Главная » Просмотр файлов » Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике

Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 36

Файл №1119866 Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике) 36 страницаФ.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866) страница 362019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

«). сл ! малые колевлния (гд. л еиормальныхь координат будет дан в сдедуюшем параграфе. При ятом выводе случай кратных корней векового уравнения не выделяется особо. Пример. Слязаяяме маятники. Точки подвела двух одинаковых математических маятниаов с массой ш и длиной 1 расположены на одной горизонтальной прямой. Точки зтих маятников, отстояшие от точек подвела на расстоянии И (О ~ И ~!), соединены между собой пружиной жесткости Т; пружина находится в нерастянутом состоянии, когда маятники занимают вертилальное положение, Требуется определить колебание сне~сны в вертикальяой плоскости, В качестве независимых координат возьмем углы ч, и у„обрааованные маятниками с вертикалью (рнс, 49!.

В положении равно. весна у,= Т,=О. С точностью до малых величин высшего порядка удлинение прулшны равно И! з!ну — илу, ! — И! у,— у,!. Поэтому в данном случае Т= 2 шр(фт+ф3), ! П=щ1(! — созе,)+шд1(! — совул)+т ч'' У' + ... = 1,, ! 2 ~ (т'+ч') 2 Т "' ч') + '" Сохраняя в П только квадратичные члены, окончательно будем иметь Т= — а(ф, '+ф!), ! 2 ! и = с (Ч(+ „т) Иу,ф„ где а=ш(л, с шд1+ТИ', Ь=ТИ'. Напишем уравнение частот „)=О (Л= т) Рнс. 49. и одно из двух уравнений для определения амплитуд в главных колебаниях (зги два уравнения зависимы) (с — Ла)и,— Ьи,=О, т. е.

и, Ь и, е — Ла' Из уравнения час~от находим новмальныв координаты а Фц Соответственно для первого главного колебания и, =и, С, н а,=С,ЗШ(а Р+а,), р,=С,МП(ах+а,) (т, т), а для второго и,= — и,=С и т, = С» л!и (алр + а«), р» = — С, з!и (и»т+ а») (а, = — ал). В первом главно»! колебании оба маятника все время находятся в одной фазе, пружина не растянута и маятники не оказывают никакого влияния друг на друга.

Во втором главном колебании маятники находятся все время в противоположных фазах, Произвольное колебание получается наложением двух главных колебаний: аг = Сь а(п (а!с+ а1) + Сл лрп (аат + ал), т»=С, з!п(а!с+ а«) — С» Мп(и«Р+ а»). В 41. Нормальные координпты )Лве квадратичные формы а а А(!У, !У) = ~~ а!ьд!9» и С(д, д) = '~ ', град!!у„(1) р,а-! р,а из которых хотя бы одна, например А(ру, д), является положительно определенной, всегда можно одним и тем . же (неособенным) преобразованием переменных а !у! = ~ иы9р р=! привести к «сумме квадратов» ') а а А(ру, !у)= У', 6»д С(д, ру) ~ Л16!.

(3) р= ! р При етом все Лр)0, так как (см. $40) форма С((у, ру) также является положительно определенной. Поскольку обобщенные скорости д! и 6р связаны между собой такими же соотношениями, какими связаны !у! и 6« а У;= ~ч~ ~ир)61 (1=1, ..., и), 1=1 ') См., например, цитированную иа сгр. 226 книгу «Теория матриц», гл. Х, 6 б. !гл. ч! МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ то в первом иэ равенств (3) можно заменить д! и 81 на !)! и Вп после чего для кинетической н потенциальной энергий полу- чаем следующие выражения: л л 1 .

° 1 = —,~~ 1АФ =2 ~81 1.А 1 1 л л П= 2 Г С!ад!ть — 2 Г ЛГВ!л СЬ 1 г 1 е 8 8 н зываются но (4) Переменны „..., „а рмальнымн или главлымл координатами. формулы перехода (2) от произвольных координат к нормальным в «векторной» записи могут быть представлены так: л о= '5; 8!и1, у=! где (~ пы Ц=1, ..., Л). 8,+Л,В,=О (1=1...,, „). (6) Каждое из этих уравнений содержит только одну неизвестную функпию. Общие решения уравнений (6), как известно, определяют гармонические колебания В~ Срт(ш~е+ а~) (/=1, ..., Л), (7) где с~ и аг — произвольные постоянные (г'=1, ..., л).

