Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 29
Текст из файла (страница 29)
В качестве соответствующего примера можно взять движение свободной материальной точки с потенциальной энергией, не содержащей одной из координат, например лз П=П(у, л), причем П(0, 0) =0 и П(у, л)~0 дри у'+э")О. В этом примере точки минимума заполняют ось х. Положение равновесия х у=а=О неустойчиво, так как при сколь угодно малой по величине начальной скорости, направленной вдоль оси х, точка будет совершать равно- мерное движение вдоль осн х. пвизнлки некстойчивости 197 % аь! В приведенных на стр. 190 примерах 1 и 2 рассматривается консервативная система, а в примере 3 (стр. 191) на точку действует и дисснпативная сила.
Потенциальная энергия имеет строгий минимум в примере 1 в наинизшей точке окружности, а в примерах 2 и 3 при .к =О. Поэтому эти положения равновесия являются устойчивыми. Пример 4. Коисарааиьиаиая систельа с одной степенью слободы имеель потенциальную энергию П=ь)«а(п — (дополнительно » определзем: П(0)=0).
В соответствии с замечанием 2 положение 9=0 †устойчив положение равновесия. В 34. Признаки неустойчивости положения равновесия. Теоремы Ляпунова и Четаева Бще в 1892 г. А. М. Ляпунов в своей знаменитой диссертации «Общая задача об устойчивости движения» поставил вопрос об обращении теоремы Лагранжа. Этот вопрос до сих пор полностью не решен. Частичное решение этого вопроса дают две теоремы Ляпунова и теорема Четаева, в которых устанавливаются некоторые достаточные условия для неустойчивости положения равновесна. Пусть по-прежнему я положении равновесия ьуь= ... =ь)а=О и П (О, ..., 0) =О. Напььшем разложение потенциальной энергии в ряд по степеням координат («отклонений»): П=П (ап ..., 9)+Пь„ы(д„..., дя)+ .. (Пы (ь)ь ." М уй О, т э 2(, П»(ь)ь " ьуа) одноролная функции й-й степени (й= т + 1, ...), а наинизшая нз степеней членов, фактически входящих ьдП ! в разложение, т ~2, так как в положении равновесия все( — ь = О.
ьуь « Теорема Л я и у н о з а 1. Есльь потенциальная энергои П(до ..., аа) консеРвативной системы а положении РааноаесиЯ не ил«ее»я манил«ума и эвш обстощиельство можно усмотреть из членов второй степени И,(бо ..., Оя) а разложении (1) '), то данное положение рааноэесия неустойчиво. д о к а з а т е л ь с т в о. В выражении для кинетической энергии 1 Т вЂ” . аь»дь()» Разложим коэффициенты аь»(до ..., аа) в Рад ь, 1 по степеням координат и обозначим через а7» свободные члены ') То есть и!=2 й П,— квадратичная форма, принимающая отрицательные значения (быть может, наряду с положительпыни).
198 УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ (ГЯ. У (т. е. значения функций а1ь(л„„., ря) при от = ... =О„=О). а 1 Тогда, полагая Т,= — ~т ата411(та, будем иметь 1,а-1 т= т, +(э), п=п,+(э); здесь и далее через (э) обозначаем сумму членов, имеющих более высокий порядок малости относительно координат и скоростей, чем выписанные ранее члены. Так как Т,— положительно определенная квадратичная форма с поетояннымй коэффициентами, то при помощи неособенного линейного преобразования переменных можно одновременно привести дзе квадратичные формы Т, и П, к сумме квадратов, после чего разложение для Т и П в новых переменных Оп ..., О„примет вид') т= — ~Р о~+(а), п= — ~ л о,+(.).
(Л) а=т а-1 Поскольку квадратичная форма И, принимает некоторые отрицательные значения, то, по крайней мере, одно Лл ~ О. В координатах Оа уравнения Лаграйжа запишутся так; Оь= — Лаба+(а) (й=!,, л). (з) рассмотрим вспомогательную квадратичную форму )т= — — Ун аа 1л'л$+ л + — 1оа +а(1 — ла) оьоа.т Ь=1 +( +~,+$ Л;~, (4) ') Координаты Оп .,., О„носят название нормальных илн главных координат. Более подробно они будут рассмотрены з $41.
