Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 26
Текст из файла (страница 26)
е. каждая из величин, входящих в одну из двух систем, выражается через величины другой и наоборот '). Поэтому п+ 0+ 1 величин Ч» " «л-ь Рл Члль ". ~ Ча~ «ь " ~ «л «у независимы, что противоречит амаксимальности» базиса (7), Таким образом, формулы (8) могут быть записаны так: «у=у(« " ««ь " «ь) Ру=у(« ", фь « " ° «ь) (/=й+ 1, ..., и). (13) Обозначим через дь ..., «„, «ь ..., «», (а,(а, Ь, (Ь) все величины, фактически входящие хотя бы в одну из правых частей формул (13); тогда «!=у(«ь" ~ «пр «г " «з,) Ру=у(0 " «а, «т "-в «а,') (14) (У=и+1, ..., л).
рг, — — у(..., «л, ...) (1, ( аь Х ) а). Но величина дг фактически входит в одно из выражений (!4); гг пусть, например, она входит в выражение для «у (/)гу): Тогда («Ь " «ГГ-Г РГ ЮГ+И " ю ЧЛ-Ь «Лап " «н «Ь - > «4 «у)ЕЮ оо(4 "*, «н, « -, «л) (1б) ') Если «л фактически входит в какую-либо функциональную зависимость, то зтУ зависимость можно РазРешить относительно «л. Покажем теперь, что величины «л, «(Х.ьа, р)Ь) фанти- чески не входят в те формулы (1!), где (~аь Ь~Ьь Допустим противное.
Пусть, например, дл (А~ а) фактически входит в выражение (11) для рг,, где 1, ( аь $2Э) СТРУКТУРА КАНОНИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 179 и, следовательно, а + Ы + 1 величин р - йй — Рй ЧН+ " йЛ-» РЛ йЛ» - й Фл " ра 5 независимы, что противоречит емаксимальностн» базиса (7). Таким образом, Раь =У(»ь "~ Ча~ тэи " ~ Я»ь) Рал=»»(ть " та Ф» " ю л»а) 08) (1,=1, ..., оь Ь,=1, ..., Ь,).
Обозначим через оя, „..., о„м Ьь»ь ..., г)э те нз величин о1, (1)аь Ь)Ь,), которые фактически входят в правые части формул (16). Тогда РП=У(ч» "° йаы ч» " чэ») (1! — — 1, ..., аб а»~а»(а), ) )(17) Р— У(йь" й, гФь ", Рэ) (Ь~ — 1, ... Ьь Ь,--Ь (Ь). Теперь покажем, что величины дл, р (Л ) и, и) Ь) фактически пе входят в выражсйия (11) для рь рл, где 1( о„й ( Ь,. Действительно, пустль например, ол (Л ) а) фактически входит в выражение для рг (а, ~1»(о»). р, =Р(..., лл, ...) (а,(1»~а„Л ° а)„ Но величина оы фактически входит в одно кз выражений (17), например в вырайение для рг .
Тогда величина ог фактически входит 1 Н в одно из выражений (14), например в выражение для 81 (у) а1): Рг,=у(" 81» ") (1»ап <.1мо»), ру=р(-., 81Н -.) (1»~п„у» В. В этом случае имеет место эквивалентность между системой величин йл "~ 81;ь Р; йггы " »71»-ь Рг» йг»+л " ~ йл-ь Рл»ь - ~ йя~ Рл " 6д 81 (18) и базисом (7). Поэтому величина рл независима от величин (18). Прибавляя рл к величинам (18), получим базис из и+ я'+ 1 величин, что невозможно. Таким образом, Р㻠— У(чи " ~ йа чт "° ~ Рь) Рл — э (чл " ~ ча ч» "ю й) (18) (1» я»+1, ..., аа, Ь»=Ь»+1, "., Ьа) 1ВО КАНОНИЧНСКИН ПРНОБРАЗОПАИИЯ (гл. ж ОбОЗНаЧИМ ЧЕРЕЗ д, + и ..., 4~, Ль, + Р ..., Ьь, тЕ ИЗ ВЕЛИЧИН ь чл (1) ам Ь) Ь,), которые фактйческн входят в формулы (19). авенства (19) запишем так: Рта г (чо "' ~ Чан Ь' " ~ '7ьа) (т,=а, +1, ..., а,; а„(а,~а,(а), Рьа= У(ао '" ' Ялм Ьо "' ' рьа) (Ья=Ь,+1, ..., Ь;, Ь, Ь, Ь,==Ь).
