Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 32
Текст из файла (страница 32)
'12 214 УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ 1ГЛ. Ч тогда %» — Х П)»» = — (В«» + 2ВЩ+ (Ард — В)) Щ + +-2- (В2» — 2В1()«+ (АР1 — Ю) «') +... Для того чтобы каждое из выражений в квадратных скобках было положительно определенным, достаточно, чтобы выполннлось неравенство ВА* .В(Ард ВЛ~, Сокращав на В и преобразуя, получаем В)» — АЯ1 + И ~ О. Дая того чтобы последнее неравенство имело место при некотором вещественном Х, нужно, чтобы квадратный трехчлен в левой части этого неравенства имел вещественные корни, т.
е. должно иметь место неравенство А*р' ) ай. Это и есть условие, обеспечивающее устойчивость вращательного движения снаряда (при «отклонениях» «, Р, «, Р), так как при выполнении этого условия можно подобрать вещественное значение Х, при котором интеграл йт,— 1К'» будет иметь при «=р= =«=р=о строгий минимум, равный нулю. 2 37. Устойчивость линейных систем В предыдущем параграфе было показано, что исследование устойчивости любого процесса, определяемого системой обыкновенных дифференциальных уравнении '), сводится к исследованию устойчивости нулевого решения системы уравнений в отклонениях. Пусть дифференциальные уравнения в отклоненияхлинейны и имеют постоянные коэффициенты Нхг ът — у агама (1 1, ..., и).
а-1 Будем искать частное решение втой системы в виде х,= и,е" (1= 1, ..., и; л', (и,!т)О), (2) г=! ') Как извеспю, обычно такая система может быть записана в виде системы дйфференпиальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных. Для системы уравнений Лагранжа такая запись возможна всегда (см, 2 7), гстойчнвость лннвйных систвм 215 Подставляя выражения (2) в уравнения (1) и сокращая на е~, получаем соотношения, связывающие искомые величины и! и Л: и ~~ ' ливия — — 1и! (1= 1, ..., и), (з) ь-! или '~~~ (а!ь — ЛВы)иь — О (1=1, ..., л), (4) в=! где В;ь — символ Кронекера (В!в=1 при 1 й, Вы=О при 1фй). Так как з искомом решении (2), по крайней мере, одна из постоянных и! должна быть отлична от нуля, то определитель системы однородных уравнений (4) должен разняться нулю: ан Л аз я ° ° ° аы ам аы — Л ...
а,„ а„, ат ... а„— Л Таким образом, для определения Л мы получили алгебраическое уравнение л-й степени относительно Л. Уравнение (б) называется характеристическим или вековыл уравнением для матрицы коэффициентов а„аы ... аг„ ам ая! ... аяв А= ага а я ". аея Корни характеристического уравнения называются характеристическими числами матрицы А. Взяв в качестве Л какое.
либо характеристическое число матрицы А, мы найдем соответствуюп!ие этому числу постоянные и, из системы линейных уравнений (4). Для дальнейшего нам удобно будет ввести матричную запись как для исходной системы (1), так и для систем соотношений (2) и (3). 216 устОйчиВОсть РАВКОВесия и дВижения 1гт1.
ч Введем в рассмотрение векторы-столбцы )И, (,на и ='( х, х=~ и, ! Тогда вместо равенств (1) — (3) и (5) можно написать ') — = Ах, ех о'т (1') х = иетт, Ам=Ли (и е 0), бе1 (А — ЛЕ) = О. Здесь Е=131»1' »=, — единичная матрица. Столбец и оь О, удовлетворяющий вместе с числом Л соот- ношению (3'), называется собственным еемтиоролт матрицы А, соответствующим характеристическому числу Л. Таким обра- зом, в каждом решении системы (1), имеющем вид (2'), Л вЂ” характеристическое число матрицы А, а и — соответ- ствующий собственный вектор.
Рассмотрим сначала тот случай, когда характеристическое уравнение (б) имеет и различных корней Л„ (й= 1, ..., и). Каждому характеристическому числу Л» соответствуют соб- ственный вектор и» и частное решение системы (1) вида и„е"»'. Линейная комбинация этих решений с произвольными постоян- ными коэффициентами ') При умножения квадратной матрицы А на столбец х мы элементы Ый строки матрицы А умножаем на соответствующий элемент столбца х и все втн произведения складываем.
Полученная таким способом сумма является 1-и элементом столбца-произведе- 1ГХ ния Ах. Производная от столбца — получается дифферснцнроваят пнем каждого вламснта столбца х, х= '5; С»и»е»' (6) »-1 снова будет решением системы (1). Для того чтобы показать, что формула (6) охватывает все решения системы (1), предварительно докажем, что »стойчивость линейных систем 2! 7 Умножим обе части равенства (7) слева на матрицу А. Тогда, используя равенства Аа» = Л»а» (а» ~ О, л = 1, ..., л), находим: Л»с»и» = О.
