Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Поскольку де! У=1, а определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц- сомножителей, то из (4) находим бе! М = -с-!. Таким образом, симплектнчесние матрицы являются неособеннымии '). Матрицу М, удовлетворяющую соотношениям (3), будем называть обобщенно-симплектической (с валентностью с)'). Так как соотношения (12) предыдущего параграфа свелись и условию обобщенной симплелтнчности якобиевой матрицы М, то и р и т е р и й к а н о н и ч н о с т и преобразования может быть сформулирован тал: Для того чтобы некоторое преобразование аг= йг(Г, рм рв), Рг=Рг(Г Чт Рь) (1 = 1, ..., и) было каноническом, йеобходимо и достаточно, чтобы соответствующая этому преобразованию якобиева матрйг(а М была обоби!енно-симплектической с постоянной валентностью с.
(В случае унивалентного преобразования матрица М является обыкновенной симплектической.) При этом условие симплектичности (3) должно выполннться тождественно относительно всех переменных Г, ас, р! (! =1, ..., и). В 6 26 было установлено, что движение любой гамильтоновой системы может рассматриваться как свободное унивалентное каноничеслое преобразование.
Следовательно, его ялобиева матрица симплентпчна и ее определитель г' (см. стр. 142 — 143) равен -+-1. Поскольку в начальный момент г'(О)=+1, то г'=+1 во все последующие моменты времени, но именно этот определитель слу- ') Как легко проверить, произведение двух симплелтичеслих матриц, обратная матрица для любой симплектнчесной и единичная матрица являются снова симплектичесвими матрицами. Поэтому симплехтичеслие матрицы образуют группу — симплектическую группу.
Симплектичесние матрицы характеризуются следующим свойл с!вон. В билинейной форме У= ~ч~~ (хьу,' — у;х!) подвергнем 2п ! ! переменных хь уг и 2п переменных хг, у! одному и тому же линейному преобразованию с симплектической матрицей коэффициентов М. Тогда в новых переменных хв, угв и хгч', уг' форма у сохран нит свой вид: У= г,' (хе!уз' — увхв'). ! 1 *) Все обобщенно-симплелтичеслие матрицы (прн всех сфО) также образуют группу. Если М вЂ” обобщенно-симплелтичесная матрица, то бе!М=='-с". 13В КАНОНИЧПОКИВ НРВОВРАЗОВАНИЯ (ГЛ.
!У жит подынтегральной функцией в выражении для фазового объема в 2я-мерном пространстве (формула (3) й 23). Это замечание может рассматриваться как отличное от проведенного в б 23 доказательство теоремы Лиувилля. й 32. Инварнантность скобок Пуассона при наноническом преобразовании Представим условие каноничности преобразования, записанное в форме равенства (3) предыдущего параграфа, в несколько измененной форме.
Умножим обе части этого равенства слева на (М') ', а справа — на М '. Получим: (М') г.УМ '= — Х 1 (1) с Возьмем обратные матрицы от обеих частей этого равенства, замечая, что с 1= — р'): Мгм'= А (2) Равенство МсМ' = сд получается из равенства М',УМ= сУ путем замены якобиевой матрицы М транспонированной матрицей М'. Но эта замена ]ем. формулу (1) 4 31] сводится к замене производных — , †, †, — соответственно на производные дд! д3! дР! дР! ду» ' др» ' ду» ' др» дд» др» дй» др» дд! ' дд! ' др! ' др! ' , —, —, —, т. е. в каждой производной меняются местами буйвы и индексы, стоящие вверху и внизу').
Поэтому, если равенство М'сМ=сл было зквивалентно системе равенств ]У; у»]=0, ]р! р»]=0, ]ч! р»]=сэш (1, »=1, ..., и), (3) то равенство (2) будет эквивалентно системе равенств ]д! д ]*=О, ]р! р»]*=О, ]д! р»]с Э! (1, »=1, ..., ), (4) где значок э указывает, что внутри скобки Лагранжа следует и оизвести указанную выше замену производных. Но тогда скобки агранжа переходят в скобки Пуассона. Действительно, я 1 ! я 1 1 ') Мы пользуемся здесь следуюшим правилом: обратная матрица произведения матриц равна пр ~изведению обратных матриц в обратном порядке: (АВС) '=С 'В 'А '. Кроме того, (Е 0) (Е О) !О Е ) т,е.лг= — Х ') Значок ° по-прежнему остается вверху. ИНВАРИАНТНОСТЬ СКОБОК ПУАССОНА где («1 «а) — скобки Пуассона для функций «1 и «» относительно независимых переменных д„р„..., дги р„, Совершенно аналогично [рг ра)и =(дг Рь), [дг ра)и= («1 «ь).
Пошому условия каноничносюи преобразования (4) могущ быюь записаны с помощью скобок )Ууассона в следующем виде: («1 «Ь)=0, (Рг РЬ)=0, («Е РА)=свел (1, й=!, .„, и). (5) Рассмотрим теперь две функции и и ф от величин дь рг (1= =1, ..., и) н Д Выражая в этих функциях дг, р; (1=1, ..., и) через дь, рь (й=1, ..., и) с помощью обратного канонического преобразования, мы можем рассматривать эти же функции как функции переменных «в, рь (й= 1, ..., п).