где та=1 прн Ль)0 и аь= — 1 прн Ла(0 (й=!, ..., н), а чисЛо и ~ О. Непосредственно проверяется, что в силу уравнений (3) и равенства (4) при движении системы л ~< 'о- -"~. ~ .(ч~-с)н+н><-м1. н а-1 Не нарушая общности, будем считать что Л,.СО и что Л,— наибольшее число из отрицательных ла. т)оложнтельное число 11 выберем так, чтобы одновременно выполнялись неравенства Л,+ —.сО, Ц+Л,+ — О. (6) НРизивки нпусто(!низости 199 Иа первого неравенства следует, что суммз в правой части равенства (5) представляет собой положительно определенную квадратичную форму.
Но тогда при достаточно малых (по абсолютной величине) Ва и Вь !Вь((й ~6ь!(Ь (6=1 ..., и) (7) правая часть равенства (5) будет всегда положительна, т. е. — (е вс У)»0, д йг е Рс (Г» е-оио (/о, У» У ево — ГО!. ое откуда или (8) ') Доказатетьства читатель может найти в следующих книгах: Ля пуп ов А.
М., Общая задача об устойчивости движения, !935, 9 16 и 25! Четаев Н, Г., Устойчивость движения, 1965, 9 17; Малкин И. Г., Теория устойчивости движеннл, 1952, 9!4 и 17. ') То есть в некоторой окрестности начала координат (исключая само начало) всегда П (ди ..., 6„) ( О. Это возможно только прн четном оп.
Положим все начальные значения Воь йоь (й=!, ..., и) рав- ными нулю, за исключением В,', которое возьмем по модулю мень- шим й. Тогда, используя выражение (4) и второе неравенство (6), находим (го»0. Но при этом движение обязательно выйдет за пре- делы окрестности (7), как бы мвл нн был ,'Во(, так как в против- ном случае нз неравенства (8) следовало бы, что 1пп У=со, С со а квадратичная форма У в окрестности (7) ограничена. Теорема доказана, В случае, когда в разложении (1) т »2, можно применять следующие две теоремы, которые приведем без доказательства ').
Теорема Ляпунова П. Если потенциальная энергия П консервативной системы при цо= ... =6„0 имеет строгий максимум и это обстоятельство может быть определено, ис- ходя из членов нашоившей степени Пт (6„..., цв) (т си 2) в раз- ложении (1)'), то положение цг= ... =6„=0 является неу- стойчивым положением равновесия системы. Теорема Четв ев а.
Если потенциальная энергия П кон- сервативной системы является однородной функцией отклоне- ний Цо, йп и в положении Равновесиа Ц,= ... =де=О не имеет минимума, то вто положение равновесия неустойчиво. Примеры. 1, Пусть П А(1 — совий); п=!. Функция П 2йя в точках цоь= — имеет строгие мининумы, а в точках дов г = а (26 — !) п — строгие максимумы (й О, -о-1, -о.2, ...). Прн етом 200 кстойчнвость злвноввсия и движения 1гл. ч последнее обстоятельство следует из вида члена наинизшего поряляа в разложении по степеням отклонений аз и- — -'2-(9 — 9.,)*+ -.
Тогда, согласно теоремам Лагранжа и Ляпунова, точкзм Взя соответствуют устойчивые, а точкам дзз, — неустойчивые положения равновесия. 2. П = АВ, ... 9я. Из теяремы Четззвз следует, что положение в, = ... с„ О является неустойчивым положением равновесия. $86. Асимптотичвская устойчивость положения равновесия. Дисснпитивные системы Введем теперь понятие об асимптотически устойчивом положении равновесия. Положение равновесия называется асилгитотически устойчивыж, если оно устойчиво и если, кроме того, при достаточно малых по абсолютной величине начальных отклонениях н начальных скоростях все отклонения н скорости прн неограниченном возрастании времени ! стремятся к нулю, т.
