Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Линейный осниллятор. Положение равновесия устойчиво, Действительно, дая линейного осциааятора Т= — тоь П = — соь 2 ' 2 (т ) О с ) 0) и дифференциальное уравнение движения все + си = О имеет общее решение [[=бесов и (à — Гь) + йь а[пи (à — Гь) (и»= — ), с[ 101 теоРнмА лАГРАнжА Поэтому !О(г)(»(йь(+ — „(фь(< (Ф(г)(-"(йь(+!().(<е 1 — — (с — г ) У й й х=е "' ~С, соз — (С вЂ” гь)+Свин — (à — г)1, гп ь 1 где 1 й=)гтс — Уь, С,=хы С,= — (Ух +тХ). Отсюда при любом значении С ( Х (г) (» ( Сс (+ ( Сь (» ~1 + ) ( Хь ( + 1 Еь ( < в н (х(г)(» й ~1+Я((с,(+(с,()» если (х,(<Ь, (Л'ь(<Ь, где например, 2ю (~ .$.Е) 1, Если же У» Р' тс, то общее решение дифференциального уравнения движения тх+ ах+ сх=О имеет вид х С е — ть (г — ге) + С е — те (с — сь) где у~ ае уч тс 0 С тьхь+ ьь ть с —— и~ ть — т, тель+хе ь Ус — ча если только (ае(<ь, (йь(<ь, тле, например, ь=ш)п ( —, — ).
3. Материальная точка массы т может двигаться вдоль оси х под действием двух силе восстанавливаюгцей силы, пропорциональной отклонению — сх, и силы сопротивления среды, пропорциональной первой степени скорости — 2Ух (с)0, у)0). Точка х=О будет устойчивым положением равновесия, Рассмотрим сначала случай, когда коэффициент силы сопротивления мал: 0 <у< "утс, В этом случае дифференциальное уравнение движения гпх+2ух+сх=О имеет общее решение 192 УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ (ГЛ. Ч Отсюда при любом значении Г (о«+ "е) )хо!+2)яо ~ у) «о)+в) Ло) ~ )оо — ое) ~/уо и )Л(Г))е-о,)С,)+ )С )«Сйоеоо ~ Х,)+( о+,)) Ло) с) хо)+Г)ло) у у' — ве если )х,((ао,' Ео( СЬ, гае )' у — ве ЗГуо — вл 3/ у — вс Ь=в!п 2 е, 2 е, 2 о/ — ( у е ' в В примерах 2 и 3 устойчивость положения равновесии устанавливалась с помощью конечных уравнений, полученных путем интегрирования дифференциальных урзвнений движения системы.
Эти конечные уравнения движения давали нам зависимость отклонений о„ и обобщенных скоростей ое от времени г и начальных данных у,'„фг (1=1, ..., п). В более сложных (в частности, нелинейных) задачах определение этих конечных уравнений движения и их исследование весьма затруднительно. Поэтому представляют интерес критерии устойчивости положения равновесия, не требующие предварительного интегрирования дифференциальных уравнений движения системы.
Еще Торричелли (1644 г.) было известно, что положение системы тел, находящихся под действием сил тяжести, будет устойчивым, если центр тяжести втой системы тел занимает наннизшее из возможных положений. Лагранж обобщил этот принцип Торричелли на случай произвольных потенциальных сил и установил следующий критерий устойчивости положения равновесия консервативной системы: Теорема Лагранжа' ), Если в некотором положении консервативной системы потенциальная энергия имеет строгий минимум, то это положение являетея положением устойчивого равновесия системы. ') Эта теорема имеется з «Аналитической механиксе Лагранжа (1-е издание 1788 г.), но строгое доказательство теоремы дал впервые Лежен Дирихле.
Поэтому зту теорему часто называют теоремой Левела Дирихле, 193 теорема ллгрлнягл Показательство. Не нарушая общности, будем считать, что в рассматриваемом положении все координаты дт, ..., ра и потенциальная энергия П ®, ..., ра) равны нулю, т. е. е),= ... =7„=0 и П(0, ..., 0)=От). Так как в данном положении системы функция П имеет минимум, то в этом положении обобщенные силы равны нулю Я, — — =0 (1=1, ..., п), дП ддг т. е. точка а,= ... = ан 0 является положением равновесия системы. Палее, из того, что значение П(0„..., 0)=0 есть строгий минимум, следует, что в некоторой и-окрестности положения равновесия ~ 7е~<Д (1=1, ..., л) (3) имеет место строгое неравенство П(ап ..., а„))П(0, ..., 0)=0, (4) если только все координаты д; не равны одновременно нулю. Составим выражение для полной энергии системы: Е(7 " Р.
Фц", ра)=Т+П= а 1 %~ аы (7и тн) Ч; Фа+ П (Ч~ " т)н) (3) и а=а Из неравенства (4) и нз того, что Т) О, если хотя бы одна из обобщенных скоростей д1 не равна нулю '), следует, что при выполнении неравенств (3) всегда если только все 2л величин ди д, (1= 1, ..., и) не равны одновременно нулю, т. е.
полная энергия Е(ди Фг), ') Потенциальная энергия П определяется с точностью до произвольной аллитивиой постоянной. Эту постоянную подбираем так, чтобы значение П в положении равновесия было равно нулю. ') Это справедливо, если й-окрестность начала координат О в координатном пространстве ие содержит особых точек (см. примечание на стр. 33).