подставляя эти выражения в формулу (5), получаеьгобщую формулу для колебаний л й= ",' С,п!Б1н(штг+а ). (8) 1=! Так как преобрааованне координат (2) является неособенным, то соответствующий определитель отличен от нуля: де1(нгг)," ! ф О, т. е. векторы и„ ..., и„ линейно независимы. Используя простые выражения (4) для Т и П в нормаль- ных координатах, составим уравнения Лагрзнжа в этих коор- динатах: 243 ногмдльныз коолдиндты Ф 411 Таким образом, строго установлено, что зта формула в самом общем случае охватывает все малые колебания консервативной системы '). Полагая в формуле (8) все произвольные постоянные, кроме Су и аь равными нулю, получим у-е «главное» гармоническое колебание д = Суму з(п (шут+ а ). (9) (В нормальных координатах зто колебание осуществляется, когда все 6, = 0 при 1~/ и изменяется только координата Ву.) В предыдущем параграфе было установлено, что квадрат частоты )у = и' удовлетворяет уравнению частот.

Так как других гармонических колебаний вида (9), кроме тех, которые входят как слагаемые в общую формулу (8), для (у не существует, то ) =мух Ц=1, ..., и) — лсе корни векового уравнения. Кроме того, если какой-либо корень повторяется здесь р раз, то ему соответствуют р линейно независимых амплитудных векторов ич определяемых из системы линейных уравнений (28) или (29) предыдущего параграфа. Таким образом, мы снова доказали, что все корни Ху векового уравнения вещественны и положительны и установили, что и частотам ву (/ху соответствуют л линейно независимых амплитудных векторов иу (у=1, ..., л).

Подставив в формулу А(д, ту) вместо д его выражение (б), получим: / л В а А(ту д)=А~Х Вуир Х Влил)~= ~~ А(ир ил)ВуВа (10) 1 а-1 да=| С другой стороны, А (ту, д) = ~ 6'. (11) 1 Сопоставляя равенства (10) и (11), получаем для амплитудных векторов иу (У=!, ..., л), с помощью которых по фор- муле (б) осуществляется переход к нормальным координатам, соотношения '): (1, 1=У, А(ин иу)=бт =~ .. (8/=1, ..., л). (12) ~ О, г~у', ') В предыдущем параграфе эта формула была установлена лишь для случая, когда вековое уравнение не имеет кратных корней, *) другими словами, векторы и( (у=(, ..., л) ортонормировани в А-метрике (см, примечание 1 на сгр.

236). 244 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ !Гл. 7! В 42. Влияние периодических внешних снл нв колебания консервативной системы оп Пусть помимо потенциальных сил — — на систему дейдд! ствуют некоторые силы Я1=! !!(1) (1=1, ..., Л). Перейдем к нормальным координатам с помоШью формул д1= Я иск (1=1, ..., и; с1е1(и!1)!и ! ~'О). (1) /=1 Силам ь!! в координатах 9! (1=1, ..., л) соответствуют силы 61 в координатах 9! (/=1, ..., Л). Установим связь между О! и Йд исходя из равенства выражений для элементарной работы сил: » ч '~', О,.991= '~', В,99,.

(2) 1=1 1=1 Замечая, что в силу формул (1) » 991= )', и1;99! (1=1, "„и), (з) ! ! и подставляя эти выражения для 99! в равенство (2), получаем та ( 'Я и!Щ) 991 — '~' Вт 69л / ! ! ! 1=1 (4) Отсюда, приравнивая коэффициенты при независимых прн- рашениях нормальных координат 99, находим Вт= ~„и!~()! (/=1, ..., Л). д„=и„,9!+ л„тэа+...+ и,й„ Таким образом, если чстарые» координаты д! выражаются через «новые» 91 при помоши матрицы 11=)и!т(): д! = ин9, + ижба+... + и, „9„, ' '+ ~ ~+"'+ ~ "' (!Я=И, бе1Уэ-"0), (6) а «2! влияния пвгиодичвских внвшних сил 248 то «новые» обобщенные силы 67 выражзются через «старые» обобщенные силы ф при помощи транспонированнсй матрицы (у'.