»=1 (8) Исключим из соотношений (7) и (8) постоянную с,: л У (Л вЂ” Л,)с;и О, т- 2 (9) Это равенство опять умножим слева на А и используем полученное равенство совместно с (9) для исключения ся и т.д. В конце концов получим: (˄— Л,) (˄— Ля)... (˄— Л„,) с„а„= О, откуда с„ = О. Так как в равенстве (7) все слагаемые равноправны, то с, = с, =...
= с„= О, т. е. никакой зависимости вида (7) между собственными векторами и„и„..., и, не существует и эти векторы линейно независимы. Положив в формуле (6) 1=0, нзйдеш л ха = ~„С»и ° »-! (11) Произвольно задавшись начальным вектором х», мы из равенства (11), в силу линейной независимости векторов иг,..., и„, одноаначно определим С» (л 1, ..., л). Таким образом, формула (6) охватывает решения системы (1), удовлетворяющие любым начальным условиям х(0) =х„т.
е. охватывает все решения системы (1). векторы-столбцы ии и,, ..., и„, соответствующие различным характеристическим числам Л„ Л„ ..., Л„, линейно независимы. Пусть Чч с„и»=О. (7) »-! 218 устойчивость адвньввсня н движения 1гл. у В курсах по теории дифференциальных уравнений доказывается, что в случае кратных корней формула (6) несколько усложняется. В этой формуле могут появиться так называемые «вековые члены», содержащие вместо постоянного вектора и„полипом относительно й ил+ил(+.... В общем случае произвольное решение системы дифференциальных уравнении (1) определяется формулой х= ~', С (ил+ил(+...)е~ь'. и=1 Из формул (6) и (12) непосредственно получаются важные следствия. 1'.
Если все характеристические числа матрицы А имеют отрицательные веи(ественные части, т. е. шах кеЛ»= — и«' О, !<ь « то Вш х(1)=0 и нулевое решение системы дифференциальных уравнений (1) асимптотически устойчиво '). Пусть теперь кеЛь)0 хотя бы для одного й. Тогда система (1) имеет ненулевое решение х=Сьиьеть', которое стремится к бесконечности при 1-ч. со. В то же время начальное значение (при 1= О) х, = Слил может быть сколь угодно малым, поскольку Сь — произвольная постоянная. В этом случае решение х=0 неустойчиво.
Таким образом, имеет место предложение: 2'. Если хотя бы одно характеристическое число Л матрицы А имеет положительную вегцественную часть (КеЛь)0), то нулевое решение системы дифференциальных уравнений (1) неустойчиво '). П р и и е р. Положение равновесия линейного осциллятора в среде с солроюивлением, пропорциональным первой степени скорости, будет асимптотичесйн устойчивым. Действительно (см. пример 3 иа стр. 191), дифференциальное уравнение движения ') Число « ° О иногда называется степенью устойчивости. ') Вели все Ке Ль « О (» 1, ..., и) и хотя бы в одном нз атил соотношений имеет место знак равейстза, то ревзина н=О будет устойчивым, если в формуле (12) во всех слагаемых, где КеЛ»=О, булут отсутствовать вековые члены.
В противном случае решение к=о будет неустойчивым. тстойчивость по линвйномл плнвлижвнию 219 а лв! тх+2Ух+сх=о (ю, с, У~О) может быть эаляслно в виде системы двух дифферекпиальяых уравнений первого порядка, если положить х,=х, х,=д: 4х, лх, с — '=хм — = — — х, — 2 — х,. лс " лт гл ю Характеристическое уравнение — Л 1 л Г =-Л'+2 — Л+ — — О с — 2 — - — Л ю ю ю ю имеет корни с отрипательиоя вещественной частью — —, что и у Ф ' обеспечивает асимптотическую устойчивость положения равновесия. В 38.
Устойчивость по лмнейиому приближению В системе дифференциальных уравнений (нелинейных!) Хр(х~ х 1) (1 1 ) (1) разложим правые части в ряды по степеням отклонениИ Хм ..., Хл.' — „-'= ~~ а!ьхл+Д, (1= 1, ..., и), (1') л=! где Дл — сумма всех членов разложения Хп начинзя с членов второго порядка относительно х,, ..., х„(1=1, ..., л). В стационарном случае ага — постоянные коэффициенты, а фУнкции Л зависЯт от хм ..., х„и не зависЯт от 1.
В периодическом случае аы — периодические функции от 1 с периодом т, а нелинейные члены ~, =у!(хм ..., х„, 1) также периодичны относительно 1 с периодом с. Если в уравнениях (1') отбросить все нелинейные члены Уо то получим линейную систему дифференциальных уравнений, которая называется линейным приближением для нелинейной системы (1). В конце прошлого века в исследованиях Пуанкаре и Ляпунова было установлено, что как в стационарном, так и в периодическом случае об устойчивости нулевого решения нелинейной системы (1) можно судить по линейному прибли- 220 лстойчнвость алвновасня и движвння !гл. ч жению, а именно иэ асимптотической устойчивости нулевого решения линейного приблцт!сения следует асимптопшчесная устойчивость нулевого решения нелинейной системы ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
