Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Доказательство этой теоремы достаточно провести для периодического случая, так как стационарный случай можно рассматривать как частный случай периодического с любым м Доказательство состоит в повторении рассуждений, приведенных ранее при доказательстве теоремы Лагранжа и теоремы об асимптотической устойчивости со следующими изменениями: вместо Е теперь используется разность 1 (х„..., х, 1) — 1 (О, ..., О, г), услОВная устОЙчиВОсть 200 а аа1 а вместо пространства (йн ф;) берется т-мерное пространство (хо ..., х„). Величину 1, входящую в У рассматриваем как параметр. В силу периодичности этот параметр можно изменять в конечном интервале 1ь~ С~С,+т. Влагодаря этому обстоятельству наличие в У переменной 1 не вызывает каких-либо осложнений при доказательстве теоремы.

Заметим, что в общем (нестационарном и непериодическом) случае на функцию Ляпунова нужно наложить более жесткие условия '). Отметим один частный случай теоремы Ляпунова, который часто используется в качестве критерия простой (неасимптотической) устойчивости. Пусть функция У(хн ..., х , 1) является интегралом системы дифференциальных уравнений (2), т. е. функция Упри подстановке в нее любого решения системы (2) превращается в постоянную. В этом случае — = У'(хн ..., х, 1)выО и можно считать, что функция У' в точке х,= ... =х,„=О при любом 1 имеет максимум и минимум (конечно, нестрогий).

Поэтому имеет место такое следствие из теоремы Ляпунова: С лед с та и е. Если система дифференциальных ураенений (2) имеет интеграл У(х„..., х, с) 1не заеиснший от т е стационарном случае и периодический относительно г с периодом т е периодическом случае1 и этот интеграл а точке х,= ... =х„,=О при любом фиксированном 1 имеет строгий экстремум, то нулевое решение системы (2) устойчиво. Заметим, что при доказательстве теоремы Лагранжа 'для консервативной системы используется интеграл энергии Е. Рассмотрим теперь движения илн более общие процессы, описываемые системой дифференциальных уравнений первого порядка: —,'-=2,(го ..., г~, Ф) (1=1, ..., т), (10) где правые части — непрерывные функции в некоторой области изменения переменных ем ..., г при г~(„удовлетворяю- ') см., например, ч е т а В в н. Г„Устойчивость движения, га. П.

210 нстойчнвость олвновнсня и двнжання ~гл. ч щие условиям существования и единственности решения по заданным начальным данным ге(уа) (1 ~1, ..., т). Пусть г„(1) (1и=1, ..., т) — решение системы уравнений (10), определяющее некоторый процесс. Для выяснения вопроса об устойчивости этого процесса введем вместо неизвестных функций гм ..., г новые неизвестные функции— «отклоненияв х;=г„— г,(г) (1=1, ..., т). () Тогда и новых перэмэнных система дифференциальных уравнений (10) запишется в виде системы (2), где Х;=Е,(х,+г,(Ф), ..., х +2 (1)) — Х,(г,(г), ..., г„Щ. (12) Решению г,=г,(Е) (1=1, ..., т) системы дифференциальных уравнений (10) в новых переменных соответствует нулевое решение х1 — — ...

— — хм= 0 системы дифференциальных 'уравнений (2). Это обстоятельство позволяет свести вопрос об устойчивости процесса г,(1) (е'= 1, ..., т) к изученному нами вопросу об устойчивости нулевого решения системы дифференциальных уравнений (2).,Другими словами, решение ге =2,(1) (1 = 1, ..., т) системы (10) называется устойчивым (соответственно аснмптотически устойчивым), если устойчиво (соответственно аснмптотически устойчиво) нулевое решение х, = ...

= х = 0 системы уравнений в отклонениях (2) при правых частях, определяемых формулами (12). Все это открывает широкое поле для применений приведенной в этом параграфе теоремы Ляпунова. Эта теорема может быть использована не только для определения устойчивости положения равновесия, но и для определения устойчивости движения и вообще любого процесса, определяемого системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

11римар. Рассмотрим вращение по инерции ювердоао мело омеющего неподвижную мочку О. Динамические уравнения Эйлера в атом случае имеют вид А — *( — С) ог,  — (С вЂ” А) гр, С вЂ” =(А — В) уд. др но Й дт дт Ф (13) Здесь р, о, г — проекции угловой скорости м на главные осн инерции тала 01, Оч, Ос; А, В, С вЂ” моменты инерции относительно зтнх осей. УСЛОВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ Уравнения (13) допускают следующие три частных решения, определяющих перманентные вращения тела относительно главных осей 1' д г О, р= сонат=р; 2' г=Р=О, 4=сонм=де; 3' р=д=О, г=сопзт г. Мы ограничимся выяснением устойчивости вращения 1', поскольку 2' и 3 могут быть записаны в виде 1' при другом обозначении осей.

При этом устойчивость решения 1 уравнений Эйлера (13) будет определять условную устойчивость вращения 1' относительно угловой скорости ев '). Составим уравнения в отклонениях, положнвх, =р — р„х, 4, х,=г: ихв С вЂ” А — хв (х, + р,), йх,  — С вЂ” — — х,х, дт А (14) дх А —  — х,(х, +р,) дг С Пусть вдоль осн Ое исследуемого перманентного вращения расположена большая или малая ось эллипсонда инерции, Поскольку величины А, В и С обратно пропорциональны квадратам осей эллипсоида инерции, это означает, что А С В, С или А ) В, С. Возьмем в качестве функции Ляпунова функцию У = (Ах', + Вхв«+ Сх, '+ 2АРх)' «- (В ( — А) хе« + С (С вЂ” А) хП„ т) Устойчивость относительно ю означает, что малое изменение начальной угловой скорости ю, влечет малое изменение вектора ю во все время движения, Другими словами, зто устойчивость относительно отклонений х, =р — р„ х, о, х, г.