(20) Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока одновременно не будут достигнуты равенства а,=а „о Ь =Ь, „' тогда Рта=у(4 " Ь, Ф " фь,) ((а=аз, +1, ..., а; а,~...(аз~а), Рьл=г (чо ". чая Ь " ~ Ьа) (Ь=,Ь,,+1, ...„Ь;, Ь,~... Ь, Ь). (21) Вместо формул (14), (17), (20), ..., (21) можно написать 97=1(4 ° " ра, Ь " Ь,) Р)=У(чо" ра, Ь " рь,) Рт=У(Ь "~ Чам Ью " ю Ьл) Ра=У(4о" 4а, Ф " рь,) (У=Л+1, ..., «), (22) (1=1, ..., а,), (23) (3=1, ..., Ь,), (24) Э ЗО. Критерий каноничности преобразования. Скобки Лагранжа Установим некоторые критерии каноничности, т.
е. необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять 2л независимых функций (относйтельно ды рл (1=1, ..., л)) Ь=тт(т, 4л. Рь), Фт=(т(ф рь Ра) (1=1, ", я) (1) Пусть теперь аа)Ь. Тогда из формул (23) можно исключить ро ..., Оьа и получить зависимость между Ь, Рь что противоречит условию леммы. Если а,(Ьм то а, СЬл+1. Тогда из фоРмУл (22) и (24) можно исключить все йт и полУчить зависимость междУ Ь, Рл, что опять противоречит условию.
Таким образом, допущение о существовании максимального базиса (7), в котором лт ( и, привело нас к противоречию. Лемма доказана. й аа1 КРитеРий каноничности НРБОБРАВОБАния 181 для того, чтобы определяемое этими функциями преобразование было каноническим. Пусть преобразование (1) является каноническим. Выпишем для него определяющее тождество Д йтад! — уузт=с(~ р,зд,.— ИБС) — Вр(Й бЬ р). (2) ! г= ! Возьмем произвольное фиксированное значение г=7. Тогда из тождества (2) находим: рсэ!)с=с т' рсзо! — Бг"(С, дь р). с=! г=! (3) Но равенство (3) есть определяющее тождество лля преобразова- ния, не содержащего явно времени, 1!=у!(С~ бы р»)~ Р!=Фг(С~ б» р») (1=1~" ~ и) (4) Следовательно, формулы (4) определяют каноническое преобразование с валентностью с, не зависящей от выбранного значении Пусть теперь, наоборот, дано, что все преобразования, получающиеся из преобразования (!) после замены переменной с различными фиксированными значениями Й являются каноническими, и притом с алкой и той же вааентностью с.
Тогда, определяя функцию гт' раненством и в=сУ(+ — + У~ р— дР ъч дд! дс Л ' дс " г= 1 ф! — Тг(Щ», Р»), Р, — Т!(б», Р») (! — 1, ..., и, ~ 0) . (6) мы из равенств (3) и (5) получаем равенство (2), т, е. приходим к тому, что зависящее от времени С преобразование (1) является каноническим. Таким образом, для того чтобы зависящее от времени преобразоваиие (1) было каноническим, необходимо и достаточно, чтобы были каноническими, и иритом с одной и той же валентностью с, все не зависящие от времени с преобразования, получающиеся из преобразования (1) заменой с произвольным значением С. Поэтому при установлении критериев каноничности можно ограничиться каноническими преобразованиями, не содержащими явно переменной времена Й 182 !гд.
