Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 24
Текст из файла (страница 24)
163 метод ааздзлпння пиевмвнных Разрешив равенства (3) относительно 3 —, найдем ) дУ дУ вЂ” г»1(»71, ц;) (1=1, ..., л), дД1 \l= (» ~ Рг(»ун а,)»т»71 1 1 8= — 0(ц„..., ая) К + 5„'~ тот (»71, а»)»(»71. (6) 1-1 В этом случае да 3 дг'1 д'8 — — — =О при 1ре»е (1, л=1 ... л) и основное условие сводится к неравенству П' — "'ф О. 1=1 Поскольку соотношение 11(7и р)=а, (7) (8) зквивалентно уравнению рт Р1 Йт' цг)~ (О) то ') мы предполагаем, что каждая функция уг(дь рд фактически содержит импульс рн т. е.
что — фо. В атом случае уравнения (3) дуг дР1 дУ могут быть разрешены относительно р»= — , 'каждая функция г» дя»' является функцией от лвух переменных ай н ад 1= 1, , и. Вя — *=~ ~') ре О (1=1, ..., и), (1О) и условие (7) всегда выполнено. Поэтому формула (6) определяет полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Конечные уравнения движения д3 д8 д!)1 ' даг =Р1 = рт (1 = 1. ° ° ° л) (11) 164 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1гл. 17 в данном случае запишутся так'): да р лес да. + д дут — ~( = 1,, орт~Рс рдче «р (1 1 т) 1 рт — — Рс(до ас) Таким образом, нахождение конечных уравнений движения осуществляется с помощью квздратур.
П р и и е р 1. Рассмотрим осциллятор с одной степенью свободы. В этом случае Р' ее« Н= — +— 2в 2 р= Р"2ва — вс4«, а собственно уравнение движения запишется так: — т+ — ~ д4 а с УА« — 4« (14) где 2«, с А'= —, а«= —, с' в' Замечая, что интеграл в формуле (14) равен агс э(п А, получаеи Ф уравнение движения в следующем виде; д = А МП а (С + Р), (15) ') В формулах (5) и (6) мы под интегралом ~ рс(4ь ат) дяс бу- У, дем понимать интеграл ~ Рс(дь а;)дйь где постоянная тс фнкснтс Рована и не зависит от значений пРоизвольных постоанных ал1 тогДа л — у ~ рл(еы аь) 44»= — да рс(рн ат) ддс= да — дйь ь=! Затем мы используем соотношение (1О).
и, таким образом, 2 +2' Р' ся« 2в а уравнение (2) имеет вид Положим А=а) тогда 5= — ах+) )' 2ва — вс4«д4, и из конечных уравнений движении (11) находим выражение для импульса 165 мвтод плпдвлвння пвпимвннык 2'. Пусть УУ=Кя( ° ° КаЪ1й(гу» Рт) ра Рв)* фа Рл) ° ° ° ф Р ) (16) Тогда уравнение для определения Ъ' запишется так: лл 1( Кв '(ьа ~81 (у» ~у ) ю уа й~у ~ю Ча л ) Введем проиввольные постоянные а» ..., а т и а„=ут и положим последовательно ст)г) лт ~(ут~ у — а» фу,) дУ1 Лт (а» д„— ~= па ' дд,у (17) дЬ'1 оя1 л» 'уя' д у тл Определяя отсюда частные проивводные, найдем') д)г ~ — — — О,(ф» а,), тт дУ йу, — = Оа (у„а„аа), д)г д — =Оя(фл, а„» а„).
гул Отсюда )г= ~' ~ О;(рь а, „аг)Буев) 1 (18) ') Мы предполагаем, что — жо, т. е. что рг действительно длт дрт входит в фУнкцию Лг(ль Р;). ') Здесь и далее в атом параграфе под неопределенным интегралом понимаем (как и в п. !') определенный интеграл с переменным верхним пределом и фиксированным, не вависяптнм от л» ..., е„ постоянным нижним пределом. Я= — а„у+ 1) ~ 0;(~уь а; » аг)йуп (19) г-г Здесь аз аа, оз ,), — л> д ~ — — О пРи 1(~ (У, Уг=1, ..., и).
чг т ~ чт ь 166 канонические пгеозяззозання 1гл. ш Поэтому условие (7) сводится к неравенству л И~~~'~0, 1 эквивалентно уравнению р~=0~(~ун а, „а,), (21) и потому — '= ( — ~) ~ 0 (1 = 1... „л). (22) да. др; я о 1ееа,а1 Лля дальнейшего нам понадобятся выражения для продса; изводных — ', которые находятся из уравнений (20) и (21), да~ ~' а именно: (23) Подставляя в конечные уравнения движения (11) выражение (19) и учитывая формулы (22) и (23), получаем окончательно: ) г Щ (М 1д1аа)р~ О,(ГГ аГ Г а) 1+ дЬ (др, )р о (я, (24) аь р "а-1 "л) р,=О,(9в а~ а, аД (1=1, ..., л).
(26) которое всегда выполняется, поскольку уравнение й(аг-1 дн Рг)=а! (20) 168 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (гл, гч При исследовании етого движения без нарушения общности можно считать„что начальная скорость лежит в плоскости мери- диана ф =сопле Тогда в начальный момент — = О и следовааф бб тельно, согласно формуле (26а), з„=О (27) и ф=р,=сопят, т. е. движение плоское. Почленно дифференцируя равенства (266) и (26в), получаем, что секториальная скорость ') равна 1,бб Рга, — г' — = — ' = сопят т. е. дзкжение в плоскости ф=сопзт происходит в соответствии с законом площадей. 1 Наконец, для определения траектории полагаем — =х и из г формулы (266) с учетом равенства (27) находим г(х — Р— 6, ф'"с+ 2йх — х' где с — —, й — —, Р— 2 )'"а, Рз.
