т, х, у, г) йг — Е(4, х, у, г) йг (5) является интегральным инвариантом в расширенном координатном пространстве для движения жидности с заданным полем скоростей, Если лонтур интегрирования состоит иэ одновременных состояний (с=сопл!), то интеграл (2) принимает втш и ах+ о ау -(- и! ьг. (6) В гндродинзмиае этот интеграл называется циркуляциеи скоростяи вдоль контура С.
Мы попутно получили теорему То мсон а о сохранении циркуляции с коро сти: величина циркуляции (6) не изменится, если частицы жидкости, образующие контур е лгомеит еремени ео лерееести е наложения, занимаемые ими е яроизеольный другой момент времени т,.
Если частицы жидкости в некоторый момент времени образуют линию, то эти же частицы в лругой момент образуют другую линию. Мы будем говорить о перемещающейся и деформирующейся со временем «жидной линии». Аналогично определяется понятие «жидкой поверхности». Теорема о сохранении циркуляции утверждает, что каждой замкнутой жидкой хиппи отвечает определенная циркуляция. Заметим, что согласно формуле Стокса ') интеграл (6) записывается в виде интеграла по поверхности 3, ограниченной лонтуром С: ~ (ау аз+») агах+," ах ау, (7) 3 ') См., например, Ф их т е н г о л ь ц Г. Мч Основы математического анализа, М., 1956, т.
2, гл. 22, б 4, 124 1гл. 01 влэилционнын пэинципы где дт ди ди дт до ди (8) ду иг ' дг дх ' дх ду — компоненты некоторого вектора (), называемого вихрем (ротором) скорости или просто вихрем. Интеграл (7) обычно представляют в виде (7') где па†проекция вектора 11 на нормаль к поверхности, а д5 — элелюент площади поверхности 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
