Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В последней части этого соотношения импульсы р- должны быть заменены их выражениями через ~~6 97л к дт т''' ! дд Ф которые могут быть получены из первых и — 1 уравнений (5). Преобразуем выражение для функции Р, исходя из равенств (3) и (9): 1 т ° 1 Р= ~~)„рр),'+р, = —.',т Мт = а (!.+ Ч). (19) т 2 ~=! ') См. равенство !8) на стр. 85. б Ф, Р. Гклтлккер 186 !!'л. ти вавилцмонныв принципы В случае натуральной, т.
е. обычной, консервативной системы 7 = Т вЂ” П и Н= Т+ П; следовательно Р= — (7.+Н)= —, А А ' причем кинетическая энергия Т может быть записана в виде я Т вЂ” , ''У' ата(утфа=д',а(дн..., д„, д,',..., д„'); (Г2) т,а-! здесь я 1 Ст Щ! ° ° ° !7~ 9, ° ° !7~) = 2 у„огарнуа г,а=! (о,' = 1). (18) Из равенств (1) и (12) находим Гй — И и получаем для функции Р следующее выражение: Р= — =2 )' 0()т — П). 2Т )т (14) (15) ') Эти уравнения были выведены немецким математиком К. Якоби и содержатся а его классических сЛекциях по динамикеь, изданных з 1886 г.
(русский перевод ГОНТИ, 1936). В случае ненатуральной обобщенно-консервативной системы функции Р, входящая я уравнения Якоби, определяется формулой (9). Пифференциальные уравнения (8), в которых функция Р имеет вид (16) и которые, таким образом, относятся к натуральным, т. е. обычным„консервативным системзм, носят название уравнений Якоби ').
Интегрируя уравнения Якоби, мы определяем исе траектории в координатном пространстве (!7т,..., д„): !71~-оу(от, Й, с„..., с,„,). (16) .Связь координат с переменной времени устанавливается из соотношения (14) с помощью квадратуры ЙУ!+с„н Т а (17) Переходим теперь к установлению принципа наименьшего действия Мопертюи — Лагранжа. Поскольку уравнения (8) $ ш1 Озовшенно-консеввлтизныв системы 181 являются уравнениями типа Лагранжа, то из ннх вытекает варнацнонный принцип, согласно которому для прямого пути (18) где (19) — действие ло Лагранжу. Здесь «допускаются к соревнованию» все движения обобщенно-консервативной системы, которые переводят систему из заданного началь- л ного положения й) в заданное конечное положение о) (рис. 35). При этом моменты времени гл и г1 не $' фиксируются и при переходе от прямого пути к 'тл окольным могут варьироваться ').
Выражая в интеграле (19) функцию Р с помощью ра- Рис. 35. венства (10), находим связь между действием по Лагранжу Ф'в н действием по Гамильтону 1«' Н Мул=~ (Т.+Н)йс=~ (.йс+Ь~ Ж=Ф+Ь(с1 — 1л) (20) г« г« г« В случае обычной (натуральной) консервативной системы можно воспользоваться выражением (11) и представить действие ') Равенство (18) устанавливает, что лля прямого пути действие по Лагранжах имеет стационарное значение. Вопрос о том, когда действне 1«нмеат для прямого пути наименьшее значеняе, решается с привлечением кнватнчеелих фокусов совершенно так же, как и дая пРинципа Гамильтона. Более подробно об атом см.
С ус л о л Г. К., Теоретическая иехаиила, $ 248. 182 !гл. ш вляилционные пяинципы по Лагранжу в виде гг н н хв 1 В'в=2 ~ ТИ= ~ ~~ т„о„'й(= ~) ~ т,о,йв„. (21) и и ! о В качестве примера рассмотрим сравнение оптического принципа Ферма с принципом наименьшего действия Мопертюи — Лагранжа '). Согласно принципу Ферма свет з неоднородной среде распре* страняется так, чтобы время пробега Я (22) было минимальным. Введя в каждой точке среды коэффициент преломления и=— — отношение скорости света с в пустоте к скорости о в данной среде, — мы преобразуем зту формулу к виду 1 Г ' — да пил, с д сс где и — функция точки среды.
Поэтому принцип Ферма запишется так: а ~ лес=о. (23) ') Впервые а несколько туманной формулировке этот принцип был сформулироззн Мопертюи в 1747 г. Строгая формулировка и обоснование принципа были даны Лагранжем а 1760 г. ') См,, например, Р о з е Н, В., Лекции по аналитической механике, ч. 1, Л., 1038, стр, 03-.04, Но при этом уже имеется в виду, что ск соревнованию» допускаются только те движения системы, при которых полнзя энергия системы имеет одно и то же значение Ь (иэоэнергетичность!).
Полученное выражение для %'" показывает, что действие по Лагранзку )ь'ь равно работе векторов количеств движения точек системы на соответствующем перемещении системы. Вариационный принцип (18) носит название принципа наименьшего действия ддопертюп — Лагранжа г). 1ЗЗ агц движнния по иннвпии (26) где Π— высота атмосферы, то, пренебрегая малыми членами по/з та рядка ( — ~, можно написать П=Д вЂ” —; 1 — гй — — с+из„ (27) где 1 с=я — — я', 2 (28) Формула (27) определяет потенциал силы тяжести вблизи поверхности Земли с видоизмененным значением и. Поэтому есаи показатеаь преломления и указанным образом изменяется с высотой, то свет рзспространяется по параболе с вертикальной осью, й 21. Движения по инерции.