2жл, жт аз ' аз' (28) Вычислив интеграл, получим х — й агс соз =  — () Р' Аз+с и, следовательно, х=й+ Ггй'+ ссоз(6 — р). 1 Наконеп, вспомнив, что х= †, получим для траектории уравнение конического сечения, в одном из фокусов которого расположен центр притяжения: г= 1+естм(0 — р) ' (29) 2азаз р= — = — '-, е= ~ 1+ — = 1+ — ''.
(86) ш7 ш7 Пусть точка описывает замкнутув орбиту (движение планеты, притягиваемой Солнцем). Тогда зта орбита — зллипс, в одном нз фокусов которого находится центр притяжения (Солнце). ') То есть производная по времени от площади, описываемой радиусом-вектором, проведенным из центра. где параметр и зксцентриситет конического сечения определяются нз равенств метод элзднлнння неэвмннных 1В0 Обозначив через г и а, Ь (л) Ь) площадь и полуоси эллипса, Ь'! найдем (поскольку, как известно, р = †/ а г"т а'аадт аа л' — = — = яар.
2юг Пусть с — период (время обращения), т= =.Тогданаосновании )/а равенств (30) 1 та ют гт атжар а'ш лт / т ! (31) 4 а' ат а' ат 1 П 1 ш /' где, согласно закону притяжения Ньютона, величина т, зависит только от пентра притяжения. Мы получили три закона Кеплера для движения планет вокруг Солнца: 1) планеты движутся с постоянной секториальной скоростью по плоским орбитам; 2) этими орбитами являются эллипсы, в одном из фокусов которых находится Солнце; 3) отношение квадратов времен обращения к кубам больших осей орбит для всех планет одинаково. 3'.
Рассмотрим еще в качестве примера применения метода разделения переменных случай, когда / У,(4 Р)+ "+Ул(Рл Рл) (32) дз (Ч Р ) + "+ дл (дл Рл) Тогда основное дифференциальное уравнение д)г дУ) (Ч» "ю !Ул~ д ° ° ° ю д ! =Ь 4, " дл! может быть записано в следующем виде: (33) Положим д)г! l дУ! у!(4!, д ! — Ьд!'4!, — /=а! (1=1, ..., и), (34) ' дУ!! '! ' дд!/ где а» ..., ал,— произвольные постоянные, а постоянная ал, в силу уравнения (33) и равенств (34), выражается через а» ..., ал „ а именно: "л = "! " ал-ь (35) !70 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (гл. !ч д(г Разрешим уравнения (34) относительно производных —: дф! ' — =Рз(!Уг, яь й) (1=1, ..., я).
д)т дры (36) Решение уравнении (33) берем в виде )г= )' ~ Р (дь ат, й) Щ, ! ! (37) Поэтому полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби имеет вид 8= — ж+ ~) ~ Рг(рв яь и) дрг, ! ! (38) Тогда конечные уравнения движения (!1) получаются с помощью квадратур д-Уд!) — 1 — "~!7„=3) (7=1, ..., и — 1), дР Р дРя я Х~ж— Г дР; д дя д! +"' ! = 1' рт=Рт(рп я! Ь) (!=! П) («,+,+...+.„=О). (39) дР! ( дЛ д3! 1 — ! =1 — й 1 да! ьдр! др! !Р Р (т я. А)! дР! гГду!' дйг1 ' — =$ — -" — 1 3!«! Р!)1 . (=1" ° ) дз ( д1т! дрзз ' !р р.(ч „А) = ~ '- > Разрешая УРавнение Л (Яь р!) †д(яь р!)=а! относительно Рь полу'шем Р! = Рг(чь я; й) (1= 1, ..., и).
Предполагается, что дУ! дд! выполняется условие разрешимости — ' — й — фО. В этом слудр! др! чае производные неявной функпии Р! равны 171 интой элзднлнния пнэнмннних Уравнения (39) в окончательной форме имеют вид (7=1, „., и — 1), (43) рт=Р!(41, е1, И) (1=1, ..., я) (ее+а + ...+ ан — — 0). Как частный случай получаем теорему Лиувилля: Если кинетическая и потенциальная энергии системы имеют вид Т= — (~ А!) ~) В!деч (41) 1=-1 1 1 где Ан Ве и П! — функции от одной переменной д! (1=1, ..., и), то конечные уравнения движения системы могут быть получены е помощью квадратур.
Действительно, для системы Лиувилля ~~ ( 1 + 2П!) Н= е н 2 ЯА! 1=1 (42) И— ! — е- — И вЂ” ~~1 дду— УдУ да 1-! ( дру дру ~р ру(чр а ь) но это частный случай формулы (32). 'Я П, 1=1 П=: и ~Ч', А, 1Т2 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (гл, ъч й 28. Применение канонических преобразованнй в теорнн возмушений Пусть известны движения' системы с данной функцией Н, т. е. решения (И вЂ” т (г ч» Р») Р1 — ф,(1, р», р») (1) (ч — Ю» Р— (Р)г; 1=1, ", л)) снстемы дифференциальных уравнении =д. д = д (1=1 " л) (2) д)1 дИ др1 дИ дг — др,. дг = дд1 и пусть требуется определять движение «возмушенной» системы с гамильтоновой функцией Н+ Н„ т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
