Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 23
Текст из файла (страница 23)
ш клноничвскиз пявозодзоалниз 1 и д, (д, рассматриваются здесь как параметры) удовлетворяет уравнению в частных производных Гамильтона — Якоби. При этом, кроме уравнения Гамильтона — Якоби, для производящей функции 8(1, уь Уу,) должно выполняться условие (7) Как только производящая функция 8(1, рь г)г) найдена, формулы д5 д8 д .=Рь д .= Рь (~=~~ ° ") определят искомое свободное каноническое преобразование. Заменив в этих формулах дг на а; и р, на рп мы получим уравнения дввжения двиной голономной системы в конечном виде. Весь этот процесс удобнее описатть если с самого начала в 8 заменить ц, на аь ()= 1, ..., п), Введем определение.
Решение 8(1, уп а,) уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби, содержащее и произвольных постоянных а,, ..., а„, называется полным интегралом этого уравнения, если выполняется условие ~ д8 дд,д«л )ьь - 1 (8) Теперь мы можем сформулировать доказанную теорему. Теорема Якоби. Если 8(1„дь а) — некоторый полный интеграл уравнении Гамильтона — Якоби (6), то конечные уравнения движения голономной системы с данной функцией Н могут быть записаны в виде') — — (1=1, ..., п)„(0) д8 д8 ') Здесь мы вместо произвольных постоянных — Ц пишем просто аь В силу условия (3) последяие п уравнений (й) можно разрешить отяосигельно йп и выразить дь ..., д«в виде функций от С и 2н произвольных постоянных «а Вь где аь и Ць — произвольные постоянные (1=1, ..., п). Таким образом, знание полного интеграла уравнения в частных производных (6) избавляет нас от необходимости 157 % ЯБ! уРАвнвниз ГАмцльтонА-якови интегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений (1).
Задача интегрирования этой системы заменяется эквивалентной задачей отыскания полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби в частных производных. 3 а м е ч а н и е. Общее решение уравнения в частных проиаводных зависит от нескольких произвольных функций. Поэтому полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби отнюдь не является общим решением. Полный интеграл по сравнению с общим решением охватывает только небольшую «горстку» решений. Тем не менее по полному интегралу можно восстановить исходное уравнение (отсюда и название «полный интеграл»).
Действительно, дифференцируя полный интеграл, получаем д — — ~;(г, й, ~А) (г=1, ..., п), (1О) дЯ Дрт Д8 л =Х«И рь "л). (11) Если известен полный интеграл Ю(1, ~ул, ал), то известны и функции у,(1, и», пл) (1=0, 1, ..., п). Из соотношений (1О) д8 можно вырааить каждое пл через частные производные —, счу; ' г и дн поскольку, в силу условия (8), Д(го " ~ Ул) ,1 1 Г д'8 (12) д (ат, ..., ал) (дд дал1сл = т Подстзвив полученные выражения для Рл в равенство (11), получим исходное уравнение в частных производных (6)').
В качестве примера полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби рассмотрим так называемую главную функцссю Галгильтома. Для этого вернемся к формуле (7) на стр, 116 и к рис. 33 на стр, 116. рассмотрим только частный случай, когда 1«(п)=сопя(=г„т. е. примем, что контур Сь состоит из начальных состояний системы при с=ге.
Кроме того, вместо 1т, у), р», г11 будем писать просто 1, ун рн О. Тогда, если )У' — действие вдоль прямого пути (т. е. вдоль т) Можно считать, что полный интеграл 5 содержит еще (л+ 1)-ю лддитизиую произвольную постоянную «„о так как л уравнение (6) входят только производные от 5, л ие сама функция 8. 158 кяноннчяскнй пгиовРАзоаання 1гл. хч образующей трубки) от начальной точки (1=1,) до конеч- ной точки, соответствующей данному значению 1, то 31Р= ~Ч', р,.бах — Н31 — ~ рх84). (13) х=! х=х Если использовать конечные уравнения движения 4 ='Гх(1 у» РА), (1=1, ..., и) Рх='ух(1 хуа Ра) (14) (13) и вместо ух(1) подставить в выражение для действия В'=$ Е(1, дх, )х)йг %'= В'(1, »уо х)х). (16) Действие %; представленное в виде (1о), т.