!ч КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Для канонического преобразования (6) определяющее тождество (2) записывается так! ~ч"„ра ада= с ~ раааа — ЬК(с(а, ра). (7) а ! а ! Выразим здесь Ьда через Ьп! и Ьр! с помощью формул (!). Тогда равенство (7) примет внд ~п ~(Ф, ьлт+ ф! ар,-)= — ьУг,(д„ра), ! ! (8) где а~с 'а д '!' ! а~! «Ад а 1 а ! Остается записать условия того, что левая часть равенства (8) является полным дифференциалом, и мы получаем критерий каноничности в виде равенств — — — — — — ((, й = 1„..., и).
(О) дФ! дФА д!Р! д%'а дФ! дфа дую йу! ' дра др! ' дра до! ~~ (дду дйу дд; дду! 0 у=! (дед д,дд) 0 др; дра дра др! у=! я ( — 8 д-У- — д-(- — "-) = сьса ((, я =1, ..., я), /=! (1О) где Ьы — символ Кронекера! Ьга= 0 при С ~ й, Ьгл = 1 при !=А (с, й= 1, ..., я). Условия (1О) можно записать в компактной форме, если ввести так называемые скобки Лагранжа, которые определяются для Подставляя сюда выражения (8'), после злементарных преобразований находим СИМПДПКТИЧНОСТЬ ЯКОЗИППОЙ МАТРИЦЫ 183 ааЛ заданных 2п функций Тьфу (1=1, ..., и) от двух переменных о и р следующим образом У): л л тР ~~~~~ ~амару~ (Ра(т; ф) ПП Использовав зтн обозначения и взяв в качестве ть фу функции дь ру (1=1, ..., и), определяемые формулами (6), мы можем записать условия (!О) так: (оу ~уа)=О, (ру ра)=О, (оу ра)=сдул (У, а=л1, ...> и); (12) здесь с в валентность каноннческого преобразования.
Равенства (12) выражают необходимые и достаточные условия того, чтобы преобразование (6) было каноническим. В случае преобразования, зависящего от времени т, условия (12) сохраняются, только они должны выпозняться прн любом значении т. ф 31. Симплектичность яыобиеной матрицм ыаноничесыого преобразования Рассмотрим якобневу матрицу канонического преобразования до, ддт дд, ддт дуг д~ул др~ дрл дал дРл дРл ддл ду1 "' Эо, др, "' др» Здесь — — якобиева матрица и-го порядка у хт— ~ .
Аналогично дй де ,~ де~ . определяются якобиевы матрицы и-го порядка —, — н дР др др ' дп др' ~) Пусть читатель сравнит скобки Лагранжа со скобхами Пуассона, введенными в 6 15. Там были заданы две функции т, ф от 2п переменных оь ру н скобки Пуассона равнялись сумме якобнанов д(у, ф) д (еь ру)' —, Здесь жс даны 2л функций от двух аргументов и скобки Лагранжа равны сумме якобнанов (11). друз до, ар ач1 дД„ адл дул др1 др, др, дол аР, ддл арл др, дрл где дЯ дд др ~ = др дР дй др канонические пвеоввлзования 1гд.
И Введем в рассмотрение специальную матрицу порядка 2п 0...0 — 1... 0 0...0 0...— 1 (0 Е1 1...0 0... 0 '(Е 0/' (2) 0 ... 1 0 ... 0 где с — валентность канонического преобразования. Действительно '), (' Но Проведя аналогичные вычисления для остальных трех блоков, получим что и требовалось доказать. ') В случае, когда элементами матрицы являются матрицы- блоки, умножение выполняется по тем же правилам, как если бы элементами матриц были числа, т. е. строки первой матрицы-сомножителя умножаются на столбцй второй матрицы-сомножителя (смч например, Г а н т м а х ер Ф.
Р., Теория матриц, б б). где Š— единичная матрица и-го порядка. Рассматривая наряду с матрицей М транспонированную матрицу М', составим произведение М'уМ и докажем, что в силу соотношений (12) предыдущего параграфа зто произведение тождественно равно срй м',ум= у, (3) СИМПЛВКТИЧНОСТЬ ЯКОБИИВОй МАТРИЦЫ 185 в ай Для унивалентного канонического преобразования равенство (3) записывается так; М'УМ=К (4) Матрицы М, для которых справедливо равенство (4), называются симплектическими.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
