Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Условия Льенара — Шипара. Для того чтобы многочлен г(Л)=а«Л +а,Л" '+...+а„,Л+а„лри ае>0 имел все корни с отрицательными вещественными частями, необходимо и достаточно, чтобы 1) все коэффициенты многочлена у (Л) были яолоэкительны а,)0, аа)0, ..., а„)0; (6) 2) имели место детерманантные неравенства А,,>0, А а)0, ... (Т) ') Относительно вывода усаовий Рауса — Гураица см., например, Гантмахер Ф.Р., Теория вырин, га, ХУ, 5 б; Ай герман йа, А., Лекцив пп теории автоматического регулирования,иад.
2,га. П1, 5 1. в ад каитзани лсимптотичвской гстойчизости 227 (здесь, пап и ранее, Ь обозначает определитель Гурвггца й-го порядка ')). Теперь мы познакомимся с геолгетричесяим прггтерием устодчивостгг. Заменим в равенстве а) У(Л) =.. П(Л вЂ” Л,) ь=! Л на 7а и будем наменять а от — оо до +со. Вычис- лим соответствующее приращение угла Э=агам у(га): л Ь' ~В(а)= у,'Ь+ааагя(1а — Ль). А-1 Теперь заметим, что') (рис. 47) А+ агд (Еа — Л„) = если Ке Ль ( О, — если КеЛь ьО.
Поэтому, обозначая через 7 и г число Рнс. 47 корней, лежащих слева и соответственно справа от мнимой оси (г'+-г=п), будем иметь: о+ Е(а)=(7 — г)гс Рассмотрим кривую, описываемую аффиксом') комплексного числа у (га) при изменении а от — оо до + со. Эта кривая распадается на дзе ветви: на одной а > О, на другой а(0. Одна иетвь получается из другой зеркальным отображением относительно вещественной оси, поскольку )'(!а) и У( — )а) — комплексно сопряженные числа. Поэтому, обозначив через оа приращение при изменении а от 0 до со, получим й, д( ) = — 7Л+„В (а) =(7 — ) ') Вывод условий Льенара и Шипара, а также некоторые другие варианты зтнх условий можно найти з цитированной книге лТеог1зия матрицы гл. ХЛг, З 3, ) Здесь и корней многочлена Г(Л) обозначены через Л,, ..., Л„.
') Мы предполагаем здесь, что ни один из корней Л„ не лежйт на мнимой оси. ') Аффиксом комплексного числа л называют соответствующую точку комплексной л-плоскости, 1/ 7Ф 228 устОйчиВОсть РАВнОВесия и дВижения 1гл. ч Отсюда видно, что все корни будут расположены слева от мнимой оси (7=п, г=О) тогда и только тогда, когда асй 0 (в) = п —. 2' (9) Г е о м е т р и ч е с к и й критерий устойчивости '). Для слога чтобы многочлен У(Л) был устойчивым, т. е. чтобы все его корни были расположены слева от мнимой оса, необходимо и достаточно; 1) чтобы годографу(св) при изменении в от О до + ОО не проходил через нулевую спочку') сс 2) чтобы для вспого годографа сЛйд=п- 2' где и — степень много- члена 7 (Л) (см. рис. 48 для п=б).
рис. 48. Заметим, что для устойчивого многочлена ') аргумент 0 изменяется монотонно при изменении в от О до ОО. Это следует из формулы поскольку для такого многочлена каждое слагаемое в правой части является монотонно возрастающей функцией от в. При мер. Пусть у(Л)=Л'+5Л'+101'+!1Л'+7Л+2. Тогд у(С ) = СС( )+ С)г( ), г (7(а) = 5кв — 11а'+ 2, Ь'(а) = а (а' — 10а'+ 7). ч) Этот критерий впервые был применен д. В. Михайловым для исследования систем автоматического регулирования. Поэтому в технической литературе геометрический критерий устойчивости часто называется критерием Михайлова.