61 = игг1(о + им Яя +... + иы О„, 6, = им Я~ + иы Яя+ " + ипЯя (6 = 0'1е). (7) 6«= и1»Ъ+ иглй+" -т- пп.()» 8у — Су сйп(м 1+ау)+бу (/=1, ..., л). (9) Пусть 6у(1) — периодическая сила и притом синусоидальная с частотой Я: 6у(1)=Ау з1п Ж. (10) Тогда, как нетрудно видеть, в качестве Ву можно взять бу»=-,— У вЂ”,а1п йй еа — я» 7 (11) Если Я;(1) (1=1, ..., и), а следовательно, и 6 (Ф) (1=1,,„п) — произвольные периодические силы с перио- 1) Если У='1и; )и — ортогональная матрица, то (1г) '=У и ыч силы преобразуюшя так же, как и координаты. ') В общем случае, когда преобразование координат нелинейно, обобщенные силы преобразуютса коитразариантно ио.

отношению к дифференциалам координат. Сопоставляя матричные формулы 1у=(уб и Я=((у) '6, мы видим, что при переходе от координат к силам матрица преобразования У заменяется ') матрицей (О') '. Это обстоятельство выражают словами: обобщенные силы преобразуются нонтравариантно по отногаению и ноордпнатале '). После того как мы научились определять 6у по заданным Яь напишем уравнения Лагранжа в нормальных координатах, используя для Т и П выражения (4) из предыдущего параграфа; 8,+- 8,=67(1) (7=1, ..., и).

(8) Обозначим через 8»(/=1, ..., п) произвольное частное решение уравнения (8). Тогда общее решение уравнения (8) будет 246 1гл. ч! малые коливлиия Тогда, в силу линейности уравнений (8), 6Я= ~~ —; — ~ — '",—, в1п(тЖ+~р/ ) (т'=1, ..., и). (13) е/=в / Если некоторое л/Я совпадает с и/ и соответствуюп!ее А~ ф О,толля координаты 61 имеет место явление резонанса. Подставляя выражения (9) для дт в формулу получаем: (14) где о= ~Ч~ ~С,д, з!и (ч//г+и/) (15) — свободные колебания, а Ф'= ~ч~ ~6;и~- / ! — вынужденные колебании системы, и/ — амплитудный вектор с координатамн и,/, ияр ...„и„/ (у=1, ..., и).

й 43. Экстремальные свойства частот консервативной системы. Теорема Релея об изменении частот с изменением инерции и жесткости системы. Наложение связей В й 41 мы рассматривали линейное неособенное преобразование координат е о = ~~ 6/ир (1) 1 ! 2я дом ч и частотой я= —, то Эт(т) можно разложить в ряд фурье В~Я= )~ Ат з1п(лт()т+о/ ) Ц=1, ..., и). (12) ЭКСТРЕМЯЛЬНЫВ СЗОЙСТЗА ЧАСТОТ или в скалярной записи гу!= ~Ч', п,,9Т (1=1, ..., л; де1(и!Т)!'у ! ~ЬО), (1') у ! осуществляющее переход к нормальным координатам 6„..„9„, в которых квадратичные формы' ) А(гу, !у)=,„У, а!»д!д», С(гу, гу)= ~Ч', с!»!у!!у» (2) г,»=1 имеют простой (яканонический») вид: А(!у, !у)= '5„' 9„С(!у, у)= ~ Я6!.

(З) / 1 В дальнейшем будем предполагать, что главные колебания занумерованы так, что их частоты идут в возрастающем порядке !в! !вя ~ ~ !вя (4) Рассмотрим отношение квадратичных форм (3) С(,у 6) а!Ог+йэаэ+...+в„а„ (б) А (а, а) Е; + В; + ... + а„ С (6, а) А Оу, !у) — ~ вэ!. (6) С другой стороны, из формулы (5) непосредственно видно, С (6, 6) что при 6я — ... — — 9„= О отношение - (»' 6) достигает А(гу, !у) ') С (!у, !у) — удвоенная потенпиальиая энергия, а А (!у,!у) получается из выражения аля удвоенной кинетической энергий А (6, 6) злиеяои в веи 6 яа а, при любом !у~ О или, что. то же, при любых значениях 6„..., 6„, не равных одновременно нулю. Заменяя в числителе дроби (5) все в!! На меньшее или равное им число оз,', найдем 248 !гл. щ МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ значения ю,'.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
12,73 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6372
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее