В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 21
Текст из файла (страница 21)
(3.18) а Преобразуем формулу для клнетнческого момента, используя (3.17). Имеем $3. СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА С НАЧАЛОМ В ЦЕНТРЕ МАСО Преобразуем формулу для кинетической энергии: 7„та (т)с+ чта) ! %т в а=! Используя (3.17) и (3.18), получим Мое т= — +-, ~ .(о.')'. 2 (3.20) Кинетическая энергия системы материальных точек равна кинетической энергии всей масси, сосредоточенной в центре масс, сложенной с кинетической энергией движения относительно центра масс.
Формулы (3.19) и (3.20) будем называть формулами Кгнига. Слова «движение относительно центра масс» будем понимать как «двнжение относительно поступательно движущихся осей с началом в центре масс». Такие оси для краткости назовем осями Кгнига '). Если центр масс движется ускоренно, то система отсчета, определяемая осями Кенига, будет не и нерциальной. Выведем уравнение кинетического момента для движения системы свободных материальных точек относительно осей Кенига. Запишем уравнение относительного движения точки М„: )и д — — Р' +ха — т„аа„,р.
ВВ'а е) )б (3.21) Здесь аа „,р — — ас — ускорение центра масс. Поэтому, умножая (3.21) слева векторно на г", суммируя и производя простые выкладки, найдем в ;",,'(~ [Г'.т.п'1 - 2„' [г.'р".«)1, а= ! а=! в силу того, что (3.22) ') Постуяательнз движуисаяся система координат с началом в иентре масс в небесной механике называется «барииентрической», а координаты х', у', а'— а' а а «барлнеитрвческими координатами».
Производном по времени кинетического момента в относительном движении равна сумме мол)антон внеи)них сил относительно центра л)асс. Подобным же способом выведем уравнение кинетической энергии относительного движения. Умножнм обе части (3.21) на 122 ГЛ. Н!. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК я!„'й! =й'„'. Суммируя, найдем л (»Аа йт а) + л,~~~ 'сна й а) (3 23) а ! х ! а 1 в силу того, что Следовательно, дифференциал кинетической внергии отнасительнага движения равен сумме работ на относиа!ельных влементарных перел!ещениях всех внешних и внутренних сил. Заметим, что сумма работ сил взаимодействия не меняется при переходе к осям Кенига; таким образом л л л ~!„!хма' йт а) = .~„(ра йеа) = ~~ ада йраа (Раа = Раа). х ! л ! ь 1а>В Уравнения вида (3.22) и (3.23) для систем материальных точек со связями могут быть получены тем же способом.
й 4. Замкнутые (изолированные) системы материальных точек. Законы сохранения Систему свободных материальных точек будем называть замкнутой (изолированной), если иет внешних сил — точки движутся только под влиянием сил взаимодействия е). Замкнутые системы представляют собой абстрактные модели, родственные изолированной точке, к которой относится первый закон Ньютона. Примеры замкнутых систем можно найти в небесной механике и в физике. Если рассматривать все тела Солнечной системы как материальные точки (включая и само Солнце), то всю Солнечную систему можно приближенно представлять в виде замкнутой системы свободных точек. В небесной механике рассматривают и более простые замкнутые системы, состоящие либо из двух, либо нз трех тел Солнечной системы, изображая их в виде свободных материальных точек, взаимодействующих по закону тяготения Ньютона.
Это так называемые »задача двух тел» и езадача трех тел», ° ) Систему свободных точек движущу!осн в среде с соври велением, нельзя считать замкнутой. З Д ЗАМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 12з Задачу двух тел, которую можно свести к задаче о движении одной точки с измененной массой, мы рассмотрим в следующем параграфе. Задача трех тел, несмотря на кажущуюся простоту †т свободные материальные точки, внешних сил нет, внутренние силы консервативны, — представляет собой одну нз труднейших проблем механики и математики и является предметом специальных курсов по небесной механике.
Краткие сведения о задаче трех тел будут даны в 5 12 настоящей главы. В теоретической физике, рассматривая совокупность частиц в случаях, когда можно пренебречь внешним полем, представляют эти совокупности в виде замкнутых систем материальных точек, например, совокупность атомов, образующих изолированную молекулу. Замкнутые системы материальных точек являются удобными моделями для выявления свойств пространства, точнее, той модели реального пространства, с которой имеет дело механика. Известно философское опреде,ление пространства и времени как форм бытия материи — всего объективно существующего.
Механика использует идеализированные, абстрактные модели реальных тел и реального пространства (см. введение). Поэтому можно сказать, что те модели реального физического пространства и времени, которые используются в механике, являются формами существования моделей реальных тел. Базисом для построения основной модели реального пространства, — евклидова пространства, — является инерциальная система отсчета. Во введении было указано на то, что это пространство однородно и нзотропно в том смысле, что характер механических явлений не зависит ни от места, ни от направления.
Если в качестве объекта взять замкнутую систему материальных точек, то эти свойства пространства проявляются с ббльшей наглядностью. Рассмотрим изолированную систему, состоящую из п свободных материальных точек. Предположим, что силы взаимодействия между любыми двумя точками зависят только от расстояния между этими точками. Положение точек относительно инерциальной системы отсчета будем определять декартовыми координатами к„, у„, г„, где а есть номер точки ").