') Условие 1) означает, что у(Л) не имеет чисто мнимых корней, ') Устойчивый миогочлеи называют также нлогочленом бурлила. Для построения топографа у(!м) замечаем, что (7(0) 2 и У(я) обращается в нуль прн я=О я при я=ям м= ма (0(е, (ма),' квадраты м) н м! определяются яз квадратного уравнения: м', = 5 — ~" 18 0,76; мат = 5+ 3/18 ~ 9,24.
Нетрудно убедиться в том, что (7(я,) (О, Еу(ма) ) О. Кроме того, У" (0) = 7 ) О. Таким образом, годограф прн я=О начинается на положительной вещественной оси, идет сначала вверх, пересекает положятельную мнимую ось, затем отрицательную вещественную.ось (при м = м,)„ отрнцательяую мнимую ось и, наконец, снова положительную вещественную ось (при я=ма). Прн м) ма годограф не пересекает осей координат и уходит в бесконечность в пятом квадранте ((7~ О, У) 0), тзк как я=5. При этом !и й = — +со прн м +со, У (м) и( ) Таким образом йо 8 2' т. е.
7(!) — устойчивый многочлен. К атому же выводу можно было бы прийти, исходя нз критерия Льенара — Шипара, поскольку в у(Х) все коэффициенты положительны и 5 11 2 0 1 1О 7 0 05!12 0 1 10 7 5 111 да=)1 10~)0 ) О. тый Ф. Р. Гаятмахер 4 аэ! ктитквии асимптотичпской кстойчивости 229 ГЛАВА Ч1 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ф 40. Малые колебания консервативной системы Если в начальный момент времени положение склерономной системы выбрано достаточно близким к положению устойчивого равновесия и начальные скорости по абсолютной величине достаточно малы, то на протяжении всего движения будут малыми по абсолютной величине как сами отклонения от положения равновесия, так и обобщенные скорости.
Это обстоятельство позволяет сохранить в дифференциальных уравнениях движения только линейные члены относительно отклонений и скоростей, а члены более высокого порядка малости отбросить. Тогда дифференциальные уравнения движения становятся линейными, т. е. задача «линеаризуется». В этом параграфе рассматривается линеаризация уравнений движения для случая консервативной системы. Кинетическая и потенциальная энергии консервативной системы с и степенями свободы выражаются через независимые координаты д; и обобщенные скорости д; (1= 1, ..., и) следующим образом: я 1 Т= 2 Х а;ь(д„....
Ч.) Ч,Ч., П=П(дн ..., Ч.). (1) са=! Как и в предыдущей главе, примем, что начало координат д,=...=д„=О является положением равновесия и что в этом же положении П=О. Разложим коэффициенты аы(д„..., д„) в ряды по степеням координат: пы(до ..., д„)=ам+... (1, 1=1, ..., л), (2) КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ 231 Я »О! где а໠— аы(0, ..., 0) (а㻠— а»д (,а=1, ..., л) — постоянные.
Подставляя эти выражения для коэффициентов в формулу (1) для кинетической энергии, получаем (3) где череэ (»*) мы обозначили сумму членов третьего и более высоких порядков относительно а! и !)! (1=1, ..., л). Разложим также и потенциальную энергию в ряд по степеням координат: П=п + Х~д — ) !т!+ 1 Ч! ( дП вЂ” ) р!!у»+( *). ! ! !,» 1 По условию П,=О. Кроме того, в положении равновесия обобщенные силы равны нулю Поэтому, введя обозначения дгП с㻠— — ~д (сы — — сы! 1, а= 1...,, л), (4) «дч! дЧ» ~! мы и потенциальную энергию представим в виде л 1 %т — ~~ с! !!!!) -+(**).
г,»=1 (б) ! 'д т ~х а!»ь Ч» 1 ът П = г га с!»!),.!)» (О) 1,»-! !,»-! где а!» — — а»п сы — — с„! (1, Iг=1, ..., и). Иа фиаического смысла кинетической энергии ясно, что все~да т= О. Поскольку мы предполагаем, что положение '!,8' Отбрасывая в формулах (3) и (5) члены третьего и более высокого порядков малости относительно !т! и !)», мы представим кинетическую и потенциальную энергии в виде квадратичных форм с постоянными коэффициентами 232 МАЛЫЕ КОЛЕВАНИЯ !Гл.
