Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Свободные кйдпндчвские преобрдзования Проведем более подробное исследование так называемых свободнык канонических преобразований. Эти преобразования характеризуются дополнительно неравенством (йи '"' т" ~ О, (1) й(Р„..., Р.) обеспечииающим независимость величин (, !уо ..
„ою !у!... „(!ю которые теперь могут быть выбраны в качестве основных ') Однако отсюда не следует, что клноничесное преобразование можно определить клк преобразование, яереводящее одну заданную гамильтонову систему я некоторую другую гамильтонозу систему. Тля, напрнмер, произзолчное Неланозическое преобразование ч 1= ч!(чл Рл) Р! = Рг(чл, Рл) (! = 1, ..., л) перевалит гамизьтонову систему с Н = О я глиильтоиоау систему с Й =О.
а И1 сВОБОдные ЕАнОнические пРеОБРАВОВАниЯ 161 переменных' ). Лействительно, это неравенство позволяет нз перных й уравнений (1) 5 24 выраянть обобщенные импульсы ро ..., р„через 2н+1 величин 1, 4п Ч! (1=1, ..., и) и, следовательно, позволяет представить любую функцию от переменных 1, <уп р; (1=1, ..., п) в виде функции от переменных 1, !уп 4'; (1=1, ..., н). В этом случае можно считать, что производящая функция представлена в виде функции Ю от этих переменных: Тогда основное тождество (Я) предыдущего параграфа запишется так: ~Чтр,бч! — Нб(=с(~т ртй!у! — -НБ1! — Б8(у, !у о) (2) ! '! ! ! Приравнивая слева н справа коэффициенты при йдт, ау! н М, получим следующие формулы: до дб з — с!7!, д — — ут! (1 — 1 ° ° ° ю л)~ йч! ' 4! Й= сН+ —, (4) Уравнения (3) олредалнюл! расслталтриааелсое каноническое нреобразоаание.
Покажем, что онн могут быть приведены к виду (1) 2 24. д8 частные пронзводные — (1=1, ..., и), стоящне в леде! вых частях первых и уравнений (3), как функции величин ту„..., дя независимы, потому что в снлу формул (3) зависимость я) л'1 — ° ° .
д ~ !ут~ "° ~ туп!=11 дЯ д3 перешла бы в равенство 1а(ср„..., ср„, !у„..., !у„)=0, ') В случае несвободного канонического преобразования величийы 1, д!, 4! (! = 1, ..., л) связайы еекоторычя зависимостями. '1 В втой зависнмости величины до ..., 4я рассматриваются кзк параметры. 152 сгл. сч КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ что возможно лишь при зажО, так как координаты точки фазового пространства с)с, р, (1=1...„п) — независимые д3 величины.
Из независимости производных — (1=1,,„п), ддс РзссматРиваемых как фУнкции пеРеменных с)с, ..., су„, следует, что якобиан этих функций не равен тождественно нулю. Тзким образом, для производящей функции о свободного канокического преобразования должен быть отличен от нуля определитель ( двс дал сс,а=с (5) дЗ д3 -д — =ри =--А (1=1, ..., и) дс) (6) и Й=Н+~~,. (7) ') Для несвободных канонических преобразований существуют определяющие формулы, аналогичные (Ед Эти формулы будут уставевлены в й 29.
Из неравенства (5) следует, что первые и уравнений (3) можно разрешить относительно фс (с=1, ..., п) и таким образом все новые фазовые переменные с)ь Р; ( 1, ..., и) выразить через старые переменные с)с, Рс (1 = 1...,, п). Полученное таким образом преобразование вида (1) будет обратимым, т. е. для него "' . чбО, так как в силу д(ди ..., Р„) (ви "° Рл) неравенства (5) последние и равенств (3) можно разрешить относительно дс и, следовательно, выразить все с)с, рс через 4ь Р, (1= 1, ..., п). Таким образом, уравнения (3) определяют свободное каноническое преобразование с данной производящей функссссей Ю(1, а„с)с) и с данной валентнастью с ф О, Формулы же (4) устанавливают простую связь между функциями Гамильтона Н и Й. Перебирая различные производящие функции 5', удовлетворяющие условию (5), и различные валентности с ф О, мы с помощью формул (3) можем охватить все свободные канонические преобразования').
Для унивалеитных (с = 1) свободных канонических преобразований формулы (3) и (4) принимают более простой вид а зь) сзоеодные кАноническне ПРИОБРАзовю!ия 153 Последнее рагенство показывает, что после применения одного и того же свободного унивалентного канонического преобразования к различным гамильтоновым системам во всех случаях разность между Й и Н будет одной и той же (равной дЗ Из равенства (4) следует, что Н=сН тогда и только д5 тогда, когда — =О, т.
