Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 21
Текст из файла (страница 21)
предполагается, что в рассматриваемом объеме таких точек нет. Тогда якобиан положителен в этом объеме'). Лифференпируя по 1 под знаком интеграла, получаем: 144 !гл. ш влаилционныв п»иннины поэтому ~! ~ д!г! лро лая лч! 1 1-! l «!Л Таким образом, ! — ~ =О. Так как начальный момент 1» г !=!в можно выбрать совершенно произвольно, то для любого 1 (4) т. ж величина фазового объема 1 не изменяется при сдвиге точек этого объема из состояний, занимаемых в момент времени 1«, в состояния, занимаемые в произвольный другой момент времени 1. Из инвариантности фазового объема вытекает одна из основных теорем статистической механики — теорема Лиувилля.
Представим себе, что имеется очень большое число совершенно одинаковых «экземпляров» системы, отличающихся друг от друга только начальными состояниями 4г, р,'(«=1, ... л). Все эти «экземпляры» образуют статистический ансамбль. Примером статистического ансамбля является совокупность молекул газа, находящегося в данном объеме. Каждому элементу объема д 'г фазового пространства можно отнести «массу» й!», хзрактеризующую. количество «экземпляров», приходящихся на данный элемент объема йК В силу доказанной инвариантности объема в фазовом пространстве величина й У не меняется с течением времени.
По своему физическому смыслу не изменяется и величина ф, так как экземпляры, находившиеся в объеме а'г' в какой-то момент времени, будут перемешаться вместе с этим объемом. Поэтому при движении остается неизменной плотность стати- Н5 тзогвмА лнувилля стического ансамбля вз Р(г Рг Рг)=В1г ~ (5) — =О. вг яс (6) В развернутом виде равенство (6) может быть записано так (см. $15): д', +(РН)=0 (6') где (РН) — скобки Пуассона. Согласно равенству (6) функция р(г, ао р,) является интегралом движения. Таким образом, нами доказ"-" следуюпгая теорема.
Т е о р е м а Л и у в и л л я. ! пность статистического ансамбля всегда является интегралом движения. Так, например, для консервативной системы любая функпия от энергии системы может служить плотностью статистического ансамбля. гллвл жег КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА †ЯКО В 24. Канонические преобразовании Преобразование координат в 2л-мериом фазовом пространстве (содержащее в общем случае переменную времени т как параметр) % 'Уг~~'ЧаРа) (у=1 „, даждь Ро "' «"чР») "О~ (ц а=а(ггрл ~ ' "" ' тгг ....,ь ы I называется маноничесгсим, если это преобразование перево- дит любую гамильтонову систему снова в гамильтоиову систему (вообще говоря„с другой функцией Гамильтона Й): — — — — — Ц=1, ..., л).
(3) ддт дй дрг дй дт дрг' дг дат Важность изучения канонических преобразоваиий связана с тем, что зги преобразования дают возможность заменить данную гамильтонову систему (2) другой гамильтоиовой системой (3), в которой функция Й имеет более простую структуру, чем Н. Если в фазовом пространстве последовательно выполнить два канонические преобразования, то результирующее преобразование снова будет каноническим.
Кроме того, преобразование, обратное некоторому каноническому преобразованию, всегда нвлаетсн кано- клноннческнв пэвовэлзования 147 ническин и томдественное преобразоалнне ос=.йь р1=Р1 (1=1, ..., л) есть каноническое. Поэтому все канонические преобразования в совокупности образуют группу, Пример ы. 1. Преобразование от=аль рг=ярг (1=1, ..., и; иапо, Рфо), как легко проВерить, является каноническим. Оно переводит систему (2) в систему (3) с г) = арн. 2. Преобразование йг=вРь рз = рй будет каноническим. В этом стучае 3. Преобразование Ц=Рзтйт, рг —— ЧЮСтиг (1=1, ..., л) будет каноническим, так как легко проверяется, что из уравнений (2) всегда получаются уравнения (3) при Л= — Н+ . 11 бишь 1 г 1 Для вывода условий, при которых преобразование (1) является каноническим, рассмотрим два расширенных Рис.
39. (2л+1)-мерных фавоных пространства (дорну) и Ць рн(), переходящих одно в другое при каноническом преобразовании (1), и две трубки пряных путей гамильтоновых систем (2) и (3) (рис. 39). 148 канонические пРБОБРАзоаАния 1гл. еч Возьмем два произвольных замкнутых контура С и С, ко~орые охватывают эти трубки и соответствуют друг другу в силу преобразования (1).
