Ф.Р. Гантмахер - Лекции по аналитической механике (1119866), страница 36
Текст из файла (страница 36)
«). сл ! малые колевлния (гд. л еиормальныхь координат будет дан в сдедуюшем параграфе. При ятом выводе случай кратных корней векового уравнения не выделяется особо. Пример. Слязаяяме маятники. Точки подвела двух одинаковых математических маятниаов с массой ш и длиной 1 расположены на одной горизонтальной прямой. Точки зтих маятников, отстояшие от точек подвела на расстоянии И (О ~ И ~!), соединены между собой пружиной жесткости Т; пружина находится в нерастянутом состоянии, когда маятники занимают вертилальное положение, Требуется определить колебание сне~сны в вертикальяой плоскости, В качестве независимых координат возьмем углы ч, и у„обрааованные маятниками с вертикалью (рнс, 49!.
В положении равно. весна у,= Т,=О. С точностью до малых величин высшего порядка удлинение прулшны равно И! з!ну — илу, ! — И! у,— у,!. Поэтому в данном случае Т= 2 шр(фт+ф3), ! П=щ1(! — созе,)+шд1(! — совул)+т ч'' У' + ... = 1,, ! 2 ~ (т'+ч') 2 Т "' ч') + '" Сохраняя в П только квадратичные члены, окончательно будем иметь Т= — а(ф, '+ф!), ! 2 ! и = с (Ч(+ „т) Иу,ф„ где а=ш(л, с шд1+ТИ', Ь=ТИ'. Напишем уравнение частот „)=О (Л= т) Рнс. 49. и одно из двух уравнений для определения амплитуд в главных колебаниях (зги два уравнения зависимы) (с — Ла)и,— Ьи,=О, т. е.
и, Ь и, е — Ла' Из уравнения час~от находим новмальныв координаты а Фц Соответственно для первого главного колебания и, =и, С, н а,=С,ЗШ(а Р+а,), р,=С,МП(ах+а,) (т, т), а для второго и,= — и,=С и т, = С» л!и (алр + а«), р» = — С, з!и (и»т+ а») (а, = — ал). В первом главно»! колебании оба маятника все время находятся в одной фазе, пружина не растянута и маятники не оказывают никакого влияния друг на друга.
Во втором главном колебании маятники находятся все время в противоположных фазах, Произвольное колебание получается наложением двух главных колебаний: аг = Сь а(п (а!с+ а1) + Сл лрп (аат + ал), т»=С, з!п(а!с+ а«) — С» Мп(и«Р+ а»). В 41. Нормальные координпты )Лве квадратичные формы а а А(!У, !У) = ~~ а!ьд!9» и С(д, д) = '~ ', град!!у„(1) р,а-! р,а из которых хотя бы одна, например А(ру, д), является положительно определенной, всегда можно одним и тем . же (неособенным) преобразованием переменных а !у! = ~ иы9р р=! привести к «сумме квадратов» ') а а А(ру, !у)= У', 6»д С(д, ру) ~ Л16!.
(3) р= ! р При етом все Лр)0, так как (см. $40) форма С((у, ру) также является положительно определенной. Поскольку обобщенные скорости д! и 6р связаны между собой такими же соотношениями, какими связаны !у! и 6« а У;= ~ч~ ~ир)61 (1=1, ..., и), 1=1 ') См., например, цитированную иа сгр. 226 книгу «Теория матриц», гл. Х, 6 б. !гл. ч! МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ то в первом иэ равенств (3) можно заменить д! и 81 на !)! и Вп после чего для кинетической н потенциальной энергий полу- чаем следующие выражения: л л 1 .
° 1 = —,~~ 1АФ =2 ~81 1.А 1 1 л л П= 2 Г С!ад!ть — 2 Г ЛГВ!л СЬ 1 г 1 е 8 8 н зываются но (4) Переменны „..., „а рмальнымн или главлымл координатами. формулы перехода (2) от произвольных координат к нормальным в «векторной» записи могут быть представлены так: л о= '5; 8!и1, у=! где (~ пы Ц=1, ..., Л). 8,+Л,В,=О (1=1...,, „). (6) Каждое из этих уравнений содержит только одну неизвестную функпию. Общие решения уравнений (6), как известно, определяют гармонические колебания В~ Срт(ш~е+ а~) (/=1, ..., Л), (7) где с~ и аг — произвольные постоянные (г'=1, ..., л).