Мы предполагаем, что точка О, в которой функция П имеет минимум, не является особой. Но тогда и некоторая дюоярестиость точки О ие содержит особых точек. Мы выбираем а~~а. 7 Фт Р, Гантмахер 194 устОйчиВОсть РАВнОВесия и дВижения !гл. ч обращаясь в нуль в начале координат О 2п-мерного пространства состояний, имеет в этой точке строгий минимум (равный нулю). Выберем теперь произвольно число а, подчинив его лишь ограничению Оч ач,' Ь, и рассмотрим значения полной энергии Е на границе а-окрестности, определяемой неравенствами !йг)(а, 1 А~<а (1 1... °, и) (рис. 42). Поскольку эта граница представляет собой замкнутое множество точек, то непрерывная функция Е достигает на этой границе своего минимума Еь. Так как на гра- нице а-окрестности все значения Е по- Е'ь Е" ложительны, то положителен и минимум Е'.
Таким образом, на границе а-окрестности Е~ЕР'>О. (7) С другой стороны, поскольку непре. рывная функция Е обращается в нуль в начале координат О, то всегда существует такая 3-окрестность точки О '), в которой Е<. Е*. (8) Рис. 42. Поэтому если начальные координаты и начальные скорости удовлетворяют неравенствам (2), то начальная энергия Еь<. Е". 'г)о при движении консервативной системы ее полная энергия сохраняет свою начальную величину Е, и, следовательно, во все время движения Е< Е'. Поэтому при движении системы точка, изображающая это движение в пространстве состояний, не может достигнуть границы а-окрестности, на которой Е) Е*, и находится все время внутри этой окрестности. Теорема доказана.
К доказанной теореме мы сделаем два замечания. 3 а и е ч а н и е 1. Теорема Лагранжа остается справедливой для неконсервативной системы, которая получается ил консервативной добавлением гироскопических ') Поскольку в Ь-окрестности выполняется неравенство (8), то Ь =.ы 195 твоРЕМА ЛАГРАНЖА а зз! и дигсилатпалмх сил. Действительно, ааметим прежде всего, что положеняе равновесия сохранится, если к системе дополнительно приложить гироскопические яли диссипативные силы Я.(Ч» Фь).
Лля этих сил ХЫЯ * 7з) 7'„~О, ~р,~~й, ~ ц„!<А =! Выберем, как н ранее, за начало координат пространства состояний положение равновесия и предположим, что среди функций ф„есть хотя бы одна ф такая, что (,Зт(0) ф О. Тогда по непрерывности 1;ЗтфО и в Ь-окрестности начала кооРдинат. Но посколькУ !)з и рь независимы, их значениЯ в этой окрестности всегда можно выбрать так, что Х 6,ИА, 7З) А)0. «=1 а это противоречит условвю дисснпативности илн гироскопичности сил. Поэтому предположение о существовании бг(0) ~ 0 приводит к противоречию, т.
е. все Я„(0)=0, ч 1, ..., л, а это и свидетельствует о том, что добавление гироскопических н диссипативных снл не нарушает равновесия. Гироскопические силы не нарушают закона сохранения полной энергии (см. $8), и потому зсе доказательство теоремы Лагранжа остается без изменения н прн наличии гироскопических сил. Прн диссипативных силах полная энергия Е= т + Й убывает прн движении системы, н, следовательно, во время движения вместо равенства Е=Е, имеет место неравенство Е(ЕР. Но отсюда также следует, что во все время движения Е(Е*, если Ез.~~ Е".
Поэтому и здесь с этим небольшим изменением доказательство теоремы сохраняется. 3 а м е ч а н и е 2, Положение равновесия консервативной системы будет устойчивым и в том случае, когда в атом положении потенциальная звергия П нмеет нееироаий минимум, но в любой а-оярзстяоств положения равновесия существует замкнутая гнперповерхность у(7„ ..., д„) = о, (9) содержащая положение равновесия внутри себя н обладающая тем свойством, что на втой гиперповерхностн значения потенциальной 7' 196 гптойчивость элвиоввсия и дни>пиния !гл. ч энергии строго болыпе, чем значение П в положении равновесия.
Действительно, пусть по-прежнему в положении равновесна дт " да=О и П(0, ..., 0)=0. Кроме того, пусть уравнение гйперповерхйости (9) выбрано так, чтобы для точек, расположенных внутри замкнутой гиперповерхности (9), выполнялось неравенство У(до ..., д„) ~ О. (10) Тогда зто неравенство вместе с неравеншвами (да~(сл (0(сэ(ю й=!, ..., я) (1!) определяет в 2л-мерном ггространстве состояний область (конечный сгиперцилиндрэ) тг, распололсенную внутри э-окрестности (6). На границе области сг либо у=О (тогда П~ О, Т)0), либо хотя бы при олпом Л имеет место равенство ! дэ ! = сь (тогда Т) О, П =-О).
Поэтому на границе области сг всегда выполняется строгое неравенство Е= Т+ П) О. В рассматриваемом случае минимум функции Е на границе а-окрестности (6) ноже~ равняться нулю. Тогда при доказательстве теоремы Лагранжа нужно вместо э-окрестд= -с —. ности взять расположенную внутри нее область й. На границе области ст минимум полной энергии Еэ ~ О. После этого остальная часть докаэаРис. 43. тельства остается без изменения, Прн я=! замкнутая гн- перповерхность (9) вырождается в совокупность лвух точек на оси д, расположенных по разные стороны от начала О, а область ст — в прямоугольник, расположенный внутри э-окрестности точки () (рис. 43).
Изложенные в замечании 2 соображения сохраняют свою силу и тогда, когда к системе дополнительно приложены гироскопические и диссипативные силы (см. замечание 1). Если точки, э которых функция П имеет минимум П=О, заполняют сплошную кривую, исходящую нэ положения равновесна, то это положение равновесия может быть и неустойчивым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