Кроме того, пере.ечем обе трубки одной и той же гиперплоскостью е = сопя(. В сечении получим два «плоских» контура С, и Сл, Эти контуры также переходят друг в друга при каноническом преобразовании (1), так как при каноническом преобразовзнии величина 1 остается неизменной. Из инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана следует, что ~~'~ р,йде — Н81~=$ ~~~~р,.йд,, с С, 1-1 л л ~~,'~Р,.8де Й81~=~ ~~1 РеЦе е 1 с Е 1 л С другой стороны, если в универсальном интегральном инваРианте ~ ~~> Ре 8 !У; пеРейти к пеРеменным !7п Ре (1 = 1,..., и) ! с помощью канонического преобразования (1), то этот интеграл перейдет в некоторый универсальный интегральный инвзриант первого порядка в 2л-мерном фазовом (де, ре)-пространстве; по теореме Лн Хуа-чжуна полученный инвариант может отличаться только постоянным множителем с от л ~> р; 8де.
Поэтому Е=! (6) е=! О сне ! Ив равенств (4) — (6) следует, что л л ~ реЪде — Й811=се41~ ~~ рейд; — НБГ1. (7) е 1 Если в первом интеграле счлтать, что переменные д ..., рл выражены через переменные д„..., рл (при этом контур каноничзскиз пзвозиязозания 149 интегрирования С заменяется контуром интегрирования С), то равенство (7) может быть переписано так: о о ~[ 1! р!Ъд! — ЙМ~ — с[ ~~ р; Ьу! — НЮХ=О. (8) с 1-! Но С вЂ” совершенно произвольный контур в (2п+1)-мерном расширенном фазовом пространстве.
Поэтому выражение, стоящее под знаком интеграла в равенстве (8), должно быть полным дифференциалом некоторой функции от 2п+ 1 аргументов а„р„..., аы р„и !. Эту функцию нам удобно будет обоаначать через — Р(1, д„р!); тогда') Х р! Вя ! — Й И=с ( Х р! 3а! — Н31) — 8Р. (9) ! ! 1=1 Заметим, что постоянная с в тождестве(9) всегда отлична ь от нуля, с ~ О, так как выражение ~, р! 8д! — Й 'в! не является ! ! полным дифференциалом') и потому не может быть равным — 3Р. Функцию Р будем называть производящей функцией, а постоянну!о с — валентностью рассматриваемого канонического преобразования (1). Каноническое преобразование будем называть унивалентным, если для него с=1.
Необходимым и достаточным условием каноничности преобразования (1) является существование производящей функции Р и некоторой постоянной с, при которых равенство (9) тождественно выполняется в силу преобразования (1). Замечание. Если преобразование (1) является каноническим, то существуют производящая функция Р и валеитность с о- 'О такие, что имеет место равенство (9) при любой функции Н и соответствующей Й Однзко если равенство (9) ж! гдр др ! др ') здесь ар= т ! — ай!+ — ар;! + — — м. = .У! '1дд, др! !! а! (=1 ') По отношению н независимым переменным д!, рь Г, а слеяовательно, и по отношению к независимым персменныи в!, рг, Г (1=1, ..., нр 199 клноничвскиз павоззлзовлния (гл. и! справедливо для одной пары функций Н и Й то преобразование (1) уже является Ханоничвским !).
Действительно, наряду с Н возьмем произвольную другую функцию Н! и определдм Й! из условия Й,— Й=с(Н,— Н). Умножая обе части этого равенства на л! и вычитая почленно полученное равенство из равенства (9), получаем: л л ~ч, 'р; Вд! — Й, "л(=с( "'„р, Ьд! — Н,лг) — вр, ! ! ! 1 Таким образом„равенство (9) справедливо для любой функции Н, и соответствующей Й,. Канонические преобразования иногда называют также контактными преобразованиями. В литературе часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования.
Многие авторы ошибочно считают„что этими преобрззованиями исчерпываются все преобразования (1), переводящие гамильтоновы системы снова в гамильтоновы. Эти авторы не замечают произвольного постоянного множителя с, который должен фигурировать в общей формуле для произвольного кзнонического преобразовдния. ф аб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