Совокупность 2п пере- МЕННЫХ (К„, У„, гсо Х„, У„, г„) ОПРЕДЕЛЯЕТ СОСтОЯНиЕ деиВАЕНил системы в момент времени 1. На основе законов Ньютона мы вывели общие теоремы динамики для систем свободных материальных точек, записанные в виде дифференциальных уравнений (3.13), (3.14) и (3.15). ') Здесь предполагается, что сама система отсчета (тело отсчета) удалена от материальных точек на достаточно большое расстояние. ГЛ. !и.
СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК Если система замкнутая, то дифференциальные уравнения движе- .Ния приведут к интегралам ,Уо гпа'па = Ро, а ! (3.24) о ~ Гу таю )=(х„ а 1 (3.25) .2" +(р ! =Ео. (3.26) а=! Для определения постоянных Ро, Оо и Е, нужно знать состояние движения в некоторый (начальный) момент времени. Вместо (3.24) мы можем записать т!С=я!С(го), где ттс есть скорость центра масс системы. Следовательно, система отсчета, движущаяся поступательно вместе с центром масс, будет инерциальной — можно в центре масс поместить начало декартовой системы координат, оси которой (оси Кенига) всегда параллельны осям исходной системы.
Интегралы импульса, кинетического момента и энергии, записанные в виде (3.24), (3.25) и (3.25), выражают основные законы механики — законы сохранения во времени импульса, кинетического момента и энергии замкнутой сиоп!елгы материальных точек. Начало отсчета времени может быть выбрано произвольно — в этом проявляется однородность времени.
Заметим еше, что интеграл энергии допускает обращение движения во времени: функции Т н У не изменяются прн замене Ж на ( — а!) "). Обратимся к законам сохранения импульса и кинетического момента в пространстве. Примем какую-либо инерциальную систему за основную («неподвижную») и рассмотрим различные положения замкнутой системы материальных точек В один и тот же момент времени, предполагая, что расстояния между точками не изменяются.
Очевидно, что это будет равносильно такому преобразованию, при котором изменяются координаты точек, но время не преобразуется. Ограничимся здесь ортогональными преобразованиями с сохранением масштаба, записывая их в векторной форме. Прежде всего обратимся к преобразованию координат вида еа = !.„+ ЬГ, (3.27) *! Законы сохранения импульса н кинетического момента аамкнутой системы материальных точек во времени могут быть приняты в качестве основных аксиом механнкн. $4. замкнутые системы. 3Аконы сОхРАнения !25 где г„' есть радиус-вектор точки М в новом положении и, кроме того, — =О, Указанное преобразование отвечает постук(аг) а4 нательному переносу декартовой системы координат. Очевидно, что Ига' Ига «й И« ь таЕ« = и~~ ~ИзатЗа.
а=! и Следовательно, Р' = Р (ЬР = О) — преобразование сохраняет неизменным импульс системы материальных точек. Рассмотрим теперь поворот всей системы на малый угол бу вокруг произвольно выбранной оси, направление которой определяется единичным вектором е. Приращения радиусов-векторов материальных точек системы мы найдем, подобно тому как находили дифференпиалы радиусов-векторов точек абсолютно твердого тела в случае вращения вокруг мгновенной оси.
Введем вектор е бу, изображающий поворот системы как абсолютно твердого тела («жесткий» поворот) и применим формулу Эйлера '). Получим г,-'„— га = бга = [е бу г„[, (3.28) где г есть радиус-вектор точки Ма в новом положении. Полагая, что и ,— „(е.у) О, найдем приращение скорости: бе = — „,(бг ) =[ебуе„). (3.29) Умножив скалярно обе части полученного равенства на вектор е, найдем (е 80) = (е [е бу О]) = О. Единичный вектор е выбран произвольно, следовательно, мы можем заключить, что 80=0. Таким образом, преобразование ") Формулу Эйлера применить здесь можно. так как рассматривается поворот иа малый («аескоиечиоь малый) угол Ьу, Приращение кинетического момента с точностью до бу в первой степени будет равно ь ь 40 = ~ [(га+бга) та(ее+бе )) — 'Я [г„т„е„]=[ебр 0).
(3.30) ПО ГЛ. Н1. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК поворота системы координат (или поворот всей замкнутой системы как абсолютно твердого тела вокруг любой оси) оставляет неизменным кинетический момент. Несколько сложнее показать, что кинетический момент замкнутой системы материальных точек сохраняется и при жестком повороте всей системы на конечный угол. Мы ограничимся поворотом системы вокруг одной из координатных осей, например, вокруг оси Ог. Выразим декартовы координаты точки М через сферические координаты г, Ф и 0: хи = Тисов Фи соз Ои, Уи = »и СОЗ Фи З1П Оа аа = га З1П Фа где угол Фа отсчитывается от плоскости (х, У), угол Оа- от оси Ол до проекции радиуса-вектора на плоскость (х, у).
Перейдем к системе координат х', у', г' и к новой системе сферических координат г„', Ф„', 8„', положив Ги Га Фи=Фа» Ва=за 9» где 8 есть конечный угол поворота всей системы. Получим х„'=гасозФасоз(8,— 0) =х,соя О+У„Е1п8, У„' га соз Ф з1п (Оа — 0) = — ха з!и О+ уа соз О, »и Га З1П Фа Еа. Еь Если „- О, то проекции скорости точки Ма на оси х', у', а' примут вид ха - х. соз О+ у, з1 и О, у,'„— хаз1пО+у созз, Еи = ха. Нетрудно проверить, что жесткий поворот всей системы вокруг оси Ог не изменяет проекцию кинетического момента на зту ось, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
