В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 22
Текст из файла (страница 22)
е. что » Л1а (ХиУ.» У»аи) =,~~~ Л1а (Хауа Уа.Ра)- Система координат х, у, г выбрана произвольно. Следовательно, мы можем утверждать, что поворот системы материальных точек вокруг любой оси на некоторый конечный угол ие изменит проекцию кинетического момента на зту ось. Отсюда заключаем, что преобразование поворота на конечный угол не измени~ и вектор кинетического момента, 127 з а. элдлчл двух тел Все системы координат, которые получаются из основной при помощи преобразований (3.27) и (3.28), равноправны между собой.
Поэтому мы можем говорить о том, что характер механических движений не зависит ни от места, ни от направления, т. е. об однородности и изотропности модели пространства. Однородность проявляется в том, что преобразование (3.27) сохраняет импульс системы, изотропность — в сохранении кинетического момента при преобразовании (3.28). Законы сохранения обязаны своим существованием свойствам принятой в механике модели пространства — его однородности и изотропности и, кроме того, однородности времени. Мы уже видели на примере механики материальной точки и увидим в последующих главах, что дифференциальные уравнения движения незамкнутых систем и систем со связями при некоторых условиях допускают интегралы, часто называемые законами сохранения.
Наличие таких интегралов связано с характером внешнего поля — важна симметрия функций, описывающих поле, относительно координат. Если рассматриваемая система есть система со связями, то существование интегралов в сильной степени зависит от характера связей (часто влияние связей бывает решающим). Как мы увидим в главе 1Ъ', важны не только физические свойства связей — их идеальность, но и геометрические свойства— симметрия уравнений связей относительно координат. Можно сказать, что при наличии связей однородность и изотропность пространства проявляются в ограниченном и, может быть, несколько искаженном виде *). Некоторые задачи, относящиеся к механике замкнутых систем, мы рассмотрим в главе Ч, применяя метод Гамильтона — Якоби.
й 5. Задача двух тел Рассмотрим простейшую замкнутую систему, состоящую из двух взаимодействующих свободных материальных точек, полагая, что внешних сил нет. Введем следующие системы декартовых координат: систему х, у, г, связанную с инерциальной системой отсчета (в дальнейшем будем ее считать неподвижной), систему Кенига х', у', г' и, кроме того, систему $, ть ь, начало которой помещено в одной из двух материальных точек **).
Оси Кенига и оси системы $, ть ь всегда параллельны неподвижным осям (рис. 3.4). ") Например, может сохраняться лишь одна проекция импульса иля кинетического момента. "'1 Система й ч, ~ понадобится нам дальше прн сосганленин ураанения относительного движения. 1за гл. нь системы своводных млтвеилльных точек Очевидно, что поступательно движущаяся система отсчета с началом в центре масс (оси Кенига) будет инерциальной, так как скорость центра масс постоянна по величине и направлению. Рис. 3.4 Покажем, что обе точки М, и М, движутся в одной плоскости, проходящей через центр масс С и неподвижной относительно осей Кенига. Так как внешних сил нет, то [г;т,е11+ [л отоно1 = сопз1 = О„ (3.31) где е' = СМ„ и„' †скорос относительно осей Кенига, а = 1, 2.
Очевидно, кроме того, что т,г(+тот'о=О, т,п1+т.,чэ=О. (3.32) Из (3.31) исключаем т'и' и но: (1+ ~4) [г,'т,пЦ = Оо. Если исключить л( и п(, то получим (1+ — ') [г'[топД = О,. Итак, моменты импульсов каждой точки относительно центра масс представляют собой постоянные коллинеарные векторы. Следовательно, точки движутся в одной и той же плоскости, проходящей через центр масс и неподвижной относительно осей Кенига.
Обозначим для краткости вектор М,М, через р=ер, где1е)=1. Тогда, если силы взаимодействия у,о и )м зависят только от р, мы сможем записать интеграл энергии "' (" )' + "" (" и + О (р) Ео 2 э (3.33) 3десь У(р) — поэгнциальная энергия взаимодействующих точек, Ео — постоянная. 129 % и. ЗАДАЧА дВух тел Обратимся к выводу важного для приложений уравнения движения точки М, относительно системы к, ть ь. Система $, гь ь имеет начало в точке М„движется поступательно и является, очевидно, неинерциальной системой отсчета.
Обозначим скорость точки М, относительно этой системы просто через рр. Тогда вр т, — = Гтт — т,ав„,р. Так как система $, ть ь движется поступательно, то а,„,р — — а„ где а, есть абсолютное ускорение первой точки, равное ~тк/т,. Используя третий закон Ньютона, выразим ав„,р через укт: Лв твт а евер ! 1 Уравнение относительного движения точки Мв примет вид т,— =(1+ — в) Укь (3.34) Таким образом, неинерциальность системы отсчета с началом в точке М, приводит к увеличению силы, действующей на точку Мв. Обычно обе части уравнения (3.34) делят на (1+ — '1 и, обозначая тл,/ через р дробь ' ', записывают уравнение относительного т,+къ, ' движения, сохраняя величину силы: Р,ч1 =ткь во (3.35) Множитель р, заменяющий в уравнении инертную массу, называется приведенной массой.