е. в виде функции от начальных координат, конечных координат и конечного момента времени 1, называется главной фулкнххей Гомильхлона. Считая, что в равенстве (13) Ф есть главная функция Гамильтона, мы на основании итого равенства полу- чаем дйг дйг д =Рх д» Р) (= » ° ° ° » ) (1) дйх ' дйх д й» вЂ”,„-= — Н(1, Оо Р,). (18) Из раванств (1х) и (18) следует, что главная функция Гамильтона удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби дна-~- н~(С, дн д"г) =О, (19) их значения (14), то %' станет функцией от 1, 4»х, р1 (1= 1,..., и).
Гамильтон предложил, используя конечные уравнения движения (14), выразить Ра через С, 4) й дх и таким образом представить действие в виде каьвнанмв гамильтона-якоьи 159 а соотношения (17) представляют собой конечные уравнения движения, содержащие 2п произвольных постоянных 9), р1 (1=1, ..., п). Таким образом, Гамильтон показал, как записываются конечные уравнения движения при помощи полнпго интеграла уравнения (19).
Однако этот полный интеграл у Гамильтона не был произвольным и в нем произвольными постоянными были начальные значения 9) и р).' Получался порочный круг: для написания конечных уравнений движения (17) нужна главная функция Гамильтона, а для составления этой функции, как выше было показано, нужно знать конечные уравнения движения. Заслуга Якоби заключается в том, что, продолжив исследования Гамильтона, он разорвал этот порочный круг. Он показал, что конечные уравнения движения могут быть написаны в виде (9) ври помощи произвольного полного интеграла 8(1, дп а;) уравнения Гамильтона — Якоби. Вернемся к тождеству (13) н сопоставим его с тождеством (2) на стр. 151. Из сопоставления видно, что формулы (14) и (15), представляющие собой конечные уравнения двлжения и выражашщие гамильтоиовы координаты до р~ состояния системы в момент 1 через начальные координаты д,', ..., р„', можно рассматривать как свободное унивалентное каноническое преобразование от переменных уь, р1 (1=1, ..., и) к переменным рм рь (й= 1, ..., и); производяпгей функцией этого канонического преобразования является — Ж', где В' — главная функция Гамильтона ').
Таким образом, преобразование фавоволо пространства, ОсуиЬествляемов с помощью движений любой гамильтоновой системы, является каноническим (при этом свободным и унивалентным). Пример. Составим фун~щию Гамильтона для движения по инерции свободной магериалыюй точки.
В эгон случае (полагьем с,=о) к=кь+АА у=уь+увс, л=ль+ лот ') Для обратного канонического преобразования, в котором осуществляется переход от переменных ль р~ к переменным вьо р',. пронзводящея функцией будет главная функция Глцвльтоцл 1е'. 1ЕО КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЭОВАНИЯ (гл. гг и потому йу= — (Аоо+ Фо+ ао; дт = 2 (то+Уо+Ф= ((х хо) +(У Уо) +(л ло) ) о Есаи исходить из найденной главной функции Гамильтона Ф' [(х х,) +(у у,)'+(л л,) ), то уравнения движения получаются по формулам (17), которые в данном случае выглядят так: Р»= =„' дх х — хо — по —, — ло —, У вЂ” Уо т Пусть мы имеем обобшенно-консервативную систему дН вЂ” -=0). В этом случае уравнение Гамильтона — Якоби дт имеет вид Я+о(д,, "е)=о (20) и его полный интеграл можно искать в виде О= — Утг+ )/(д„..., по; а„..., ио, й), (21) где Ь и он ..., и», — пронввольные постоянные.