ч! рзвновесия не является особой точкой '), то всегда Т ~О, если только не все обобщенные скорости равны одновременно я нУлю, т. е. квадРатичнаЯ фоРма ~Ч~~ аэл!)!9л=2ТЯвлветсв э,л=! положительно определенной л л Х „тзт.>0 (Х т!)О~. э,л=! ! 1 (7) Далее, для того чтобы обеспечить устойчивость данного положения равновесия„ потребуем, чтобы (в соответствии с теоремой Лагранжа) в положении равновесия потенциальная энергия имела строгий минимум. Поскольку П,=О, то это означает, что в некоторой окрестности начала.
координат „ьь)0 (Бт!)0). (8) 'ч=! 1!о квадратичная форма (8) представляет собой однородную функцию второй степени относительно координат. Поэтому неравенство (8) имеет место во всем пространстве, за исклю!ением начала координат, где эта формз обращается в нуль. Другими словами, потенциальная энергия также представлена в виде положительно определенной квадратичной формы относительно координате).
Составим уравнения Лагранжа, исходя из выражений (6) для ТиП: Я (аэлт7л+с!А!)л)= О (т=1, ..., и). (9) л=! См. примечание к стр. 55. Конечно, возможны слУчаи, когда фУнкциЯ ПО)„..., Ря) до отбрзсызания членов (ээ) имеет в начале координат строгий минимум, а после отбрасывания этих членов имеет в этой же точке нестрогий минимум (например, П=сз(ч!+ ... +!)л)'+ )-с(т(!74+ ... +л4], с~о, !()0), но такие случаи мы будем считать особыми и исключим из рассмотрения.
В этих особых случаях отбрасывание членов (*я) в выражении для П не оправдано. Оно может резко исказить картину движения. Будем искать частное решение этой системы линейных дифференциальных уравнений в виде !7!=и!з1п(юг+и) (1 =1, ..., и), (19) $ св! КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ 233 т. е. в виде гармонических колебаний с одной и той же частотой ю и с одной и той же постоянной « для всех координат. Подставляя выражения (10) для >)1 в дифференциальных уравнениях (9) и полагая Л „а (11) получаем после сокращения на з!п(ю1+«) следующую систему алгебраических уравнений, линейных относительно амплитуд и,'); и (с,л — Ла;а)ил=0 (1=1, ..., и).
(12) л=! Так как все амплитуды ис искомого колебания не должны обращаться в нуль, то определитель системы однородных уравнений (12) должен быть равен нулю: с„— Ла„с„— Ла„ с„— Ла„са, — Ла,а ст — Лага са„— Лаан с„> — ),ан, с„а — 1,« „... с„н — Ла„ ') Величину и; мы называем амплитудой гармонического колебания (10) лоордйнаты дь хата фактически амплитудой явлнетсн абсолютная величина ! и; (; начальной фазой (при 1=0) гармонических колебаний (10) является либо величина а (при аз~0)> либо величина — е (при аг-СО). В аь Р. Гантмахер После раскрытия определителя мы получим в левой части многочлен и-й степени относительно Л. Таким образом, квадрат частоты Л=н>а искомого гармонического решения (10) должен удовлетворять алгебраическому уравнению и-й степени (13).
Уравнение (13) называется Вековым уралнением или уравнением частот. Каждому корню Л уравнения (13) соответствует частное решение (10) (при произвольном постоянном «) системы диффереьшиальных уравнений (9). В этом решении ю= 1>ГЛ. Запишем приведенные выше формулы в матричной форме. Введем в рассмотрении две симметрические положительно МАЛЫЕ КОЛЕЗАНИЯ 1ГЛ. Ш определенные матрицы ') С=(сы(~~=~ .. ~ (14) 1 сш "° Сяя 1 ~ а„... аьч А=~! 1л~!=~ , аш...пьл и векторы-столбцы =Г (15) (и — амплитудный вектор).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