е. если сугаествует такое число Вз) О, что !!пт и, (!) = О, 1!щ д, (!) 0 (! = 1, ..., и) (1 ) всикигу рав, когда удовлетворлютси неравенства !И!с'В ~ ч! 1<Вз (1-1, ", я) (1') Прн геометрической интерпретации (рис. 44) вто означает, что в пространстве состояний (ди дг) все траектории, нзчинающиеся в Вз-окрестности начала координат О, асимптотнчески приближаются (при ! со) к точке О. В рассмотренных на стр.
190 †1 примерах 1, 2 н В только в примере 3 устойчивое положение равновесия является зснмптотнчсски устойчивым. Мы будем рассматривать склероРнс. 44. номные системы, находящиеся под дП воздействием потенцизланых сил — — — и непотенциальных двг сял С)г (1=1,, и), и будем предполагать, что потенцн- асимптотическая гстойчнвость 201 а зз! альная внергия П и непотенциальные силы 1;), не зависят явно от времени: П П(д»), ф= ()г(~у», 1)») (1 =1, ..., л).
(2) В атом случае время 1 не входит явно в уравнения Лагранжа, которые могут быть записаны в следующем виде (разрешенном относительно обобщенных ускорений) (см. й 7, стр. бб): Ф'г=О,(д», р,) (1=1, ..., ). (З) В рассматриваемом случае полная внергия Е склерономной системы не содержит явно времени: Е=ЕИ», А) (4) Вычисляя ее полную производную по времени при движении системы, находим: лЕ дб де ч Й »1,~ дяг фг+дД ~-1 Таким образом, в каждой точке пространства состояний (р», р») не только полная внергия, но и ее полная производная по времени имеют определенные значения.
Если силы ь); (1 =1, ..., л) являются диссипативными »Е (см. $8), то при движении системы — ~0, т. е. функция а'г Е' (д», р») в рассматриваемой области простр а нств а состояний принимает лишь непо ложитель ные значения. В случае определенно-ди ссипативной системы (см. й 8) ИŠ— =Е'(ун ч,) обращается в нуль только в тех точках прока странства состояний (ог, ~,), где все К О, 1 1, ..., л. Будем предполагать, что положение равновесия системы является изолированным, т.
е. в его окрестности нет других положений равновесия'). Тогда имеет место ') На ато обстоятельство не было обращено внимания в первом издании книги, и теорема об асимптотической устойчивости в той форме, как ода была там сформулироваца, неверна (см. Гантмахер Ф. Р., Замечание по книге «Лекции по аналитической механике~, Физматгиз, Моска», 1960, Прикладная математика и механика т. 26, аып. 2, 1962д 202 гстойчнвость вавноввсня и дзижвння ~гл. т Теорема об асимптотической устойчивости.
Если лотенциальная энергия П склерономной определеннодиссилативной системы в некотором положении равновесия имеет строгий литнимум и это положение равновесия является изолированным, то положение равноввсия асимнтотически устойчиво. Доказательство. Пусть снова в положении равновесия т1 = чя = ° ° ° = йн = 0 и П (0) = О. Как и при доказательстве теоремы Лагранжа, выберем в пространстве состояний а-окрестность начала координат О, в которой энергия Е положив тельна, Е(до Ф,).> О, (б) Ю во всех точках, отличных от О, и в которой нет состояний равновесия, отличных от О.
Так как согласно теореме Лагранжа положение равновесия Фг = ... =~7„ = О устойчиво, для любого а > 0 можно указать В(а))0 такое, что все движения Рис. 45. протекают внутри а-окресююсти точки О, если начальная точка выбрана в 6-окрестности (рис. 4б). 8 качестве Вкокрестности возьмем окрестность, в ~отарой выполняется условие (8) 2 33 (Ь, ~ 3).
Рассмотрим какое-либо из движений, начинающихся в йкокрестности. Поскольку при движении энергия Е убывает, то') 1пп Е (С) = Е =в О, пРичем Е(с))Е (1~1а). ДопУстим сначала, что Е чЕО, т, е. Е ) О, и рассмотрим последовательность вначвиий времени С, -« со и последовательности значений фазовых координат д» д (с,), д~'~ д,(~), с=1, ..., п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