Подставляя это выражение для 8 в уравнение (20), мы получаем для определения функции Ь' следуюшее уравнение: уу'(фн '— ,') =Ь. (22) Найдя полный интеграл этого уравнения, т. е. решение )г(оу;; ен ..., ао т, й), для которого выполняется неравенство де( ( ~,А О (и„= й), (2З) д)и У Уо. 1оу ж ду дПУ л — *о, Р»= 1 дй' дх дхо о дйг У=ду, = д%' — Р— о дг, уРАВнение ГлмильтОНА — якоэи 161 мы с помощью формул (9) и (21) получим следующие конечные уравнения движения обобщенно-консервативной системы: о)г д— =рг (1=1 " и) юг — ()=1, ..., и — 1), — „=Г+Т, дуг о)г (24') (24') в Ю= ~ э,р +8в(1, дт, ..., ды, кн ..., ав). (25) в=т+1 Лля нахождения функции $, получаем уравнение дЗ, дЯ, дЗо -д~'+Н'1ь 'т'и ..., т'вп д — ', ..., д ', а~ем ..., а„) =О.
йт Чт (26) Если координаты гумтт, ..., д„являются циклическими у обобщенно-консервативной системы, то функцию Ю ищут ') Из первых и — 1 уравнений (24') можно выразить и — '1 координат через оставшуюся и-ю координату и 2п — 1 произвольных постоянных. Тогда получим уравнения траекторий в координатном пространстве. Последнее уравнение (24 ) устанавливает связь коордннвт с переменной времени Г 6 Ф, Р, Гантмахер где кь р ()=1, ..., и — 1), й и Т вЂ” произвольные постоянные. В силу условия (23) координаты 1ут, ..., ~ув могут быть определены из уравнения (24') как функции от 8 и 2и произвольных постоЯнных ад Р, Ь и Р ПодставлЯЯ полУченные выражения в уравнения (24'), найдем аналогичные выражения для обобщенных импульсов р, (1=1, .... и) ').
В случае обобщенно-консервативной системы мы заменили уравнение (6) уравнением (20), в котором число независимых переменных на единицу меньше. Аналогичное понижение числа независимых переменных в уравнении в частных производных можно произвести и в том случае, если одна из координат циклическая. Рассмотрим сразу общий случай, когда несколько координат д „..., п„являются циклическими. В этом случае Н=Н(Г, гуь ..., ды, р„..., р„), и полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби можно искать в виде 162 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1гл.
!ч в виде л 8= — Ы+ Я а„д„+ К,(!у1, „., Ом, ан ..., а„, Ь),(27) и+! где функция 1ГА определяется из уравнения №, д~'о Н(1у! "° тм д —, ..., — ', ам„, ..., а„)=Ь, (28) Ч1 Юч ф 27. Метод разделения переменных. Примеры Мы показали, что интегрирование системы канонических урзвнений сводится к нахождению полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби. Это положение имеет не только теоретический интерес. Оказалось, что многие задачи динамики и в том числе задачи, представляющие интерес для теоретической физики, получают на этом пути свое удобное практическое решение.
Здесь мы познакомим читателя с методом разделения переменных для нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби. Этот метод применяется в тех случаях, когда функция Гамильтона Н обобщенно-консервативной системы имеет специальную структуру. 1'. Пусть Н 0 У! (Ч! Р1)Ф ' 1 1п (ЧА РЛ" (1) В этом случае в выражении для функции Н переменные разделены: в каждую функцию у; входит только одна пара сопряженных переменных дв ри Уравнение (22) предыдущего параграфа теперь запишет- ся так Ф1 й) "" '~" — ".)1=" Положим дгг ! Г!(д1, — !=ц! (1=1, ..., Н), й!! (2) где а„..., а„— произвольные постоянныа Тогда, согласно формуле (1), постоянную Ь можно выразить через постоянные и„..., ав следующим образом: Ь=О(а„..., а„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