Разумеется, углы Эйле а при этом непрерывно растут. Ч е т а е в Н, Гя Устойчивость движения, изд. 3, 1965, стр 37. где знак «+» берется в случае А (В, С, а знак « — з — в случае А>В, С. Функция У обращается в нуль при х,=х,=х,=О и положительна в окрестности этой точки, т. е. функция У имеет в этой точке строгий минимум. С другой стороны, как легко проверить, йУ вЂ” =О в силу уравнений (14), т.

е. функция )г является интеграйг лом системы дифференциальных уравнений (14). Поэтому, согласно следствию из теоремы Ляпунова, нерманеншнов вращение относиюелвно болыиой или малой оси эллииеоида инерции уеюойчиво. Можно было бы показать, что перманентное вращение относительно средней оси зллннсоида инерции неустойчиво, но для етого следовало бы воспользоваться критерием неустойчивости Четаева '). г!2 гстойчивость элвновпсия и дзижпния 1гл. ч 2. Рассмотрим в качестве примера задачу об устойчивости вращательного движения снаряда ').

Примем дая упрощения задачи, что центр тяжести снаряда С движется прямолинейно вдоль горизонтальной оси х с постоянной .скоростью о= сопэ1. Пусть Сху †вертикальн плоскость стрельбы. Положение оси снаряда (оси динамической симметрии) Сб определзется двумя углами: углом а, образованным проекцией Сх, оси С1 на плоскость Сху с осью Сх„и углом 6 между Сх, и Сб (рнс. 46), Последовательными поворотами на угол а и на угол 6 триэдр осей Схул переходит в триэдр СЬ~«. Дополнительный поворот на угол вокруг оси Сб переводит триэдр СЫ в триэдр осей, неизмевно связанных ео снарядом. Поэтому угловая скорость снаряда е состоит из трек составляющих: ю ю«+ю«+ю«~ где н, а, на=6,н«=ф, Проекцни угловой скорости яа главные оси инерции Сб, Сл, Сб определяются формулами Р=ф+а а1пр, у — 6, г= исозй, Рис.

46. Обозначая через А аксиальный, а через В экваториальный момент инерции снаряда, получаем для кинетической энергии выражение Т= — (АР'+ В (д'+ г)) = — [А (ф+ а з)п 6)'+ В (6'+ 6 соэ'ф)!. Будем считать, что помимо силы тяжести к снаряду приложена з точке П на оси снаряда (в «центре давления«) сила лобового сопротивления воздуха Ю, постоянная по величине ') и направленная в сторону, противоположную скорости о, т, е. в отрицательном направлении оси х. Пусть ! С0, а у — угол между осами Сх и С$, Тогда момент силы Я относительно С равен В)а1пТ, а элементарная работа силы Ю будет ВА Из1птзт — В(Яожу), ') Решение этой задачи было дано Н.

Г. Четаевым и опубликовано в «Прикладной математике и меланикет, т. Х, вып. 1, !946. ') Величина В есть функоия от о, )т у(н)> поэтому из о= = соню следует г(=сонат. 212 УСЛОВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ В зз1 поэтому в качестве потенпиааа сил можно принять функцию г) П= К! селу Исгяя совр. Колебания оси снаряда харантериэуются изменением углов я и Э. Для определения устойчивостя вращательного движения снаряда будем исходить нз трех интегралов движения: 1) Т+П= сонат; 2) 0„= сонат; 3) 01= Ар сонат.

Первый интеграл представляет собой интеграл энергии1 0„и 01 — проекции кинетического люмента 0С на оси Сх и СБ Постоянство 0„при движении системы следует из того, что момент силы Р относительно оси Сх равен нулю. Третий иьпеграл выражает постоянство обобщенного импульса Ар, соответствующего циклической координате Ч. Заметим, что (см. рис.

46) О, = 01 соа (хб) + 0 соз (хч) + 0с соз (хС) = = Ар соз (хЕ) + Во соз (хэ) + Вг соа (хь) = =Арсозасоэй+В(Р зща — а сова созй ыпэ) '). Комбинируя первые два интеграла с третьим и используя полученные выражения дзя Т, П, 0„, находим следующие два интеграла движения )э', н. К'„обращающиеся з нуль при а=6=а= В=О: Ф'» = —, В (б» Сщ» р + рэ) + В1 (СОЗ з СОЗ р — 1) = СОПж, 1 2 )Т'» = В (э' яп а — а соз а соз л з)п й) + Ар (соэ а соз р — 1) = сонат, Буде»» искать зяакоопределенную линейную комбинацию интегралов движения К'г †))7».

Предварительно определим в И', и И'» члены наиниэщей степени относительно малых величин а, Э, Ь, Э: )г' = — В (а»+ э») — — В1 (а»+ г») +..ч 1,, 1 'йг =В (эа — Йэ) — — Ар (а»+ э») + ...; ! 2 ') Дуги я, р, 1 на сфере с центром в С образуют прямоугольный сферический треугольник с «катетами» з, р и чгипотенузой» т. Для такого треугольника имеет место формула соэт созас~мр. Справедливость формулы следует из элементарных геометрических соображений. ') Дуги а ~ — + г и (х1) образуют прямоугольный сферический треугольник с »катетами» а и — +Э поэтому 2 гя соз(хС] соз а ам~ + й1= — соля аюу.

Характеристики

Список файлов лекций