Очевидно, что тп,тв тв т,+т, 1+т /т, Теоретически безразлично, с какой из точек совместить начало системы $, ть Ь. На практике же обычно выбирают в качестве начала, — подвижного силового центра, — ту точку, масса которой больше. И, если т,/т, ~~1, то, полагая р-т„рассматривают движение точки М, в поле, центр которого неподвижен. Точка М, движется под действием центральной силы в плоскости, которая неподвижна относительно системы $, ть Ь. Если, к тому же, сила акт зависит только от расстояния р, то мы имеем интеграл энергии в относительном движении. Умножая скалярно обе части (3.35) на с1р=ттй/, получим б В. В.
Петкевич ~зо ГЛ. 111. СИСТЕМЫ СВОЕОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК или с(( 2 ) =1»1ОР~ (3.36) или +О (Р)= Ев. (3.37) й 6. Вывод формулы для силы тяготения из законов Кеплера В 1609 г. закончилось печатание сочинения Кеплера «Новая астрономия», над которой Кеплер работал с 1600 по 1606 г. В «Йовой астрономии» Кеплер, обработав многочисленные наблюдения Тихо Браге над движениями небесных тел, дал вывод двух знаменитых законов лвижения планет. Эти законы мы формулируем следующим образом. 1. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых (общем для всех планет) находится Солнце.
11. Площади, описываемые радиусами-векторами планет, пропорциональны времени. Третий закон был опубликован Кеплером позже, в 1619 г., в книге «Гармония мира». Формулировка третьего закона такова: П1. Квадраты времен обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит*).
Законы Кеплера подготовили почву для открытия Ньютоном закона всемирного тяготения. Рассмотрим вывод формулы для силы тяготения из законов Кеплера. Из первого закона следует, что уравнение траектории планеты в полярных координатах имеет вид (рис. 3.6) Р !+в сов ф ' (3.38) 1де г и ф — полярные координаты точки М в системе ХОу, Р— параметр эллипса, а — его эксцентриситет (для эллипса 0~ е(1).
Начало координат помещено в фокусе эллипса, угол ф отсчитывается от направления, отвечающего перигелию, точка О,— ) Представить себе величие ивучиого подвига Кеплера можно, овивкомьвьввеь с книгой 14). где /«1 есть проекция силы у«1 на направление вектора е. В случае притяжения )«1(0, если же точки отталкиваются, то 1»1)0. Если )»1=)»1(Р). То 2 )»1 (~) ь+ 2 1З1 Э 6. ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА.
СИЛА ТЯГОТЕНИЯ центр эллипса. Второй закон Кеплера означает постоянство секторной скорости: Г' ~=С, й (1.19) н, следовательно, равенство нулю трансверсального ускорения 6 1 гл. 1). Для решения поставленной задачи запишем радиальное уско- рение, воспользовавшись второй формулой Бине: г Ри а = — с'и'~ — +и), т ~а э % где переменная и, равная ! /г, рассматривается как функция полярного угла ~р. Используя затем уравнение траектории (3.38), найдем ! з У~ и -- + — сиз «р, Р р„ (3.39) — = — — соз ч.
аэ' Таким образом, подставляя выражения (3.39) функции и(~р) и ее второй производной в формулу Бине, получим искомое выражение радиального ускорения: сз , э* 1 а, = — — и' = — — —. (3.40) Р М' Рис. З.ц Мы видим, что ускорение точки М обратно пропорционально квадрату расстояния от точки до фокуса ее эллиптической орбиты и направлено к фокусу. Силу, действующую на материальную точку М, найдем, умножая а, нз массу этой точки.
Обозначая с'~р через у, получим )Р— е— тш Г м ° (3.4 1) где е,— единичный вектор радиального направления. Итак, точка М, — модель планеты, — движется под действием центральной притягивающей силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния от точки до силового центра. Силовым центром является Солнце, находящееся а фокусе эллиптической орбиты. Масса Солнца много больше массы всех планет, поэтому можно считать его с достаточным приближением неподвижным. Покажем, что множитель у одинаков для всех планет, движущихся в поле тяготения общего неподвижного силового центра. 1З2 гл. пь системы свонодных мдтврилльных точен Взаимодействие между планетами принимать во внимание не будем.
Рассмотрим две планеты, М, и М,. Пусть аь Ь,— длины полуосей, тт — время обращения планеты М; (1=1, 2). Тогда 2ла; Ь; о,* с~= —, ру —. =т ' ' а1 Следовательно, с) 4леа) У1 р те На основании третьего закона Кеплера аа 1 ! ае Значит, действительно, у,=уе — множители у одинаковы для всех планет. Чтобы получить окончательное выражение для силы тяготения, мы вернемся к задаче двух тел, считая силовой центр подвижным, а следовательно, массу его конечной. Обозначим расстояние между точками М, и М, через р, массы точек через т, и те.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