Снязь с геодезическими линиями при произвольном движении консервативной системы Пусть дана произвоаьная скяерономная система; ее кинетическаз энергия равна 1 жт г= — 7 ом(г)п ." Ся) Иа. (1) с а=! Введем метрику в координатном пространстве (д„..., дя), определив квадрат длины дуги пза с помощью поаожнтеяьно опре. деленной квадратичной днфференциааьной формы я за'= Х ога(й " Ыпс пса. (2) йа-г С другой стороны, дая одной материальной точки с массой е принцип Мопертюи — Лагранжа дает (поскоаьку '/аюо' + П = й) Ь ~ юоЫз =)г т 3 ~ Гг 2(й — П)гтз=о. (24) го 50 Траектория светового луча совпадает с траекторией материааьной точки, если (см.
формуаы (28) и (24)) П=Ь вЂ” — и'. 1 2 (25) Если принять, что вблизи поверхности Земли показатель презомаениа и убывает как линейная функция высоты а влэииционныи пэ)(нцнпы (гл. ш Тогда величина дуги кривой, соединяющей две точки коордйнахного пространства (оь~) н (а ), определится равенством <т> бп) » (еь) (е») Иь-~ солоставляя формулы (1) и (2), найдем, что при движений си- схемы Т- — ( — ), (4) согласно формуле (4), следует, что — = 'г'2И, т. е. движению по инерции (а также любому движению с постолнным значением и кинетической энеРгии) соответствует в координатном пРостРансхае (дн ..., 4») РавномеРное движение изобйажающей точки со скоростью )'2И.
В соответствии с принципом наименьшего действия геодезические линии являются экстремалями ') вариационной задачи а))г»==О, (б) где %'» — действие по Лагранжу. Но в рассматриваемом случае как для прямого, так и для окольного пути имеет место интеграл энергии Т=И с фиксированным значением И; поэтому %'» = ~ 2 Т Ж = 2И (г — г») = Г' 2И з, Т, где 3= Тгди(Ф вЂ” гь) — дайна кривой з кооРдинатном пРостРанстве (б " ° бп) ') То есть кривыми, для которыя Ф» имеет стационарное значеппе. т, е. что кинетическая энергия систезгы [при метрике (2)[ асейда совладает с кинетической энергией изображающей точки э и-мернолг координатном пространстве, 'если этой точке приписать массу т= 1.
Рассмотрим теперь лвнжение системы по инерции (П = 0), Тогда все возможные при таком движении траектории изображающей точки носят название геодезических линий [по отношению к метрике (2)[. Из интеграла энергии 135 Э З!1 ДВИЖЕНИЯ ПО ИННРЦИИ Варнационная задача (6) принимает вид ')газ=В ~ ~/ ~ ~агаддгйде — — О.
(в)) г а ! Таким образом, геодезическая линия характлеризуется тем, пио длина дуги элюй кривой имеет экстремальное (точнее, стационарное) значение ио сравнению с дугами других кривых. имеющими с геодезической одни и те же концы ) (см. рис. 35 на стр. 131). В случае, когда для прямого пути действие по Лагранжу имеет минимум, длина дуги геодезической меньше длины любой другой кривой, соединяющей те же точки, что и дуга, геодезической. Поэтому геодезические линии называются также крдлгчойтими линиялси в пространстве. Рассмотрим теперь консервативную систему, т.
е. склерономную систему с не зависящей явно от С потенциальной энергией П =Н (до ..., д„). Тогда, согласно формулам (15) и (19) предыдущего параграфа, ф г л 1(та=2 ~3~0(И вЂ” П)ддт=2 ~ $/ (И вЂ” П) '~Р агайдгйда, (й) о о г,а ! в! ет Поэтому движение консервативной системы с данным значением полной энергии И осуществляется в координатном пространстве вдоль зкстремалн ввриацяонной задачи (с закрепленными концами) (ч() В ~ 1/ (И вЂ” П) ~ агаддтддл=О (10) Сопоставляя формулу (10) с формулой (3), заключаем, что для консервативной системы траекиюрии прямых путей йвляются геодезическими линиями в координатном пространстве с мет- рикой дз,'=(И вЂ” П) ~ ', а аддгдд . г,в ! ') Это всегда имеет место, когда концы дуги геодезической достаточно близки.
136 влаилционныв пэинципы 1гл. ш ф 22. Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре. Теорема Ли Хуа-чжуна Рассмотрим теперь интеграл 1=ге ~~р٠— Н31] вдоль 1=1 контура С, состоящего из одновременных состояний системы. Такой контур получается, если трубку прямых путей (см. рис. 33 на стр. 116) рассечь гнперплоскостью 1=сопз1. Лля такого контура 31=0 и основной интегральный инвариант принимает внд 1= у Х ггй(гг. Этот интеграл был впервые введен Пуанкаре. ПозжеКартан распространил этот интеграл и на контуры, состоящие из неодновременных согп стояний, введя дополнительное слагаемое — НЫ.
Интегральный инвариант Пуанкаре 11 не меняет своего значения, если контур С смешается ю вдоль трубки прямых путей, переходя в кон- А тур С; состоящий снова из одновременных состояний. Интеграл 1, удобно у$ рассматривать в обычном Рнс. 36. (нерасширенном) 2п-мер- ном фазовом пространстве (дп рн ..., ~у„, р„). В этом пространстве контурам С и С' (рис. 33) соответствуют контуры Р н Р, охватывающие трубку «прямых» траекторий (рис. 36); при этом е е г Ф ~р,йд,=$ ~ р,.36, й '=' Заметим, что один из контуров Р и Р', например Р, можно выбрать совершенно произвольно. Можно считать, что точки контура Р являются различными состояниями системы в один и тот же момент времени 1; тогда соответствующие состояния системы в момент времени 1' составят контур Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