подставляя эти выражения в формулу (5), получаеьгобщую формулу для колебаний л й= ",' С,п!Б1н(штг+а ). (8) 1=! Так как преобрааованне координат (2) является неособенным, то соответствующий определитель отличен от нуля: де1(нгг)," ! ф О, т. е. векторы и„ ..., и„ линейно независимы. Используя простые выражения (4) для Т и П в нормаль- ных координатах, составим уравнения Лагрзнжа в этих коор- динатах: 243 ногмдльныз коолдиндты Ф 411 Таким образом, строго установлено, что зта формула в самом общем случае охватывает все малые колебания консервативной системы '). Полагая в формуле (8) все произвольные постоянные, кроме Су и аь равными нулю, получим у-е «главное» гармоническое колебание д = Суму з(п (шут+ а ). (9) (В нормальных координатах зто колебание осуществляется, когда все 6, = 0 при 1~/ и изменяется только координата Ву.) В предыдущем параграфе было установлено, что квадрат частоты )у = и' удовлетворяет уравнению частот.
Так как других гармонических колебаний вида (9), кроме тех, которые входят как слагаемые в общую формулу (8), для (у не существует, то ) =мух Ц=1, ..., и) — лсе корни векового уравнения. Кроме того, если какой-либо корень повторяется здесь р раз, то ему соответствуют р линейно независимых амплитудных векторов ич определяемых из системы линейных уравнений (28) или (29) предыдущего параграфа. Таким образом, мы снова доказали, что все корни Ху векового уравнения вещественны и положительны и установили, что и частотам ву (/ху соответствуют л линейно независимых амплитудных векторов иу (у=1, ..., л).
Подставив в формулу А(д, ту) вместо д его выражение (б), получим: / л В а А(ту д)=А~Х Вуир Х Влил)~= ~~ А(ир ил)ВуВа (10) 1 а-1 да=| С другой стороны, А (ту, д) = ~ 6'. (11) 1 Сопоставляя равенства (10) и (11), получаем для амплитудных векторов иу (У=!, ..., л), с помощью которых по фор- муле (б) осуществляется переход к нормальным координатам, соотношения '): (1, 1=У, А(ин иу)=бт =~ .. (8/=1, ..., л). (12) ~ О, г~у', ') В предыдущем параграфе эта формула была установлена лишь для случая, когда вековое уравнение не имеет кратных корней, *) другими словами, векторы и( (у=(, ..., л) ортонормировани в А-метрике (см, примечание 1 на сгр.
236). 244 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ !Гл. 7! В 42. Влияние периодических внешних снл нв колебания консервативной системы оп Пусть помимо потенциальных сил — — на систему дейдд! ствуют некоторые силы Я1=! !!(1) (1=1, ..., Л). Перейдем к нормальным координатам с помоШью формул д1= Я иск (1=1, ..., и; с1е1(и!1)!и ! ~'О). (1) /=1 Силам ь!! в координатах 9! (1=1, ..., л) соответствуют силы 61 в координатах 9! (/=1, ..., Л). Установим связь между О! и Йд исходя из равенства выражений для элементарной работы сил: » ч '~', О,.991= '~', В,99,.
(2) 1=1 1=1 Замечая, что в силу формул (1) » 991= )', и1;99! (1=1, "„и), (з) ! ! и подставляя эти выражения для 99! в равенство (2), получаем та ( 'Я и!Щ) 991 — '~' Вт 69л / ! ! ! 1=1 (4) Отсюда, приравнивая коэффициенты при независимых прн- рашениях нормальных координат 99, находим Вт= ~„и!~()! (/=1, ..., Л). д„=и„,9!+ л„тэа+...+ и,й„ Таким образом, если чстарые» координаты д! выражаются через «новые» 91 при помоши матрицы 11=)и!т(): д! = ин9, + ижба+... + и, „9„, ' '+ ~ ~+"'+ ~ "' (!Я=И, бе1Уэ-"0), (6) а «2! влияния пвгиодичвских внвшних сил 248 то «новые» обобщенные силы 67 выражзются через «старые» обобщенные силы ф при помощи транспонированнсй матрицы (у'.