Соответственно скобки Пуассона от в, ф можно вычислить квк по отношению к переменным д, рг [обозначение (Ч фЦ, так и по отношению к переменным «г, 51 [обозначение (Т ф) ). Докажем справедливость тождества (в ф) =с(и ф) (6) Доказательство этого тождества опирается на известное выражение якобиана от системы сложных функций и д(Т, ф) ~ч [ 'д(Ч, ф) д(«1, «ь) д(Ч, ф) д(рг, рь)1 д(д,,р) = ~и у(дг, д,) д(дрру) + дуг, р) ТСд,,р))+ 1<А и % д(Т ф) дйь Рь) Просуммировав почленно вти тождества, получим ( ф)= 10 Г (««)+ ' у р)1+ чьт Г д(д, ф) д(т, ф) г,а-1 )(э Сч д(д ф) д(«1, ра) («1 р'" СА 1 Согласно равенствам (5) отсюда находим (д ф)=с~ у4-'-ф — '=с(Ч ф)-. д(«р ру) 188 КАНОНИЧКСКИВ ПРПОБРАЗОВАНИЯ (гл.
1и Справедливо и обратное утверждение. Если для любых двух функций а и ф выполняется тождество (7) при одной и той же постоянной с~О, то переход от 2п переменных дь рь к 2п переменным оь Рь осуществляется кайоническим преобразованием с валентностью с '). Длв увив алентного канонического преобразования с = 1, и потому (7 Ф) = (7 Ф) .
Другими словами, скобки Пуассона инеарианганы оганосижельно униеаленганмх канонических преобразоеоний. Зто свойство унивалентных канонических преобразований выделает зги преобразования среди всех возможных преобразований фазового пространства. ') Действительно, из равенства (7) вытекает, что (;. дл)=с(-г да)-=О, (Рг Ра)=с(Р,.
Рь)- =О, (аь ца)=с(ас рь) =сьы. ГЛАВА У УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ф ЗЗ. Теореыа Лагранжа об устойчивости положения равновесия Начнем с определения устойчивого положения равновесия. Предварительно напомним '), что положение системы называется положением равновесия, если система, находящаяся в начальный момент в этом, положении при нулевых скоростях, все время остается в этом положении. Пусть положение голономной системы определяется с помощью независимых координат ро .
„ д (л — число степеней свободы системы). Как было выяснено в ф б, в положении равновесия (и только в этом положении) все обобщенные силы равны нулю: О,=О (1=1, ..., я) '). Без нарушения общности можем считать, что рассматриваемое положение системы находится в начале координат и,= ... =У„=О. Тогда координаты любого другого положения системы дп ..., и„характеризуют отклонение этого положения от положения равновесия и потому сами нааываются олгялояениялгп системы. Положение равновесия рг= ... =~у„=О (или состояние равновесия д,= ... =д„=О, ф,= ... =д„=О) называется услгойчивылг, если при достаточно малых начальных г) См. $4, ') Если обобщенные силы Ог зависят не только от координат вм но и от обоб(ценных скоростей йа (я =1, ..., и), то равеисгва О~ =0 должны выполняться тогда, когда входящие в выражение дая О~ координаты ва заменяются координатами положения равновесия, а обобщенные скорости полагаются разными нулю.
1ОО устойчивость РАВнОВесия и ЛВижения [гл. ч отклонениях о» и достаточно малых начальных скоростях ь)с (1=1, ..., и) система во все время движения не выходит иа пределов сколь угодно малой (наперед заданной!) окрестности положения равновесия, имея при этом сколь угодно малые скорости ос (г = 1, ..., и), т. е.
если для любого в) О можно указать такое й=ь(в) >О, что для всех с.= сь выполняются неравенства [%(()[<, ! ),(()[< (1=1, ..., и), (1) коль скоро в начальный момент г=гс [Ф!<д ) б[! <д (1=1 " н) (2) Неравенства (1) и (2) удобно геометрически интерпретировать в 2п-мерном пространстве состояний (Тн фс). На рис. 41 (для случая п=1) в плоскости бт, о) изображены две окрестности начала координат О, соответствующие неравенствам (1) и (2). Если начало координат Π— устойчивое состояние равновесия и для заданного в .ьО должным образом подобрано 3 >О, то любое движение, начинающееся в момент ть внутри квадрата с центром в О и стороной 23, будет проходить все время внутри такого же квадрата со стороной 2в.
Прим еры. 1. Тяжелыб тарик может двигаться ло ободу, имеющему форму окружности и расположенному в вертикальной плоскости. Имеются два положения равновесия: наиниашая и наивысшая точки ояружностн. Иа них первая представляет собой устойчивое, а вторая — неустойчивое положение равновесия. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
