В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Функция Ч'(и) представляет собой многочлен третьей степени Ч'(и) = —, — + —, и+ —. б 3 и 2т Л с~ с~ сэ' Мы получили уравнение с разделяющимися переменными, решение которого приводится к вычислению эллиптического интеграла. Применим метод качественного исследования )г1и) решения н с этой целью дид построим график функции — / Ч' (и), предположив, что и,=и, ~' И(0. Точки ин им ии изображают корни кубиче- д иг ского уравнения Ч'(и) =О.
Квадратичная парабола, г=п отвечающая задаче Кеплера (при б = О), изображена р ° з.и. на графике штриховой линией (рис. 3.11). Если и,< ии( ин то а(~р) будет периодической функцией полярного угла ~у, колеблющейся в пределах ст и, до и,. Если ии ) и„ то прн ~р со будет и-~ оо, а значит г — ~ О. В этом. случае траектория имеет вид спнралн, стягивающейся к центру. Если же и,= и, (штрнхпунктирная кривая на рис. 3.11) и и, ( < ии( ин то и-~-и, при ~р со. Зто случай захвата точки на круговую орбиту — траектория будет навиваться на окружность. радиуса г,. Остановимся на случае финнтного периодического движения, полагая, что и,<ии<и,.
Представим функцию Ч'(и) в виде Ч'(и) = —,(ии — и) (и,— и)(и — и ). б (3.82). Обозначая период функции и(<р) через Ф, запишем Ли и, 1 — (ии — и)(и1-и)(и — и,) г Р (60 гл. пь системы своводных мхтегилльных точек Применим теорему о среднем: и, с 2 (' Ыи ~'а(~ — а) йе где а есть некоторое среднее значение и(~). Очевидно, что п,<п(пь Как известно, 2 = 2н. Г (и1 и) (и — ив) и Покажем, что Ф)2н. Лля этого оценим множитель С Тгб(и -и) (3.83) Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях и в двух различных выражениях функции Ч'(и) (3.81) и (3.82), мы найдем, что ии и,+и,+и,= —.
Так как С~ ии и )О, и )О, то ии( — и и,-яи- —. С~ Заменяя в (3.83) равность и,— а через —, получим неравенство и С Г Уб(ии-а) Г с' ~~б б Таким образом, можно заключить, что период функции и(р) больше чем 2нк ы, Ф)2 йи = 2а.
У(и, — и) (и — и,) и, Вычислим теперь -~.. УК йЧ' б Зт — 3 — и'- 2и+ —. йи с' с~' Приравнивая — нулю, найдем что ш1п Ч'(и) будет при йЧг с~ с~ Зт и= — + Зб Зб~ Зб' с~ Следовательцо, и,) ®, т. е. чем мЕньше параметр 6, тем больше и,. % ю, смещение пегигелия плАнеты Найдем приближенное решение дифференциального уравнения сз l траекторий (3.81), полагая изб — (нетрудно проверить, что разз сз мерности из и — совпадают). Уравнение (3.81) запишем в виде. ()= йи1т 6 — ) = — (и,— и)(и,— и)(и — и,). аф~ сз Разделяя переменные и интегрируя, получим и с (' Й4 Ф=фо — = У6 г Р (и,— и) (и, — и) (и — из) Й Вынесем среднее значение 1 , за знак интеграла ): е из и с йи Ф='Ро— о ..— 1ге —. т=.~ яе Как н в задаче Кеплера, выбираем перед корнем знак минус.
(решение финитное, колеблющееся). Положим фа=О и заменим и, через сааб. Кроме того, заметим, что при малом 6 корни и, и и, уравнения третьей степени Ч' (и) = О близки к корням квадратного уравнения 2т а и — — и — — =О сз с' т. е. и ж —,+ ~' — + —, изб — — зу — +— Г -/Тз Ь т у)и а - з ~У '-,з )г (это нетрудно заметить на рис.
3.11). Допустив, что орбита мало отличается от круговой, положим и,+из т сз' Уравнение траектории примет вид и ! йи ф= 'Т, е г' (и, — и) (и — и,) ! — — 6и, сз Обозначим 1г 1 —,6 через т. Вычисляя интеграл, найдем - Г и= —, + —, + — сон(о!Р), т тз *) Разумеется, зто среанее значенне отлично от того, которое мы зыноснчм прн нычнсленнн пернода (и'фа). 162 Гл. и1. системы сВОБОдных ХАтеРиАльных тОчек ИЛИ г Р (3.84) 1+ в соа (е р) ' где Р= —, Б= ~ 1+ —,а (й(0). т Следовательно, траекторию планеты можно приближенно представить в виде вращающегося эллипса.
Когда планета, совершив обход орбиты, возвращается в исходную точку, полуоси эллипса поворачиваются в направлении движения планеты на угол *,-а (-,',.-|)-я ( ' — |). )/ уз са При малом 6 можно положить ! (1 — — ' 6) ' =1+ — 21 т 6. Тогда йр ж 2п — — 6 = 2п — —. 1т 16 2 са 2 сер' /1 ! Зи В [34] показано, что ~ — — 11= —, где р, как и в нашем решении, есть параметр эллипса, се — гравитационный радиус, определяемый формулой /и (снороеть света)а ' в которой 1 — универсальная постоянная тяготения.