61 = игг1(о + им Яя +... + иы О„, 6, = им Я~ + иы Яя+ " + ипЯя (6 = 0'1е). (7) 6«= и1»Ъ+ иглй+" -т- пп.()» 8у — Су сйп(м 1+ау)+бу (/=1, ..., л). (9) Пусть 6у(1) — периодическая сила и притом синусоидальная с частотой Я: 6у(1)=Ау з1п Ж. (10) Тогда, как нетрудно видеть, в качестве Ву можно взять бу»=-,— У вЂ”,а1п йй еа — я» 7 (11) Если Я;(1) (1=1, ..., и), а следовательно, и 6 (Ф) (1=1,,„п) — произвольные периодические силы с перио- 1) Если У='1и; )и — ортогональная матрица, то (1г) '=У и ыч силы преобразуюшя так же, как и координаты. ') В общем случае, когда преобразование координат нелинейно, обобщенные силы преобразуютса коитразариантно ио.
отношению к дифференциалам координат. Сопоставляя матричные формулы 1у=(уб и Я=((у) '6, мы видим, что при переходе от координат к силам матрица преобразования У заменяется ') матрицей (О') '. Это обстоятельство выражают словами: обобщенные силы преобразуются нонтравариантно по отногаению и ноордпнатале '). После того как мы научились определять 6у по заданным Яь напишем уравнения Лагранжа в нормальных координатах, используя для Т и П выражения (4) из предыдущего параграфа; 8,+- 8,=67(1) (7=1, ..., и).
(8) Обозначим через 8»(/=1, ..., п) произвольное частное решение уравнения (8). Тогда общее решение уравнения (8) будет 246 1гл. ч! малые коливлиия Тогда, в силу линейности уравнений (8), 6Я= ~~ —; — ~ — '",—, в1п(тЖ+~р/ ) (т'=1, ..., и). (13) е/=в / Если некоторое л/Я совпадает с и/ и соответствуюп!ее А~ ф О,толля координаты 61 имеет место явление резонанса. Подставляя выражения (9) для дт в формулу получаем: (14) где о= ~Ч~ ~С,д, з!и (ч//г+и/) (15) — свободные колебания, а Ф'= ~ч~ ~6;и~- / ! — вынужденные колебании системы, и/ — амплитудный вектор с координатамн и,/, ияр ...„и„/ (у=1, ..., и).
й 43. Экстремальные свойства частот консервативной системы. Теорема Релея об изменении частот с изменением инерции и жесткости системы. Наложение связей В й 41 мы рассматривали линейное неособенное преобразование координат е о = ~~ 6/ир (1) 1 ! 2я дом ч и частотой я= —, то Эт(т) можно разложить в ряд фурье В~Я= )~ Ат з1п(лт()т+о/ ) Ц=1, ..., и). (12) ЭКСТРЕМЯЛЬНЫВ СЗОЙСТЗА ЧАСТОТ или в скалярной записи гу!= ~Ч', п,,9Т (1=1, ..., л; де1(и!Т)!'у ! ~ЬО), (1') у ! осуществляющее переход к нормальным координатам 6„..„9„, в которых квадратичные формы' ) А(гу, !у)=,„У, а!»д!д», С(гу, гу)= ~Ч', с!»!у!!у» (2) г,»=1 имеют простой (яканонический») вид: А(!у, !у)= '5„' 9„С(!у, у)= ~ Я6!.
(З) / 1 В дальнейшем будем предполагать, что главные колебания занумерованы так, что их частоты идут в возрастающем порядке !в! !вя ~ ~ !вя (4) Рассмотрим отношение квадратичных форм (3) С(,у 6) а!Ог+йэаэ+...+в„а„ (б) А (а, а) Е; + В; + ... + а„ С (6, а) А Оу, !у) — ~ вэ!. (6) С другой стороны, из формулы (5) непосредственно видно, С (6, 6) что при 6я — ... — — 9„= О отношение - (»' 6) достигает А(гу, !у) ') С (!у, !у) — удвоенная потенпиальиая энергия, а А (!у,!у) получается из выражения аля удвоенной кинетической энергий А (6, 6) злиеяои в веи 6 яа а, при любом !у~ О или, что. то же, при любых значениях 6„..., 6„, не равных одновременно нулю. Заменяя в числителе дроби (5) все в!! На меньшее или равное им число оз,', найдем 248 !гл. щ МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ значения ю,'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