е. когда производящая функция 8 дг не зависит явно от 1. В этом случае в силу равенств (3) время 1 не будет входить явно в формулы канонического преобразования. При таких канонических преобразованиях функция Н существенно не меняется, она умножается только на константу с. Поэтому если мы желаем получить новую систему с существенно более простой функцией Гамильтона, мы Обязательно должны взять свободное каноническое преобразование, содержащее время 1 как параметр. П р и м е р ы. 1.
На стр. 147 были рассмотрены три канонических преобразования; 1) от=ос)о Рт=дрт; 2) дт=арт, рт=гс)1' 3) яг=ргтйб рг=огстйг (1 1, ..., и), Преобразования 2) и 3) являются свободными. Они имеют производящие функции и валентности соответственно 8= — р ~ Щ, 1-1 л с= — а8; 8= — ст81 Р', отдь с= — 1. Преобразование же 1) не 1- является свободным. Для него с=ар, гжо, 2.
Рассмотрим произвольное аффннное преобрззование фазовой плоскости (о, р) (злесь и=1): (8) с) =а~у+ рр, Р=асп+ Рад (аут — атл Р';О). Подставим правые части равенств (8) в основное тождество (9) на стр. 149. Поскольку переменная Г не входит в правые час~и (8), мы и г будем искать в виде функции, не зависящей от времени 1 явно: Р=Г(д, р). тогда основное тождество примет внд (ато + ргр) (а аз+ Р зр) — ср ач = — ас', КАНОННЧЦСКИН ПРВОБРЛЗОВЛНИЯ !гл. !ч иля /1 л 1 а ! — вал)л + — рруэ) + а1~~у ар + (лр1 — с) р ат = — Зг; Левая часть этого равенства будет лолныи дифференциалом лри условии, что с=ар, — агу, Таким образом, преобразование (8) является каноническим с залентиосгью с, равной определителю преобразования, н с пронзводащей функцией л 1, л )э= — ла,г) + — рР1р + а1Р яр.
Это преобразование будет свободным, если Р~О. 3. Преобразование а=у' лсщ2р, Р= Г' лип 2р является свободным уннвалентиым каноническим преобразованием с яроизаодящей фунющей 8 = — л агс соз — — — ц р л — а'. 1 д 1 2 у',~ 2 Для натуральной системы координаты дн ..., д„определяли положение системы, а совместно с импульсами рн ..., рв онн определяли состояние системы, т. е.
положение и скорости ее точек. При каноническом преобразовании общего типа вта специфика координат теряется. Величины фн ..., дл уже не определяют положения системы, а только вместе с р„ ..., )т„ определяют состояние системы. Переменные уо ..., цл будут по-прежнему определять положение срстемы лишь и частном случае точечного канонического преобрааования, прн котором функции дс(1, дл, рл) фактически не содержат импульсов: 47! = Ч! (г рл) (! = 1, ° ° и) Заметим, что в дальнейшем преобразование произвольной системы Гамильтона к системе с функцией Н простой структуры удйется осуществить с помощью свободного канонического преобрааования. Свободное же кзноническое преобразование не является точечным.
Таким образом, неточечные канонические преобразования играют существенную роль в теории гамнльтонояых систем. ЬРАЗНЗНИБ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ 2 26. Уравнение Гамильтона — Якоби Теория канонических преобрззований приводит нас непосредственно к уравнению Гамильтона — Якоби. Пусть дана голономная система, движение которой подчиняется каноническим уравнениям Гамильтона дуь дгг дрг 'дН вЂ” — — — — (1=1 ..., и). (1) Постараемся определить такое свободное унизалентное каноническое преобразование, чтобы в преобразованной гамильтоновой систеМе — — — — — (1=1, ...
и) а76~ дН др; д1) дт др; ' дт дд; функция Н была тождественно равна нулю: Й= — О. (2) (6) тогда система (2) интегрируется непосредственно 2ь=аь РГ=Рь (4) это в сочетании с формулами (6) того же параграфа дает — + Н ~1, пь — ) = О. (6) Полученное уравнение в честных проиййодиых (6) носит название уравнения Галпгльтока — Якоби. Таким образом, производящая функция Ю(1, уп фь) с основными переменными где и; и ~, суть 2п произволвных постоянных. Зная каноническое преобразование, т.
е. связь между дл р; (1=1, ..., и) и Ц, р; (г=!,..., л), мы выразим все и, и р, как функции времени 1 и 2л произвольных постйяиных аь, рь (я= 1, ..., Л), т. е. полностью найдем конечные уравнения движения двиной голономной системы (все решения системы (1)). Как же определить нужное нам каноническое преобразованиег Лля этого в силу формулй (7) предыдущего параграфа необходимо и достаточйо, чтобы для производящей функции о'(1, пь ф„) искомого канонического преобразования выполнялось равенство дЗ вЂ” дг+Н(6 и р,)=О. (5) 156 )гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