Разумеется, в рамках механики Ньютона этот результат получить нельзя. Можно лишь показать, как введенный нами параметр 6 зависит от гравитационного радиуса: 6 = бсаи, где с есть удвоенная секторная скорость. Полученная формула применима при м а лы х значениях 6. $ 11. Основы теории рассеяния частиц Для познания строения материи очень важно изучение так называемого рассеяния частиц какого-либо вещества на силовых центрах. В упрощенной постановке задачи о рассеянии час1иц мы предположим, что на единичный и достаточно массивный силовой центр набегает поток частиц '), которые не взаимо- Может рассматриваться я единовременно выпущенная порция частиц. 1зз $1!.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ действуют друг с другом («пылевидная» материя). В результате взаимодействия с силовым центром траектории частиц искривляются и происходит рассеяние («разбрасывание») частиц, по результатам которого судят о характере взаимодействия частиц с силовым центром. Обычно сравниваются только направления начальной и конечной скоростей частиц, т. е. изменение направления траекторий частиц вдали от силового центра. Поэтому часто говорят об изучении поведения пучка траекторий частиц. Поскольку принимается во внимание только взаимодействие каждой частицы с силовым центром (подвижным или неподвижным), задача о рассеянии частиц сводится к задаче двух тел.
Относительно сил взаимодействия предполагается, что они зависят лишь от расстояния между частицей и силовым центром. Обратимся к Относительному движению в задаче двух тел и рассмотрим случаи инфинитного изменения расстояния между точками. Запишем уравнение относительного движения р-,д =У ° (3.35) где )з = ' ' есть приведенная масса,е — относительная скорость жт+ атз материальной точки М» (рис. ЗА) а). Сила узт — центральная и зависит только от расстояния между точками. Поэтому движение точки М, будет плоским; кроме того, будет сохраняться момент импульса и энергия в относительном.
движении. Обозначая полярные координаты точки М, через р и 1р, запишем: р' — „'Р =с (с — удвоенная секторная скорость), (1.19) Й "— 2"'+ и(Р) =Ю,. (3.37) Используя первую формулу Бине, получим дифференциальное уравнение траекторий: (3.851 где и= —, й= — ', Ю(и)= 2ЕО (и) Р в Решение задачи о рассеянии, как и решение задачи Кеплера, удобно начать с качественного исследования траектории. С этой ') Материальная точка лтз изображает здесь одну из частиц потока '134 ГЛ. Н!. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 41елью построим график функции Ч" (и), предполагая изменение р инфинитным, т.
е. предполагая, что и обращается в нуль. На рис. 3.12 изображены три графика. График 1 соответствует рассеянию: точка М„ приходя из Чт(н бесконечности *), сближается с силовым центром на расстояние р„„„=р'," = — „„„где и'," есть от! личный от нуля корень уравнения Ч"(и) = О, и снова удаляд ется в бесконечность, но уже Рис. 3.12. по другому направлению.
График 2 изображает захват точки на круговую орбиту (и асимптотически стремится к и',"). Наконец, график 3 — захват силовым центром (здесь при «р- со и и-ьсо). На рисунке 3.13 для тех же случаев изображен примерный вид траекторий точки М, в плоскости (сч)). (г) иа Рис. 3.!3. Точка М„ двигаясь по траектории (1), имеющей вид гиперболы, приходит из бесконечности с начальной скоростью в„ сближается с силовым центром и снова уходит в бесконечность со скоРостью чз„ (Дальше мы УвиДим, что ~чза1 = 1т«„!).
РасстоЯние между параллельными прямыми, на одной из которых расположен вектор начальной скорости, а вторая проходит через силовой центр, называется прицельным расстоянием (на рис. 3.13 оно обозначено через !). Угол 8 между направлениями начальной и конечной скоростей называется углом отклонения, если рассматривается одна материальная точка, или углом рассеяния, если речь идет о потоке частиц.
Траектория на схеме (1) соответствует силам отталкивания, но рассеяние возможно и в случае притяжения (см., например, инфинитное движение в задаче Кеплера). ') Словом «бесианечиостьа мм здесь заменяем снова «достаточно большое увсстоя иве».
155 $11. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ Вид траекторий точки М» в случаях захвата на круговую. орбиту н захвата силовым центром также показан на рнс. 3.13 (случан (2) и (3)). Опираясь на задачу двух тел, рассмотрим основы теории рассеяния частиц (матернальных точек). Главное в теории рассеяния — нахождение зависимости угла отклонения 5 от прицельного расстояния н определенне плотности пучка отклоненных траекторий многих частиц как функции угла рассеяния, начальной скорости н параметров, характеризующих силовое поле.
Дело в том, что эксперимент дает возможность установить зависимость числа траекторий от угла рассеяния, поэтому результаты теории должны быть сопоставимы с результатами опыта '). Угол 0 может быть найден нэ решения задачи о движении точки М, относительно системы $, т). Из (3.85) имеем и йи ф=ф.+~~= ) 'г' Ч'(и) Если Угол ф 6УДем отсчитывать от линии апсиД, то 1ра= О, иа = и». Из графика ! (рнс. 3.13) мы видим, что 8 и — = — — ф 2 2 где ф — угол между осью $ и асимптотой траектории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
